2024-2025學年廣東省實驗中學高三（上）月考數學試卷（10月份）

一、單選題：本題共9小題，共46分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4={x\x<a},B={幻一2<x<1},且2UCRB=R,貝b的取值范圍是（）

A.[1,+8）B.（1,+oo）C.[—2,1]D.（—2,+8）

2.如圖，/O'A'B'是水平放置的△04B用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與x'軸和y軸平行），0'8'=

2O'D'=6,O'C=8,則△。48的面積為（）

A"多方

B.1272/

C.24/

/O'~~B'x

D.48

3.設滿足一元線性回歸模型的兩個變量的71對樣本數據為（勺,月）,。2，、2），…，（久n/n），下列統計量中不

能刻畫數據與直線y=+a的“整體接近程度”的是（）

A.XzLiIyt-（.bxi+a）|B.￡%等匕

C.￡匕（%—（。/+a））2D..+。）

4.已知a、b為異面直線，則下列命題正確的是（）

A.過直線a、b外一點P一定可以作一條與a、6都平行的直線

B.過直線a、6外一點一定可以作一個與a、6都平行的平面

C.過直線a一定可以作一個與直線6平行的平面

D.過直線a一定可以作一個與直線b垂直的平面

5.已知sin（久+9=—|浮則曰匚=（）

、4,544i—tanx

A2121r（7M

A?痂BR.一痂c』D.一而

6.已知橢圓C的方程為馬+4=l（a>6>0）,焦距為2c,直線1；丫=?久與橢圓C相交于48兩點，若

\AB\=2c,則橢圓C的離心率為（）

A.?B.|C.|Di

2424

7.已知等差數列{時}的前n項和為配，若S15>0,S[6<0,則”的取值范圍是（）

A.（^）B.儒）A（-8,》U[,+CO）D.（-oo^）u（g,+oo）

8.儂！I圓海鏡》是金元之際李冶所著中國古代數學著作，這是中國古代論述容圓的一部專著，也是論述天

元術的代表作.天元術與現代數學中列方程的方法基本一致，先立“天元一”為…，相當于“設久為…”，再

根據問題的已知條件列出兩個相等的多項式，最后通過合并同類項得到方程Q。%九十的%九T+…+^.1%+

nn+1

an=0.設f(%)=aox+的第九t+—Fan_rx+an(nGN),若/(2)=5x2—3n—8,則/(I)=()

2222

A3n+4n口3n+lln「3n+5n+4門3n+7n+4

A.B.-------C.-------L).-------

1-q—一1

9.設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(B)q,P(B⑷建,P(B|4)=：,則()

113I

A.p(a)=|B.P(AB)=7C.P(2+8)=tD.PQ4|B)="

6

二、多選題：本題共2小題，共12分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

1。已知等比數列的公比為q,前?i項和為4,若S]=-1,MVnGN*,an+2>an,則()

1

A.>0B.0<q<1C.a九+i>。九D.Sn</

11.如圖，在直三棱柱ABC-4/iG中，々1CB=90。，AC=BCCC1=2,E

為BiG的中點，過力E的截面與BBi、&G分別交于點尸、G,則下列說法中正確

的是()

A.存在點F,使得&F1AE

B.線段C】G長度的取值范圍是[0,1]

C.當點尸與點B重合時，四棱錐C—4FEG的體積為2

D.設截面AFEG、AAEG,△4EF的面積分別為S1、S2,S3,條的最小值為2門

32、3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(/+|)5的展開式中久4的系數為一

13.設直線，與球。有且只有一個公共點，從直線/出發的兩個半平面a,0截球。的兩個截面圓的半徑分別為

1和3,二面角a—1—￡的平面角為早則球。的半徑為.

14.已知函數/'(久)=sinx—x+1,若關于久的不等式/(axe*)+f(—aex-x+2)>2的解集中有且僅有2個

正整數，則實數a的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△ABC中，角2,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(1--tcmB)=2,b=3,a=

(1)求C的值；

(2)延長到D點，使得乙CDB=4ACB,求BD的長度.

16.(本小題15分)

已知函數/'(x)=久(％-c)2,xER,c是常數.

(1)若〃久)在[|,+8)存在單調遞減區間，求c的取值范圍.

(2)若函數y=f(x)在尤=2處有極大值，求c的值.

17.(本小題15分)

如圖，三棱臺ABC—AiBiC],AB1BC,AC1BBr,平面ABBiA11平面力BC,AB=6,BC=4,BB1=

2,4Q與4C相交于點D,AE=2EB,且DE〃平面BCC1a.

(1)求三棱錐C-的體積；

(2)平面&B1C與平面力BC所成角為a,CQ與平面4B4所成角為0,求a+0的值.

18.(本小題17分)

已知拋物線勿：%2=4y,A,B,C是勿上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點4,B',C,則

稱三角形A'8'C'為拋物線的外切三角形.

(1)當點C的坐標為(2,1),B為坐標原點，且B4=BC時，求點B'的坐標；

(2)設外切三角形AB'C'的垂心為H,試判斷”是否在定直線上，若是，求出該定直線；若不是，請說明理

由；

(3)證明：三角形ABC與外切三角形的面積之比為定值.

19.(本小題17分)

給定正整數NN3,已知項數為771且無重復項的數對序列4：(%i，yi)，(久2,月)...。僅,加)滿足如下三個

性質：

①久”y；G[1,2,且%A%(i=1,2,

②/+i=%{i=1,2,

③(p,q)與(q,p)不同時在數對序列4中.

⑴當N=3,爪=3時，寫出所有滿足匕=1的數對序列4；

(II)當N=6時，證明：m<13；

(III)當N為奇數時，記小的最大值為T(N),求T(N).

參考答案

1.71

2.D

3.D

4.C

5.C

6.A

1.B

8.D

9.C

10.BC

11.BC

12.90

1二2/21

14臣3|「)

15.解：(1)在△ABC中，由(1一位九4)(1-tcmB)=2,得

tanA+tanB=tanAtanB—1,

顯然力cmAtcmBW1,否則tan2A=-1,于是獸生/空=一i,

1—tanAtanB

即taziC=—tan(X+8)=1,而。VC<TT,所以C=p

(2)在4ABC中，Z-ACD=^,b=3,a=V-2,

由余弦定理得C=J(77)2+32—2x/Ix3*苧=，耳，

^Z-CDB=Z-ACB,Z-A=Z-AfACD^LABC,

AD4c匕29

則一=—,AD=—=.，

ABAC'C/5

所以BD=AD—c=號.

16.解：(1)依題意，/(x)=3/一4cx+c?=Q-c)(3x-c)<0在［|,+8)上有解,

則c>|,即c的取值范圍為(|,+8);

(2)/'(%)=3x2-4cx+c2=(%—c)(3x—c),

若C=0,則f(%)=%3,/(%)在R上單調遞增，無極大值；

若c<0,當%€u(|,+8)時,/(%)>o,當久e(c5)時，/(x)<0,

可得f(x)的增區間為(-8,C),6,+8),減區間為(C《)，

；./(久)在x=2處有極大值，貝Ijc=2,與c<0矛盾；

若c>0,當％e(-8,卞u(c,+8)時，f(x)>0,當xe(,,c)時，[。)<0,

可得/'(X)的增區間為(一8,|),(C,+8),減區間為G，C),

/(x)在久=2處有極大值，貝丹=2,得c=6.

綜上所述，c=6.

17魂軍：(1),?,平面1平面A8C,且平面C平面ABC=AB,AB1BC,BCu平面ABC,

.-.BC1平面4BB12,又BB]u平面

BC1,又AClBBi，BCP\AC=C,BC,ACu平面ABC,

???BBi1平面力BC,連接QB,

???DE〃平面BCC/i，DEu平面4BQ,平面ABC】n平面BCC/】=QB,

DE//CrB,vAE=2麗，AD=2西，；.ArCr=^AC,

三棱錐C—&B1C1底面力iB】Ci的面積S1=1x2x3=3,高h=BB1=2,

???三棱錐C-4/1Cl的體積為：U==/x3X2=2；

(2)由題，分別以瓦4，前，西為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(6,0,0),C(0,4,0),Bi(0,0,2),4式3,0,2),Q(0,2,2),

O1=(3,0,0),庠=(0,4,-2),鬲=(0,-2,2)，

設平面AB4的法向量為元=(x,y,z),

丁竺I=3乂=。,取元=91,2),

則

n?B]C=4y-2z=0

又平面力BC的一個法向量為西=（0,0,2）,

,,一、?\n-BBl\4275

.-.C0Sa=|cos<n,BB]>|=超麗=或=可

.°匠砥I2V30

又a,/76(0,、)，則s譏a=cos0=

/I4c.C3/102<5710<5y[2

?*?COS(Q+p)—COSOCCOSp-SITICCSITIp=—-—x----------x—

又a+/?e(0,yr),

???a+S=今

18.解：⑴由題意可知4（—2,1）,x2=4y,即為y=二，

求導得V,=p則%,=1.由直線的點斜式化簡得切線AB'的方程為y=%-1,

B'為切線AB'與y軸的交點，則點B'的坐標為（0,-1）.

⑵設4%,苧）,8（如軍,eg務，

由⑴易知跖心=案則拋物線在4點處的切線B'c，的方程為y=也泛—/）+或=&X—丘,

乙2424

2

同理可得切線AC'的方程為y=文光-合，

24

直線B'C'和直線AC'聯立可得交點C'（歿這，安）.

Z4

同理可得A(空，

xxXXXX

l223v31

xx

設垂心”的坐標為(%,y),則=xr+x2X2+x3=~2'%”=-3+l,

-22-*2-

XX

y31

由4C，1B'H可知kA，c，?心田=春—町*盯=-1，

X2-

即2%+x2y=%3+%i+"吸

同理可得2%+x3y=%1+&+警會.

4

兩式相減可得（冷一x2）y=型一%3，即y=-L

因此垂心”在定直線y=-1上.

化簡得丫=華”一竽，

且MBI=J01_比2）2+令一卷）2=J1+（然獷氏-巧卜

點（;（久3,［）到直線48的距離為：

阜畢」（52）（『/

LC1-?-----------?----------，

J1+（中）24』1+（哈2

11

則三角形4BC的面積Si=^\AB\-dx=制(久2-%)(久3—久1)(久3-％2)1?

Zo-

由（2）知切線BC的方程為y=罰一苧,

4，(%2+%3.2%3)4(%3+%1%3%1)c，(％l+%2%1%2)

可知|B'C'|=J1+*空—空|="1+(表2-3-X2|.

.X-iXn+X-iXoXiX7Xo.

J_I4、一彳一~—|(%2-

LC+而一…’

11

則外切三角形力'8'C’的面積52=jIB'C'I?d2=白(%2—%1)(尤3—%1)(%3—X2)\.

故S]_1|(^2-%1)(%3-%1)(%3_%2)1_2

‘2田(X2-丫1)(久3-巧)(久3-工2)1

因此三角形A8C與外切三角形AB'C'的面積之比為定值2.

19.解:(1)4：(1,2),(2,3),(3,1),或A(1,3),(3,2),(2,1)；

(II)證明：因為(p,q)和(q,p)不同時出現在力中，故mW髭=15,

所以1,2,3,4,5,6每個數至多出現5次，

又因為%+1=%(i=1222■■■.m-1),

所以只有的，為對應的數可以出現5次,

1

2-

(III)當N為奇數時，先證明T(N+2)=T(N)+2N+1,

因為(p,q)和(q,p)不同時出現在4中，所以T(N)<觥=^N(N—1),

當N=3時，構造4：(1,2),(2,3),(3,1)恰有第項，且首項的第1個分量與末項的第2個分量都為1,

對奇數N,如果可以構造一個恰有觥項的序列4且首項的第1個分量與末項的第2個分量都為1,

那么對奇數N+2而言，可按如下方式構造滿足條件的序列4：首先，對于如下2N+1個數對集合：

{(1,N