第六章參數估計基本概念與公式點估計：設是總體的一個未知參數，用樣本的某個函數去估計，稱為對作點估計。衡量估計值好壞的標準無偏性：設是參數的估計量，若，稱是的無偏估計量。有效性：設都是參數的無偏估計量，若，稱較有效。一致性：設是參數的估計量，若，，稱是參數的一致估計量。點估計常用的方法矩估計：。總體，則，。樣本均值是總體均值的無偏、一致估計值；樣本方差是總體方差的無偏、一致估計值。最大似然估計：使樣本的似然函數取得最大值的估計量為未知參數的最大似然估計量（記為：）。離散型似然函數：總體概率分布，樣本似然函數連續型似然函數：總體概率密度，樣本似然函數求最大似然估計值方法寫出似然函數；取對數或令或，求出駐點，即為的最大似然估計值。區間估計：設是總體的待估參數，和是兩個樣本統計量，將區間作為參數的可能取值范圍的一個估計，稱為區間估計。置信度：待估區間包含真值的可能性為。置信區間：包含未知參數真值的待估區間，也是對未知參數的一種估計。單個正態總體的區間估計：設總體，是來自總體的一個簡單隨機樣本。方差已知：用于估計的統計量置信度置信區間方差未知：用于估計的統計量置信度置信區間均值已知：用于估計的統計量置信度置信區間均值未知：用于估計的統計量置信度置信區間教學基本要求理解參數估計的思想。掌握參數的點估計與最大似然估計的方法。會對單個正態總體的期望作區間估計。會對單個正態總體的方差作區間估計。理解無偏估計的概念，了解估計值“有效性”、“一致性”的概念。教學重點：參數的矩估計法。參數的最大似然估計法。單個正態總體期望的區間估計。參數無偏估計的證明。典型例題分析例1設是取自總體的一個樣本，其中是未知的，試證明：統計量都是的無偏估計量，并比較哪一個估計量更有效。解：因為；；；所以都是的無偏估計量。又因為；；；于是，所以更有效。例2設是總體的一個樣本，請適當選擇常數C，使為的無偏估計量。解：由題意，。。由于的獨立性，有，于是。例3設是取自總體的一個樣本，的密度函數，證明：是的無偏估計量。證：由于，，因此是的無偏估計量。例4設總體的分布律為，是來自總體的一個樣本，求的矩估計。解：由于，所以，即為未知參數的矩估計值。例5燈泡廠某日生產的一批燈泡中抽取10個燈泡進行壽命試驗，得到燈泡壽命（單位：小時）數據如下：1050，1100，1080，1120，1120，1250，1040，1130，1300，1200。求該日生產的整批燈泡的壽命均值和方差的矩估計值。解：由于總體均值和方差的矩估計就是樣本均值和樣本二階中心矩，所以整批燈泡的壽命均值和壽命方差的矩估計值分別為：（小時），（小時）。例6從一批電子元件中抽取8個進行壽命測試，得到如下數據（單位：h）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080試對這批元件的平均壽命以及壽命分布的標準差給出矩估計。解：樣本均值，樣本標準差因此，元件的平均壽命和壽命分布的標準差的矩估計分別為1143.75和96.0652.例7設總體，現從該總體中抽取容量為10的樣本，樣本值為0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6試對參數給出矩估計。解:由于，即,而樣本均值，故的矩估計為。例8設總體密度函數如下是樣本，試求未知參數的矩估計。（1）；（2）；（3）；（4）。解：(1)總體均值，即，故參數的矩估計為。（2）總體均值，所以，從而參數的矩估計。(3)由，可得，由此，參數的矩估計。（4）先計算總體均值與方差；。由此可以推出，，從而參數，的矩估計為，。例9.甲、乙兩個校對員彼此獨立對同一本書的樣稿進行校對，校完后，甲發現a個錯字，乙發現b個錯字，其中共同發現的錯字有c個，試用矩估計法給出如下兩個未知參數的估計：（1）該書樣稿的總錯字個數；（2）未被發現的錯字數。解：（1）設該書樣稿中總錯字的個數為，甲校對員識別出錯字的概率為，乙校對員識別出的錯字的概率為，由于甲、乙是彼此獨立地進行校對，則同一錯別字能被甲、乙同時識別的概率為，根據頻率替換思想有。由獨立性可得矩法方程，解之得。未被發現的錯字數的估計等于總錯字數的估計減去甲、乙發現的錯字數，即。譬如，如設，則該書樣稿中錯字總數的矩法估計為，而未被發現的錯字個數的矩法估計為個。例10設總體的密度函數，是來自總體的一個樣本，試求未知參數（1）矩估計；（2）最大似然估計。解：（1），于是矩估計量為。構造似然函數；取對數：；令，即未知參數的最大似然估計值為。例11設總體概率函數如下，是樣本，試求未知參數的最大似然估計。（1）；（2），。解：（1）似然函數為，其對數似然函數為。將關于求導，并令其為0即得到似然方程。解之得。由于，所以是的最大似然估計值。（2）似然函數為，其對數似然函數為。將關于求導并令其為0得到似然方程，解之可得。由于，這說明是的最大似然估計值。例12設總體概率函數如下，是樣本，試求未知參數的最大似然估計。（1），；（2）；(3)。解：（1）樣本的似然函數為。要使達到最大，首先示性函數應為1，其次是盡可能大。由于，故是的單調增函數，所以的取值應僅可能大，但示性函數的存在決定了的取值不能大于，由此給出的最大似然估計為。（2）似然函數為，。其對數似然函數為由上式可以看出，是的單調增函數，要使其最大，的取值應該盡可能的大，由于限制，這給出的最大似然估計為。將關于求導并令其為0得到關于的似然估計方程，解之。（3）設有樣本，其似然函數為。由于是關于的單調遞減函數，要使達到最大，應盡可能小，但由于限制可以得到，這說明不能小與，因而的最大似然估計為。例13設總體概率函數如下，是樣本，試求未知參數的最大似然估計(1)；（2）;(3)。解（1）不難寫出似然函數為。對數似然函數為。將之關于求導并令其為0得到似然估計方程，解之可得。而，故是的最大似然估計。（2）此處的似然函數為。它只有兩個取值：0和1，為使得似然函數取1，的取值范圍應是，因而的最大似然估計可取中的任意值。（3）由條件，似然函數為；其次要盡量小，綜上可知，的最大似然估計應為，的最大似然估計應為。例14設服從上的均勻分布，是來自總體的樣本，求的最大似然估計值與矩估計值。解：（1）的密度函數，似然函數；顯然，當時，是單調減少函數，越小，越大，但，所以，是的最大似然估計量。例15已知某種白熾燈燈泡壽命服從正態分布，在某星期中所生產的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命（以小時計）為。設總體參數均未知，試用最大似然估計值估計該星期中生產的燈泡能使用1300小時以上的概率。解：由于燈泡壽命服從正態分布，；，；故。例16從一批釘子中隨機抽取16枚，測得其長度（單位：厘米）為2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.假設釘子長度服從正態分布,在下列兩種情況下分別求總體均值的置信度為的置信區間.（1）；（2）未知。解：由觀測值可得已知，，選取統計量，置信區間，故所求的置信區間為（2.121,2.129)由于未知,選取統計量,置信區間即所求的置信區間為(2.117,2.133).例17從自動機床加工的同類零件中所抽取8個,測得長度(單位：mm)如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01如果零件長度服從正態分布,求零件長度的數學期望和標準差的置信度為的置信區間.解:由題知,,,;先求數學期望的置信區間,方差未知,用T估計法,所求置信區間是,即所求置信區間是(12.03,12.13)再求方差的置信區間,均值未知,,用估計法,所求置信區間為即所求置信區間是(0.0397,0.1221).例18隨機地抽取某種炮彈9發作試驗,測得炮口速度的樣本標準差.設炮口速度服從,求這種炮彈的炮口速度的標準差的95%的置信區間.解:,未知,,于是的95%的置信區間為,即所求置信區間是(7.4,21.1).例19為研究某型號汽車輪胎的磨耗，隨機選擇16只輪胎，每只輪胎行駛到磨壞為止，記錄所行駛路程（單位：km）如下：41250