實戰演練01抽象函數的性質

考點歸納

①抽象函數求值

②抽象函數的單調性與抽象不等

式

③抽象函數的奇偶性

④抽象函數的對稱性

⑤抽象函數的周期性

⑥抽象函數結合導數的應用

⑦抽象函數性質的綜合應用

一、抽象函數的性質

L周期性：/(x+a)=/(x)T=a；/(%+〃)=T=2a；

k

f(x+a)=T=2a；(左為常數)；f(x+a)=f(x+b)^>T=|a-Z?|

2.對稱性：

對稱軸：f(a-x)=+f(2a-x)=/(x)n/(x)關于x=a對稱；

對稱中心：/(a-x)+/(a+x)=2b或者/(2a-x)+/(x)=2bn/(x)關于(a,/?)對稱;

3.如果/(x)同時關于x=a對稱，又關于(dc)對稱，則/(x)的周期T=|a—4

4.單調性與對稱性(或奇偶性)結合解不等式問題

①/(x)在R上是奇函數，且/'(X)單調遞增n若解不等式/(XJ+/(%2)>0,則有

%+工2>°；

/(X)在R上是奇函數，且/(X)單調遞減n若解不等式/(%1)+/(x2)>0,則有

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玉+々<°；

②/(x)在R上是偶函數，且/(X)在(0,內)單調遞增n若解不等式/&)>/(々)，則有國>網(不

變號加絕對值)；

/(X)在R上是偶函數，且/(x)在(0,+，。)單調遞減n若解不等式/(^)>/(%2),則有㈤<悶(變號

加絕對值)；

③/(x)關于(。力)對稱，且/(x)單調遞增n若解不等式/(xJ+Xx,)>2&,則有

項+九2>2。；

/(X)關于(a⑹對稱，且/'(X)單調遞減n若解不等式f(x^+f[X2)>lb,則有

%]+為<2a；

④/(X)關于x=a對稱，且/(X)在(a,+8)單調遞增n若解不等式/&)>/(%)，則有歸—。|>民—4

(不變號加絕對值)；

/(x)關于x=a對稱，且/(X)在(a,+oo)單調遞減=>若解不等式f(x2),則有卜一《<人一。|

(不變號加絕對值)；

二、抽象函數的模型

【反比例函數模型】

反比例函數」(x+M就濟，則小)=邛，民/⑴,小)"(…)均不見

【一次函數模型】

模型1：若"X土y)=/(x)±/(y),則/(x)=/(l)x；

模型2：若"2土y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數；

模型3：若/(x+y)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=[/(1)+m]x-m；

模型4：若/(x-y)=/(x)—/(y)+孫則/(x)=[/(l)-rri\x+m；

【指數函數模型】

模型1:若〃x+y)=/(x)/(y)，則/(無)/。)>0

模型2：若/(x—y)=T，則/a)="(i)T；/(x)>0

f(y)

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)相，則；

m

￡/、/(X)”1)

模型4：若/(%一y)=m則/(%)二小

/(y)m

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【對數函數模型】

模型1：若/(%")=nf(x),則f(x)=/(a)logflx[a＞。且wl,x＞0)

模型2：若/(取)=/(1)+/(丁)，貝!|/0)=/(。)108°兀(。＞0且/1,羽＞＞0)

Y

模型3：若/(—)=/(x)-/(y),則/0)=/(。)108°%(。＞0且/1,羽丁＞0)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=[/⑷+礎og°x-m(a＞0且Hl,x,y＞0)

模型5：若/(：)=/(x)-/(y)+加，則/(%)=[/⑷一向logflx+加(。>0且w1,%,y>0)

【幕函數模型】

模型1：若/Cp)=/(x)/(y)，則/(x)=/(a產”(a〉0且wl)

模型2：若"")=偌，則/(x)=/("°g""(a>(^Hl,yH0,〃y)H0)

代入則可化簡為事函數；

【余弦函數模型】

模型1：若于(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(y)(/(%)不恒為0),則/(%)=coswx

模型2：若/(x)+〃y)=2/(212)/(?)(/(x)不恒為0),貝U〃x)=coswx

【正切函數模型】

模型：若模龍士y)=晨；；；))(/WG)豐1)，則/(x)=tan植

2

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=Qx)/(以/(x)不恒為0),則/'(%)=COSWX

①抽象函數求值

解題技法

抽象函數求值問題常用賦值法，賦值主要從以下方面考慮：令%=???,-2,-1,0,1,2…等特殊

值求抽象函數的函數值.

一、單選題

1.(2024?河北滄州?模擬預測)已知函數/■(%)的定義域為R,Va,bwR,均滿足

f(a+b)=f(a)+f(b)-ab.若〃-1)=3,則〃3)=()

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A.0B.-9C.-12D.-15

【答案】D

【分析】先賦值。=6=。求出”0),接著賦值。=1,6=-1求出”1),再賦值。=6=1求出”2),最后賦

值°=1,6=2即可求解.

【詳解】令a=8=0,得〃0)=2〃0),所以/(0)=0；

令“=1,b=-l,得〃0)=/(1)+/(-1)+1=0,

又/(T)=3,所以〃1)=T；令a=b=l,得〃2)=/(1)+/(1)-1=-9；

令。=1,6=2,得〃3)=〃1)+〃2)-2=-15.

故選：D.

2.(2024?陜西銅川?模擬預測)設函數〃尤)的定義域為R,且2[〃x+y)+〃尤-y)]=〃x)〃y),“1)=2也

貝U42025)=()

A.2A/3B.0C.4D.-2若

【答案】B

【分析】令無=y=0結合/。)=26得/(0)=4,令x=y=l得"2)=2,令x=2,y=l,得〃3)=0,令

'=2,分別令》=3,5,7,9可以得到〃5),〃7),〃9),〃11),令尤=0,x=3得””的周期為12,所以

f(2025)=/(9)=0.

【詳解】因為〃x+y)+〃x-y)=g〃尤)〃y),令無=y=0,有2〃0)=g/⑼，貝〃。卜。或〃。)=4.

若〃0)=0,則令x=l,y=0,有"⑴=:/⑴"0),得，⑴=0,與已知〃1)=26矛盾，所以"0)=4.

令x=y=l,有八2)+/⑼=g/2⑴，則/⑵+4=Jx(2道)J6,得“2)=2.

令x=2,y=l,有/⑶+/⑴=g〃2)/■⑴，得"3)=0.

令x=3,y=2,有〃5)+〃l)=g〃3)〃2),得〃5)=_26.

令x=5,y=2,有/⑺+/(3)=g/(5)/(2),得了⑺=一2石.

令x=7,y=2,有〃9)+〃5)=g〃7)〃2),得/'(9)=0.

令x=9,y=2,有/(")+/⑺=：/(9)/(2),得〃11)=26.

令X=0,有〃y)+〃_y)=g"o)〃y),得“一y)=〃y),

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令x=3,有/(3+y)+/(3-y)=；〃3)〃y)=0,即/(3+丁)=一/(3-y),

所以〃6+y)=-〃—y)=-〃y),故〃12+y)=_〃6+y)=〃y),所以〃x)的周期為12,

所以“2025)="12x168+9)="9)=0.

故選：B.

【點睛】方法點睛：賦值法解決抽象函數問題，通過對賦值，得到相應的函數值，進而研究函數性質或

者得到待求函數值.

二、填空題

3.(2025高三?全國?專題練習)定義在R上的函數/(x)滿足f(x+y)=/(x)+/(y)+2孫(x,yeR),f(l)=2,

則“3)=，/(-3)=.

【答案】126

【分析】利用賦值法可求”3)的值，再求出"0)=0,從而可求/'(-3)的值.

【詳解】/(1+1)=/(I)+/(I)+2=6/(3)=/(2+1)=/(2)+/(I)+4=12,

而/(0+0)=/(0)+/(0)+0即"0)=0,

故"3—3)=〃3)+〃—3)-18=0,故/(-3)=6,

故答案為：12,6

4.(2025高三?全國?專題練習)已知函數〃尤)的定義域為R,且〃x+y)+/(x-y)-〃x)〃y)=0,〃-l)=l,

則〃。)=

【答案】2

【分析】令元=y=0,/(0)=0或〃0)=2,再說明"0)=0不合題意.

【詳解】令x=y=o,得2〃0)-產(0)=0得/(0)=0或/(0)=2,

當f(0)=0時，令y=0得f(x)=0不合題意，故/(0)=2,

故答案為：2

5.(2025高三.全國.專題練習)已知定義域為R的函數〃力，滿足f(x+y)=f(x)f(y)-f(2-x)f(2-y),

且40)/0,〃-2)=0,貝4(2)=.

【答案】0

【分析】在已知式中令x=y=i可得.

【詳解】由/'(*+y)=/⑴/⑴一/(2-尤)/(2-y),

令尤=y=l,則〃2)=[〃1)丁一[〃1)丁=。

故答案為：0.

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6.(2024?江蘇?模擬預測)已知定義在R上的“力滿足/1-3片0,且對于任意的有

/(x+j)+/(x)/(y)=4xy,則〃0)=.

【答案】-1

【分析】令x=r=0得=(O)=T或"0)=0,排除〃0)=0即可.

【詳解】在/a+y)+/(x)/(y)=4型中,令尤=y=0,有〃0)+[〃0)7=0,解得/(0)=-1或/(0)=0,

若"0)=0,則在〃x+y)+〃x)/(y)=4孫中，令尤=0,有F(y)=0恒成立，但這與[-1/。矛盾,

所以只能7(。)=-1,經檢驗符合題意.

故答案為：-1.

②抽象函數的單調性與抽象不等式

解題技法

(1)抽象函數的單調性的證明，關鍵是要依據單調性的定義和題目條件利用均與%2的大小關

系構造出一個大于(或小于)0的數.

(2)在解決與抽象函數有關的不等式問題時，可通過脫去函數符號7'”化為一般不等式求解,

但無論如何都必須在同一單調區間內進行；若不等式一邊沒有“/”，而是常數，則應將常數轉

化為函數值.

—>單選題

1.(23-24高三下?廣東佛山?開學考試)已知函數y=/(尤)在定義域(7,3)上是增函數，且/(2?-1)<〃2-。),

則實數。的取值范圍是()

A.(1,2)B.C.(0,1)D.(1,+8)

【答案】C

【分析】由函數的單調性及定義域得到關于“的不等式組，解之即可得解.

【詳解】因為函數y=f(x)在定義域(T3)上是增函數，且/(2a-1)</(2-a),

—1<2a—1<30<〃<2

貝<—1<2—6?<3,貝v—1<a<3,解得

2a—1<2—u。<1

所以實數a的取值范圍是(0,1).

故選：C.

2.(2024?江西?模擬預測)已知奇函數”X)在R上單調遞增，且/(2)=1,則不等式f(力+1<0的解集為

()

A.(―1,1)B.(—2,2)C.(—2,+oo)D.2)

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【答案】D

【分析】利用函數的奇偶性及單調性計算即可.

【詳解】由〃x)+l<0,可得

因為是奇函數，且/⑵=1,所以〃尤)</(一2),

因為在R上單調遞增，所以廣-2,

故不等式7(x)+1<0的解集為(-雙-2).

故選：D

3.(23-24高三下.吉林通化?期中)已知函數/(X)是定義在R上的奇函數，且/(x)單調遞增，則

/(e「l)+f((l-e)x)<0的解集為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(0,e)D.(l,e)

【答案】B

【分析】根據函數單調性和奇偶性得到3-1<仁-1)無，畫出曲線y=e-l與曲線y=(e-l)x的圖象，數形

結合得到答案.

【詳解】由奇函數可知，

/(er-l)+/((l-e)x)<0^>f(er-l)<-/((l-e)x)^>f(eJ-l)<f((e-l)x),

又〃無)單調遞增，則e-l<(e-l)x,

畫出曲線丫=1-1與曲線y=(e-l)x的圖象，

可以看出y=e，-1與y=(e-l)x有兩個交點，

且x=1與x=0分別為兩交點橫坐標，

所以不等式e*-l<(e-l)x的解集為(0,1).

故選:B

二、多選題

4.(2024.廣東茂名.二模)已知函數為R上的奇函數，且在R上單調遞增.若〃2fl)+〃a-2)>0,則

實數。的取值可以是()

A.-IB.0C.1D.2

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【答案】CD

【分析】先利用函數是奇函數，將不等式〃24）+〃4-2）＞0轉變為/（2a）＞/（2-a）,再利用函數

〃尤）在R上單調遞增，將不等式〃2a）＞〃2-a）轉變為2a＞2-a,求解即可.

【詳解】因為函數“力是奇函數，

則不等式，（2。）+〃4-2）＞0,可變形為/（2a）＞-/（a—2）=/（2—a）,

因為函數F（x）在R上單調遞增，

貝不等式/（2a）＞/（2—a）成立，則2a＞2—a,

2

解得1,2符合題意，

故選：CD.

三、填空題

5.（2024高三?全國?專題練習）已知函數"同=2―/+/，若〃2a）+/（/）wo,則實數。的取值范圍

是.

【答案】［-2,0］.

【分析】先根據函數的解析式判斷得出函數的奇偶性以及單調性.進而將原不等式轉化為

/（2a）4-/?（儲）=/（_〃），即可結合函數的單調性列出不等式，求解即可得出答案.

【詳解】由題意知函數定義域為R,且/（-x）=2，-1+（-X）3=-（2'V+X3）=-〃X）,

所以/（x）為奇函數.

又函數y=2,,y=/均為R上的增函數，根據復合函數的單調性可知y=-1也為R上的增函數，

2

所以，“X）為R上的函數.

由/僅冷+1/卜。，得（/）=/（—〃），所以

解得-2WaW0,

故答案為：

6.（23-24高三下.上海.階段練習）己知偶函數y=/（x）在區間［0,+動上是嚴格減函數.若

則x的取值范圍是.

【答案】g，e］

【分析】根據偶函數的性質及單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】因為偶函數y=〃x）在區間［0,+8）上是嚴格減函數，

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所以y=〃x)在(-e，o)上單調遞增，

所以不等式〃lnx)>〃l),Bp/(|lnx|)>/(l),所以|lnx|<l,gp-l<lnx<l,

解得小<e,

即無的取值范圍是

故答案為:

③抽象函數的奇偶性

解題技法

抽象函數中求特殊的函數值，討論函數的奇偶性及依此解關于％的不等式等問題多運用“賦值

法”進行求值和化簡.

一、單選題

1.(2024?河南.模擬預測)已知函數/(X)的定義域為R,對于任意實數x,y滿足

〃x+y)+〃x—y)=/(x)/(y),且/(1)=1,則下列結論錯誤的是()

A."0)=2B./(x)為偶函數

C.為奇函數D./(2)=-1

【答案】C

【分析】由條件等式通過取特殊值求/(0),/(2)由此判斷A,D,再取特殊值確定〃x),/(-無)的關系結

合函數的奇偶性的定義判斷選項B,C.

【詳解】因為Vx,yeR,/(x+y)+/(%-y)=/(x)/(y),

取x=l,>=0可得〃1)+/(1)=〃1)/(0),又"1)=1,所以"0)=2；A對；

取x=0,支尤可得/(勸+〃一無)=/(0)〃尤)，因為“0)=2,所以/(r)=〃x),所以為偶函數,

C錯，B對；

取x=l,y=l可得〃2)+〃0)=〃1)〃1),又"1)=1,"0)=2；

所以/(2)=T,D對；

故選：C.

2.(2024.河南鄭州.模擬預測)己知y=〃x+l)+l為奇函數，貝U

/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=()

A.-14B.14C.-7D.7

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【答案】C

【分析】根據函數奇偶性定義和性質即可求解.

【詳解】因為y=〃x+i)+i為奇函數，

故〃O+l)+l=On/⑴=-1,

/(1+1)+1=-[/(-1+1)+1]^/(2)+/(0)=-2,

/(2+1)+1=-[/(-2+1)+1]=>/(3)+/(-1)=-2,

/(3+1)+1=-[/(-3+1)+1]^/(4)+/(-2)=-2,

故/■(-2)+“_1)+/(O)+"1)+/(2)+/(3)+〃4)=T+3X(—2)=-7.

故選：C.

3.(23-24高三下.陜西西安.階段練習)定義域均為R的函數〃x),g(元)滿足"x)=g(x-l),且

/(x-l)=g(2-x),則()

A./⑺是奇函數B./(x)是偶函數

C.g(x)是奇函數D.g(x)是偶函數

【答案】D

【分析】通過函數變量間的轉化，得出函數對應等量關系.利用函數平移變化，由平移后的對稱關系求得原

函數的對稱關系.

【詳解】因為/(x—l)=g(2r),

所以“r+1-l)=g(2-(-尤+1)),

即/(-x)=g(l+x)=g(x+2_l)=〃x+2),

所以〃x)關于直線x=l對稱，

因為〃x)=g(xT),

所以g(x)關于尤=0對稱，即g(x)為偶函數.

故選：D

4.(2025高三?全國?專題練習)函數AM的定義域為R,且Ax)與/(x+1)都為奇函數，則說法不正確的是

()

A./(x-1)為奇函數B./(無)為周期函數

C.7■(尤+3)為奇函數D.〃x+2)為偶函數

【答案】D

【分析】由奇函數性質及題意得了(—x—1)+F(x+1)=。且/(-x+l)+,(x+l)=0,因此/(—x+l)=y(-x-l)

即〃x-l)=J(x+l),進而得/(x)=J(x+2)且/(f—l)+/(x-l)=0即可判斷A、B；由〃x)=)(x+2)可

得了(x+l)=/(x+3),結合奇函數的定義即可判斷C、D.

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【詳解】因為/(x)為奇函數，所以〃-X-l)+〃x+l)=O,

又/(元+1)為奇函數，所以/(f+l)+〃x+l)=O,

/./(-x+l)=/(-x-l),即〃x_l)=/(x+l),

所以〃x)=〃x+2),K/(-^l)+/(x+l)=/(-x-l)+y(x-l)=O,

.??/(x)是周期為2的函數，且/(彳-1)是奇函數，故A、B正確；

由〃x)=〃x+2)得〃尤+l)=〃x+3),

故由A、BW/H+3)=/(-x+l)=/(-x-l)=-/(x-l)=-/(x+l)=-/(x+3),

即/(x+3)為奇函數，故C正確；

由〃x)=/(x+2)得〃_x+2)=/(-x)=_〃x)=_〃x+2),

所以/(x+2)為奇函數，故D錯誤；

故選：D.

二、多選題

5.(2024?河南?三模)定義在R上的函數/(尤)滿足/(肛+l)=/(x)/(y)+/(y)+x,則()

A./(0)=0B./(1)=0

C./(元+1)為奇函數D.Ax)單調遞增

【答案】BCD

【分析】利用賦值法可求/'⑴=0及/(x+l)=x,故可判斷各項的正誤，也可以由題意得

/(xy+1)=/(y)/(%)+/(x)+y,結合條件/(q+1)=/(x)/(y)+/。)+X推出/(尤)的解析式，進而即可求解

判斷ABCD四個選項.

【詳解】法1：令x=y=o,則/⑴=r(0)+〃0)=/(0)(/(0)+1),

令x=0,y=l,貝!|〃1)=/⑴(〃0)+1),

若/■⑴=。或〃。)=0，

若"0)=0,則/(I)=/(x)f(0)+/(0)+x即/(I)=/(x)f(0)+y(o)+尤=尤，

由x的任意性可得AD=x不恒成立，故/(0)=0不成立，故/。)=0,

故A錯誤，B正確.

令'=1,貝！)/(x+l)=/W⑴+/■⑴+x=x,

故/(元+1)為奇函數，且7(x)=x-l,它為R上的增函數，

故CD正確.

法2：由條件/(孫+D=/(x)/(y)+/(y)+x,得/(孫+i)=/(y)/(x)+/3+y

=/(y)+x=/(x)+y=/(y)_y=/(x)_x，

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由x，y的任意性得/(x)=x+c,c為常數，

故代回去f(xy+1)=/(x)/(y)+/(y)+x得：

旬+l+C=(x+C)(y+C)+y+C+xo(C+l)(x+y+C—l)=0,

所以由MV的任意性只能C=T,即/(x)=x-l,為增函數，

所以/(。)=一1,7'⑴=。，F(x+l)=x為奇函數，

故A錯，BCD對.

故選：BCD.

6.(2024高三.全國.專題練習)已知奇函數〃尤)與偶函數g(x)的定義域、值域均為R,則()

A.〃x)+g(龍)是奇函數B.是奇函數

C./(x)g(x)是奇函數D.7'[g(x)]是偶函數

【答案】BCD

【分析】本題根據奇偶性的定義逐項判斷即可得出結果.

【詳解】對A,因為x)+g(f)=-fa)+g(x)R—[/a)+g(x)],所以〃x)+g(x)不是奇函數，故A

錯誤；

對B,因為/'(r)|g(-尤=,所以〃x)|g(x)|是奇函數，故B正確；

對C,因為/(-x)g(r)=f(x)g(x),所以>(x)g(x)是奇函數,故C正確;

對D,因為/[g(-x)]=/[g(x)],所以/[g為)]是偶函數,故D正確.

故選：BCD.

三、解答題

7.(23-24高三上.福建漳州?階段練習)定義在R上的單調函數滿足"3)=lo43且對任意無，yeR都

有/(x+y)=/(x)+/(y).

⑴判斷”力的奇偶性，并說明理由；

⑵若/(左?3,)+/&-9-2)<0對任意x?R恒成立，求實數左的取值范圍.

【答案】(1)奇函數，理由見解析；

⑵左<-1+2應

【分析】(1)根據奇函數的定義即可求證，

(2)根據函數的奇偶性和單調性將不等式轉化為32,-(1+Q.3*+2>0對任意xeR成立.即可換元利用二

次不等式的性質求解.

【詳解】⑴"X)是奇函數,

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理由如下：

由〃x+y)=/(x)+/(y)(x,yeR),①

令x=y=O,代入①式，得/(0+0)=/(0)+40),即〃0)=0.

令，=一》，代入①式，得〃尤—X)=〃X)+〃T),又〃0)=0,

則有0=+”—x).即/(-%)=-/(x)對任意xeR成立，

所以/(x)是奇函數.

(2)/(3)=log23>0,即〃3)>〃0),又在R上是單調函數，

所以/⑺在R上是增函數

又由⑴是奇函數.(3'-9'-2)=/(-31+9*+2),

：.k-3x<-3x+9x+2,32”一(1+左)―3工+2>。對任意》《11成立.

令/"=3*>0,問題等價于戶-(1+左上+2>0對任意/1>0恒成立.

］+左

令/⑺=/-(1+k)t+2,其對稱軸x=——.

當?<0即不<一1時，/(0)=2>0,符合題意；

i+左/、>o

當一20時，對任意f>0,〃。>0恒成立o2-

2［A=(1+Q2—4x2<0

解得-lV%<-l+20.

綜上所述，當上<-1+2應時，/(公3，)+/(3"-9，-2)<0對任意xeR恒成立.

8.(23-24高三上?河北保定?階段練習)已知定義在R上的函數/(元)滿足

/(Ay)=/(x)/(y)-/(x)-/(y)+2,/(0)<2,/(0)^/(1),且/(x)>0.

⑴求/⑼，〃1)，"T的值；

(2)判斷的奇偶性，并證明.

【答案］⑴"0)=1,"1)=2,/(-1)=2

(2)偶函數，證明見解析

［分析］⑴令》=y=0,求得〃0)=1,令x=y=l,求得/⑴=2,令尤=y=-l,求得小1)=2,

(2)令y=-l,再結合(1)的結果和奇偶性的定義可得結論.

【詳解】⑴令x=y=。，得〃0)="(0)了-2/(0)+2,

因為了(0)<2,所以/(O)=L

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令x=y=l,得〃1)="⑴7-2〃1)+2,

因為/(0)?/(1)，所以〃1)=2.

令xr=T,得〃1)=[〃-1)丁-2〃-1)+2,

即"(-1)了=2〃-1),

因為〃x)>0,所以八一1)>0,所以/(-1)=2.

(2)/(X)為偶函數.

證明如下：令y=Tf(-^)=f(-1)/(x)-/(-1)-/(x)+2,

由⑴#/(-x)=2/(x)-2-/(x)+2,

即〃f)=〃x),又〃尤)的定義域為R,所以〃x)為偶函數.

④抽象函數的對稱性

解題技法

(1)若函數y=/(a%+6)為偶函數，則函數圖象關于直線％=b對稱；若函數y=/(a%+b)為

奇函數，則函數圖象關于點(5,0)對稱.

(2)若函數/(%)在定義域上的圖象是一條連續不斷的曲線，則：①函數/(%)的圖象關于直線

久=a對稱-導函數/'(%)的圖象關于點(a,0)對稱；②函數/(%)的圖象關于點(a,/(a))對稱Q

導函數/'(%)的圖象關于直線％=a對稱.

一、多選題

1.(23-24高三下?山東?開學考試)函數〃尤)滿足：對任意實數都有/(x+yhAxHAy)-2,且當尤>0

時，/(x)>2,貝U()

A."0)=2B.〃尤)關于(0,2)對稱C./(-2024)+/(2024)=4D./(%)

為減函數

【答案】ABC

【分析】利用賦值法，結合函數單調性的定義、對稱性的性質逐一判斷即可.

【詳解】由對于任意實數x,y,f{x+y)=/(x)+/(y)-2,

令x=〉=0,貝！］/(0)=/(0)+/(0)-2,即/(0)=2,故A正確；

令。=一X,則f(0)"(x)+—,即/(x)+f(-元)=4,故B正確；

令龍=2024,y=-2024,則/(0)=/(2024)+/?(-2024)-2,

即/(2024)+/(-2024)=4,故C正確；

對于任意yeR，x>0,貝!］設2=%+，>丫，當x>0時，f(x)>2,

則/(z)-f(y)=/(x)-2>0,即f(z)>f(y),

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所以/(X)單調遞增，故D錯誤.

故選：ABC

2.(2024?河北?模擬預測)已知定義在R上的連續函數滿足/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),

/(1)=0,當xe[0』)時，f(x)>0恒成立，則下列說法正確的是()

A.40)=1B.“X)是偶函數

仁若D-/(x)的圖象關于*=2對稱

【答案】BCD

【分析】根據所給關系式，利用賦值法一一計算可得.

【詳解】因為V尤,yeR,/(Jy)+/(x-y)=/(x)/(y),

令x=y=0可得2〃0)=尸(0),解得了(0)=。或〃0)=2,

又當xe[0,l)時,〃x)>0恒成立，所以〃0)=2,故A錯誤；

令x=o,VyeR,貝(J/(y)+〃-y)=/(o)/(y)=2/(y),即〃一y)=/(y),

所以〃x)為偶函數，故B正確；

令戶1，T，則〃1)+嗚)=情佃'所以俏卜，

令尤=；,y=g，貝1m+〃0)=O所以嗎)=5故c正確；

令尤=1可得〃l+y)+『(l—y)=f⑴〃y)=0,

令l-y=x,可得f(2—x)+/(x)=0,又〃f)=〃x),

所以〃2-力+/(—力=0,即〃2+力+〃無)=0,

所以〃2—x)=/(2+x),

所以/(x)的圖象關于x=2對稱，故D正確.

故選：BCD

3.(2024?廣東?模擬預測)已知函數的定義域為R,若〃x+y+l)=〃x)+〃y)+2,且〃0)=1,則

()

A./(-1)=-1B,無最小值

30

C.?⑺=1425D.“X)的圖象關于點(一2,—5)中心對稱

i=l

【答案】BCD

【分析】對于A,令x=-l,y=0即可；對于BC,令y=0得，(x+l)=/■(尤)+3,通過遞推計算即可；對于

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D,令y=-4-x,得〃尤)+〃T—尤)=-10即可判斷函數/(x)的圖象關于點(-2,-5)中心對稱.

【詳解】對于A,令x=-l,y=O,M/(0)=/(-l)+/(0)+2,解得/(-1)=-2,故A錯誤；

對于B,令y=。，貝4(x+l)=〃x)+/(0)+2,且/(0)=1,即/(x+l)=〃x)+3可知函數〃x)無最小值，

故B正確；

對于C由B知，/(%+l)=/(x)+3,

所以/(1)=/(0)+3=4+0,/(2)=/(I)+3=4+3,/(3)=/(2)+3=4+6,

”4)=〃3)+3=4+9,…則

3030x29

E于①=/(l)+/(2)+/(3)+.-.+/(30)=30x4+——x3=1425,故C正確；

z=i2

對于D,令＞=-4-x,則原式化為〃—3)=〃x)+〃Tr)+2,

令x=-3,y=3,所以/(1)=/(-3)+/(3)+2,即/(—3)=—8,

所以〃x)+/(T-x)=/(_3)-2=-10,所以函數Ax)的圖象關于點(-2,-5)中心對稱，故D正確.

故選：BCD.

4.(23-24高二下?河北邯鄲?階段練習)若定義在R上的函數〃尤)滿足=++

且值域為[-L"),則以下結論錯誤的是()

A.f(o)=0B./(-1)=0

c.“X)為奇函數D./(X)的圖象關于(1,0)中心對稱

【答案】ACD

【分析】利用賦值法、函數的奇偶性和對稱性，逐項判斷即可.

【詳解】對于選項A,令元=y=0得/(0)=/(0)/(0)+〃0)+〃0),解得"0)=0或〃0)=-1,

令y=0,得〃0)=〃x)〃0)+〃x)+/(0),

由〃尤)的值域為所以“0)=0時，/(x)=0,不合題意，

所以/(O)=T,A說法錯誤；

對于選項B,令尤=y=l得〃1)=/⑴〃1)+〃1)+/?⑴，所以"1)=0或〃=

令'=1，得〃x)=〃x)〃l)+〃x)+〃l),即"1)[〃尤)+1]=0,

由〃尤)的值域為卜1,y)，所以/'(1)=0,

令X=y=T得/(1)=/(-1)/(-1)+/(-1)+/(-1)=o,所以"T=0或"T)=-2,

由“X)的值域為卜1，心)，所以=B說法正確；

對于選項C令y=T得=1)+〃力+〃-1),

因為"-1)=0,所以〃T)=〃X),所以為偶函數，C說法錯誤；

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對于選項D,若圖象關于(LO)中心對稱，貝!J，(x)+7(2-x)=0,由于定義域為R,值域為[-L"),

若/(x0)=2,則必有/(2-尤o)=-2,與題設矛盾，故D說法錯誤；

故選：ACD

5.(2024.浙江.模擬預測)已知函數“X)的定義域為R,/(1)=1,/(x+y)=/(x)+/(y)+/W/(y),

貝I」()

A.f(O)=-lB./(-%)/(%)<0

C.>=啟二為奇函數D.

仆)+2M12J

【答案】BCD

【分析】利用賦值法求得/(0)即可判斷A；利用賦值可得=2/惇1+/2并且判斷出,

由不等式的性質可得l+F(x)>0,即可判斷B；利用函數的奇偶性以及g(0)的值即可判斷C；利用等比數

列的判定可得的通項公式，利用等比數列的求和公式可得2”-忘-5,即可判斷D.

【詳解】令x=l,y=0,則〃1)=〃1)+〃0)+41)〃0),將/(1)=1代入得"(0)=0,即"0)=0,故

A錯誤；

由"0)=0,令了=一%可得0=『(x)+〃—x)+『(x)〃f),若存在x使得/=

則上式變為0=-1,顯然不成立，所以

又小)=v+1]=2個卜2小格卜卜1,

因為/(加-L,所以八句＞—1,

將o=/(X)+〃一力+y(力〃-力整理為/(-x)(l+/(x))=-/W，

因為〃尤)>T，BPl+/(x)>0,所以〃尤)〃一龍)40,故B正確;

令g(x)=/j\(xeR)'

“X)+=2(〃X)+/(T)+L(T))=0

則g(x)+g(-x)=

〃x)+2f(-x)+2-(/(x)+2)(/(-x)+2)一"

,、/(O),、

且g(O)=瑞3=0,所以g(x)為奇函數，故C正確；

當〃eN*時,/(?+1)=/(?)+/(1)+/(?)/(1)-2/(?)+1,■:若=2,

所以｛7(無)+1｝是以2為首項，2為公比的等比數列，所以/5)+1=2",

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由〃x)+l=/0+l可知Uj=2",

因為j所以/［與］=2豈1(八曠),

所以E2學一1,2「J)一5=2”一應一5<2”,故D正確;

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：關鍵是充分利用函數的奇偶性，等比數列的判定與證明以及等比數列的前n項和進

行分析，由此即可順利得解.

二、單選題

6.(2024?河北?二模)已知函數y=〃x-l)為奇函數，則函數y=〃x)+l的圖象()

A.關于點(1,1)對稱B.關于點(1,-1)對稱

C.關于點(-M)對稱D.關于點對稱

【答案】C

【分析】由函數的平移變化即可求得出答案.

【詳解】函數y=/(x-i)為奇函數，圖象關于(o,o)對稱，

將函數y=7'(x-i)向左平移一個單位可得函數y=f[x),

則函數y=/(%)關于(-1,0)對稱，

所以函數>=〃力+1的圖象關于(-U)對稱.

故選：c.

7.(2024.四川.三模)定義在R上的函數y=與y=g(x)的圖象關于直線x=l對稱，且函數

y=g(2x-l)+l為奇函數，則函數y=〃x)圖象的對稱中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

【答案】D

【分析】先根據條件得到g(x)的對稱中心，再根據對稱得到y=的對稱中心.

【詳解】因為y=g(2x-l)+l為奇函數，所以g(—2x—l)+l=—g(2x—1)-1,

即g(-2龍一l)+g(2龍-1)=一2,

故g(x)的對稱中心為『1；2尤T,_jBP(-1,-1),

由于函數y=〃x)與y=g(x)的圖象關于直線X=1對稱，

且(-1,-1)關于X=1的對稱點為(3,-1),

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故y=的對稱中心為(3,-1).

故選：D

8.(2024高三.全國?專題練習)已知函數Ax)的定義域為R,/⑺的圖象關于直線x=2對稱，/(3x+l)為

奇函數，貝I()

A./(-D=0B.C=。C./(4)=0D./(2)=0

【答案】A

【分析】由廣⑴的圖象關于直線x=2對稱可得/(2+x)=/(2-x),函數/(3尤+1)為奇函數，貝！J

/(l-3x)=-/(3x+l),可得f(x)=/(無+4),計算可求得了(—1).

【詳解】因為函數/⑴的圖象關于直線x=2對稱，則/(2+x)=/(2-x),可得〃x+3)=/(l-無)

因為函數f(3x+l)為奇函數，則/(1-3幻=-/(3尤+1),所以/(l-x)=-/(x+l),

所以/(x+3)=-f(x+l),故/(x+2)=-〃x),即f(x+4)=f(x),

故f(x)是以4為周期的周期函數.

因為函數F(x)=/(3x+l)為奇函數，則尸(0)=/(1)=0,

M/(-I)=/(2-3)=/(2+3)=/(5-4)=/(I)=0,

其他三個選項由已知條件不能確定結果是否為0.

故選:A.

⑤抽象函數的周期性

一、單選題

1.(2024.四川成都.模擬預測)已知定義在R上的奇函數/⑴滿足〃x+3)=/(x-l),且當xe(-2,0)時，

/(x)=log2(x+3),則/(2021)-/(2024)=()

A.1B.-IC.l-log23D,-l-log23

【答案】B

【分析】首先得到的周期性，再結合奇偶性與所給函數解析式計算可得.

【詳解】根據題意，函數”無)滿足〃x+3)=/'(尤-1),貝！J/(x)=f(x+4),即f(x)是周期為4的周期函數,

所以y(2021)=〃1),/(2024)=/(0),又由函數Ax)為定義在R上的奇函數，貝1〃。)=。，/(-I)=-/(1),

當xe(-2,0)時，/(x)=log2(x+3),貝！]/(-1)=log?2=1,則/⑴==T,

所以/(2021)-/(2024)=-1,

故選：B.

2.(2024高三?全國?專題練習淀義域為R的函數Ax)滿足/(x+2)=2/(x)，當xe[0,2)時，/(x)=J11,