電磁場與微波技術—場論

在許多科學與技術問題中，特別是我們這門課中，通常要研究某個物理量的空間分布狀況，時間變化規律，以及該物理量與產生它的源之間的相互關系。為研究方便，人們將某個物理量的時空分布定義為“場”，而研究場與源的數學方法就稱為“場論”。1.1引言1.2場的概念1.3標量場的方向導數和梯度1.4矢量場的通量和散度1.5矢量場的環量和旋度1.6亥姆霍茲定理1.7常用正交曲線坐標系附錄常用公式—1.1引言一、矢量矢量(Vector)：既有大小又有方向的量，一般用A表示。矢量的模：矢量的大小，表示成︱A︱或者A。在三維空間也可以用有方向的線段表示，有向線段的長度表示矢量的模，箭頭表示矢量的方向。—1.1引言例如：矢量A分別與x、y、z軸的正向所成的角

，稱為矢量A的方向角，它們的余弦稱為方向余弦。所以有：其中：單位矢量：模為1的矢量，一般用表示坐標矢量：與坐標軸正向同方向的單位矢量，如直角坐標系下的x、y、z。這樣，矢量A可寫成：二、點積與叉積1.點積(或稱標量積、內積)設矢量A與B方向的夾角為，則A與B的點積為：當A與B均不為0時，若A·B=0，則A⊥B(判斷垂直)。運算規則：注：兩個矢量的點積，結果為標量。—1.1引言—1.1引言2.叉積(或稱矢量積、外積)若A與B的夾角為，則A與B的叉積記為，其模為，方向與A、B均垂直，且按的順序構成右手螺旋關系。運算規則：當A、B均不為0時，若

，則A∥B(判斷平行)注：兩個矢量的叉積，結果仍為矢量。—1.1引言三、常用矢量1.曲線、曲面上任意一點處的法向單位矢量一般用表示切向單位矢量一般用表示。2.矢徑：起始于原點，終止于任意點M(x,y,z)的矢量定義為M點的矢徑，記為，則有：空間點的位置一般可用該點的矢徑表示，(x,y,z)點處的矢量可記為，或。矢徑方向上的單位矢量為：—1.2場的概念一、定義

某個物理量在某一空間區域的分布情況和變化規律可以用場來表示。如果在某一空間區域內的每一個點，在每一個時刻，都對應著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區域內確定了該物理量的一個場。

例如：教室中每一點都對應著一個確定的溫度，因此在教室范圍內確定了一個溫度場；地球周圍空間每一點都對應著一個重力加速度值，在地球周圍就確定了一個重力場。二、分類

按照所研究的物理量是標量還是矢量，可把場分為標量場和矢量場，如溫度場是標量場，力場是矢量場。按照物理量是否隨時間變化，可把場分為時變場和靜態場。本章討論的都是靜態場，所得結論也適用于時變場的任一時刻。—1.2場的概念—1.2場的概念

三、場的數學表示式

場可以用某物理量在某個區域內的單值時空函數來表示。

標量場矢量場靜態場時變場一般假設函數u和標量函數Ax、Ay、Az連續且具有一階連續偏導數。—1.2場的概念四、標量場的等值面

在標量場中，為了直觀地研究標量u在場中的分布情況，引入等值面的概念。等值面是由場中使函數u取相同數值的所有點組成的曲面。標量場u的等值面方程為，C為常數。C取不同的數值，就得到不同的等值面。如圖所示，當C遍取所有可能的值時，這組等值面就充滿標量場所在的空間，且兩兩互不相交。這是因為，在每點都有一個等值面通過，由于函數u是單值的，所以一個點只能在一個等值面上。例：

在無界自由空間中，位于原點的、電量為q的點電荷在空間點(x,y,z)的電位為求其等位面方程。

—1.2場的概念—1.2場的概念在二維空間中，等值面退化為等值線。若按固定的差值?c，取一系列常數C，則可得到一系列場值等差的等值面(線)。這樣這些等值面(線)的疏密程度就反映了物理量變化的快慢，如等高線。五、矢量場的矢量線為了直觀地描述矢量場的分布情況，引入矢量線的概念。矢量線是有向曲線，其上任意點的切線方向與該點處場矢量的方向相同，如圖所示。曲線上任一點M(x,y,z)的矢徑為：，其微分為曲線在M點的切向矢量。這樣，按照矢量線的定義，在任意點處的應與該點的場矢量共線，故必有—1.2場的概念矢量線滿足微分方程：—1.2場的概念例：

在無界自由空間中，位于原點的、電量為q的點電荷在空間點任意點M(x,y,z)處產生的電場強度為求該電場強度的矢量線方程。

矢量線充滿整個矢量場，且互不相交。若矢量線為有起點，有終點的曲線，則矢量場稱為有源場，發出矢量線的點和吸收矢量線的點分別稱為正源和負源，統稱為通量源。若矢量線是無頭無尾的閉曲線并形成旋渦，則矢量場稱為有旋場，有旋場由穿過矢量線旋渦的旋渦源激發。矢量線的形態和方向體現了場中各點矢量的方向，其疏密程度體現了場中各點矢量的強度。—1.2場的概念—1.3標量場的方向導數和梯度一、方向導數

定義：設是標量場

中的一點，從出發沿某一方向引一條射線l，在l上的鄰近取一動點M，使如圖。若當

(即)時，的極限存在，則稱此極限為函數

在點處沿l方向的方向導數，記為：由此可見：方向導數是函數

在點處沿l方向對距離的變化率。當方向導數大于零時，表示函數

沿l方向是增加的，反之就是減小的。方向導數等于零表示

沿l方向無變化。—1.3標量場的方向導數和梯度定理：若函數

在點

處可微，為l方向的方向余弦，則函數u在點

處沿l方向的方向導數必定存在，且有：二、梯度1.概念

方向導數揭示了標量場中某點處標量沿某個方向的變化率。但從場中任一點出發有無窮多個方向，而我們通常只關心沿哪一方向變化率最大，此變化率為多少。為此，我們從方向導數的計算公式出發來討論。—1.3標量場的方向導數和梯度已知，由于為

l方向余弦，所以l方向的單位矢量可表示為：這樣，如果把看成是某個矢量G的三個分量，即：則由上式可以看出，G在給定點處為一常矢量，它只與函數有關。而則是在給定點處引出的任一方向上的單位矢量，與函數

無關。—1.3標量場的方向導數和梯度

顯然，當與G方向一致，即時，方向導數最大。或者說，沿矢量G方向的方向導數最大，且：這樣就找到了一個矢量G，其方向是

變化率最大的方向，其模是最大的變化率。

定義：標量場的梯度表示為某一點處標量場的最大變化率的矢量，即最大的方向導數就是該點的梯度大小，記作gradu(M)。

注意：梯度與所采用的坐標系無關，它由標量場u(M)的分布所決定。在直角坐標系中，梯度的計算公式為：其中，稱為Hamilton算子，是具有矢量性質的微分算子，讀作“del”或“nabla”。

2.性質

(1)標量u沿l方向的方向導數等于u的梯度在l方向上的投影，即有：。(2)標量場u(M)中每一點M處的梯度垂直于過該點的等值面，且指向函數u(M)增大最快的方向。(3)標量場的梯度是一個矢量函數，其方向是函數u變化率最大的方向，其模等于函數u在該點的最大變化率的數值。3.運算公式

(其中，c為常數，u、v為函數)—1.3標量場的方向導數和梯度—1.4矢量場的通量和散度一、通量1.曲面的方向

為了區分曲面的兩側，規定任一側為曲面的正側面，另一側則為負側面。這種規定了正側面的曲面稱為有向曲面。對于封閉曲面，習慣上取其外側為正側面。在研究實際問題時，常規定有向曲面的單位法向矢量恒指向研究問題時所取的一側。—1.4矢量場的通量和散度2.通量通量的概念是從流體場來的。流體中各點流速不同，流速v是一個矢量。表示單位時間穿過面元的流量。矢量場的通量類似于不可壓縮的流體的流量。

在矢量場A中的任一曲面S上取一有向面元，由于所取面元很小，可視其上各點的A相等。這樣，A與的標量積稱為A穿過的通量,記作：，

為A與的夾角。則A穿過曲面

S的通量為：如果S是閉合曲面，則：—1.4矢量場的通量和散度3.通量的物理意義

利用矢量線的概念，通量可以認為是穿過曲面S的矢量線總和，故矢量線也叫通量線。通量是一個代數和(即標量)，它的正、負與面元法線方向的選取有關。對于閉合曲面來說，A在S上的通量等于正向(從負側面到正側面的方向)穿的矢量線根數減去反向穿過的矢量線根數。(無源或

正源和負源的代數和為0)當

時，表明穿出閉曲面S的矢量線多于穿入S的矢量線，此時S內必有發出矢量線的源，為正源；當

時，表明穿入閉曲面S的矢量線多于穿出S的矢量線，此時S內必有吸收矢量線的源，為負源；當

時，表明穿入閉曲面S的矢量線等于穿出S的矢量線。此時，S內正源和負源的代數和為零，或者說S內沒有源。—1.4矢量場的通量和散度(正源)(負源)—1.4矢量場的通量和散度二、散度

根據穿出閉合面的通量

的正負可以判斷出曲面內有正源或負源，但源在S內的分布情況和強弱卻是不清楚的。為此，引入散度的概念。定義：設M是矢量場A(M)中的任一點，取任一包含M點的閉合曲面，其所圍區域的體積為。當以任意方式收縮向M點時，若存在，則稱其為矢量場A在點M處的散度，記作：散度的物理意義矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；矢量場的散度是一個標量；矢量場的散度是空間坐標的函數；矢量場的散度值表征空間中通量源的密度。—1.4矢量場的通量和散度—1.4矢量場的通量和散度

divA為一標量，表示場中任一點處的通量對體積的變化率，即該點處穿出包圍單位體積的閉合曲面的通量。所以divA可稱為“通量源密度”，表示該點處源的強度。divA>0表明該點是發出通量線的正源；divA<0表明該點是吸收通量線的負源；divA=0表明該點無源。的矢量場稱為無散場(即無源場，矢量線無頭無尾，只能是閉曲線)，否則稱為有散場(即有源場，矢量線有起點或終點)。矢量場的散度的定義、意義與坐標系無關。在直角坐標系中，計算公式為：運算公式：其中，C為常矢量，c為常數，u為標量函數。—1.4矢量場的通量和散度是一個二階偏微分算子，稱為Laplace算子。三、高斯(Gauss)散度定理

任意矢量場A的散度在場中任意一個體積V內的體積分等于矢量場A穿出限定該體積的閉曲面S的通量，即這是一個非常重要的定理，從數學的角度看，高斯散度定理是實現面積分和體積分相互轉換的公式。—1.4矢量場的通量和散度—1.5矢量場的環量和旋度

矢量場不僅具有通量源，而且還有旋渦源。例如我們經常在江湖中看到水的旋渦，這種打轉的水流場就是旋渦場。通量源可以用散度來描述，而旋渦源則可以旋度描述。一、環量

若曲線L是矢量場A中任意一條有向閉曲線(環路、回路)，那么矢量場A沿有向閉曲線L的線積分：稱為矢量A沿有向閉曲線L的環量。環量是一個標量，它的大小和正負不僅與矢量場A的分布有關，而且與所取的積分環繞方向有關，其物理意義由具體的場而定。例如，在力場F中，環量表示力F沿閉合曲線L所做的功。如果，場中必定有產生這種場的旋渦源。若在一矢量場中沿任何閉曲線上的環量，則該場中不可能有旋渦源。—1.5矢量場的環量和旋度二、旋度

根據環量是否為零，可以判斷閉曲線L內是否有旋渦源，但它并不能體現場中每一點處旋渦源的分布情況。為了研究矢量場A中任意點M的性質，取包含M點的一個曲面，其邊界為閉曲線L，的面積是。設M點處的單位法向矢量為，L的正向與成右手螺旋關系。沿閉曲線L取A的線積分，保持的方向不變，而使閉曲面以任意方式收縮向M點，若極限存在，則稱其為矢量場A在點M處沿方向的環量面密度，記為，即：—1.5矢量場的環量和旋度

但是的方向有無窮多個，所以在同一點上，A對于不同方向上的環量面密度也可能不等。

因此，我們定義旋度矢量：在矢量場A中的任一點M處，其方向為M處使A具有最大環量面密度的方向，其模等于此最大環量面密度的矢量稱為矢量場A在M點處的旋度，記為rotA或。旋度的物理意義：旋渦源密度。旋度表示旋渦源的強度。的點處存在A的旋渦源。存在非零旋度值的矢量場稱為有旋場，其矢量線是環繞旋渦源的無頭無尾的閉曲線。旋度值處處為零的矢量場稱為無旋場(保守場),其矢量線有起點或終點。且的場稱為調和場。—1.5矢量場的環量和旋度在直角坐標系中，旋度的計算公式為：運算公式：其中，C為常矢量，c為常數，u為標量函數。—1.5矢量場的環量和旋度旋度的性質

(1)旋度的散度恒等于0，即

結論：對于一個散度為0的矢量場，可以將其表示為一個矢量的旋度：，則

(2)標量的梯度的旋度恒為0，即

結論：對于一個旋度為0的矢量場，可以將其表示為某一標量的梯度：，則—1.5矢量場的環量和旋度

梯度、散度、旋度的比較

一個標量函數的梯度是一個矢量函數，它描述了空間各點標量位