第36講平面向量的數量積及運算

知識梳理

知識點一.平面向量的數量積a

(1)平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量日與我們把數量|0||6|cos。叫做日與方的數量積(或內積)，記

作展5,即n.5=|a||B|cos。，規定：零向量與任一向量的數量積為0.

(2)平面向量數量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos。叫做向量。在b方向上的投影數量，當。為銳角時，它是正數；

當。為鈍角時，它是負數；當e為直角時，它是o.

②a小的幾何意義：數量積。小等于a的長度|a|與b在。方向上射影|b|cos。的乘積.

③設B是兩個非零向量，它們的夾角是0,2與B是方向相同的單位向量，

麗=扇3=5,過濕的起點A和終點8,分別作前所在直線的垂線，垂足分別為4瓦，

得到麗，我們稱上述變換為向量苕向向量B投影，瓶叫做向量M在向量5上的投影向

量.記為|陽cos曲.

知識點二.數量積的運算律

已知向量a、b、c和實數X,貝I)：

①a-b=b-a；

②(2a)-b=2(ab)=a-(Ab)；

(§)(a+b)c=ac+bc.

知識點三.數量積的性質

設a、6都是非零向量，e是與6方向相同的單位向量，。是。與e的夾角，則

①e?a=a?e=|a|cos。.?a±Z(<x>aft=0.

③當a與分同向時,a-b=\a\\b\；當。與b反向時，a-b=-\a\\b\.

特別地，a?a=|a/或|a|=~Jaa.

1

"h

@COS0=—：—(|aIIZ>|7^0).⑤|a1|W|a||Z>|.

IaII*I

知識點四.數量積的坐標運算

已知非零向量a=（占，%），b=（x2,y2）,6為向量a、b的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模|a|=Naa\a\=y]x2+y2

數量積〃?辦=|a1sleos6ab=%%2+%必

cos。=ab

夾角

\a\\b\Jx；+y；,在+￡

的充要

ab-Q尤1尤2+%>2=0

條件

a//b的充要

a=AbQbw0)尤1%-％%=0

條件

|e"與|。|網\a-b\<\a\\b\（當且僅

1玉%+%為|WG+X-Jx；+y；

的關系當〃〃力時等號成立）

知識點五、向量中的易錯點

（1）平面向量的數量積是一個實數，可正、可負、可為零，且區陌||方|.

（2）當萬片0時，由小B=0不能推出方一定是零向量，這是因為任一與己垂直的非零

向量5都有無B=o.

當方片。時，且。-5=小^時，也不能推出一定有5=1,當B是與G垂直的非零向量，

是另一與日垂直的非零向量時，有無5=萬十=0,但6#晨

（3）數量積不滿足結合律，即（口?方江?3力，這是因為3石兄是一個與工共線的向

量，而（51招是一個與a共線的向量，而々與c不一定共線，所以0?方兄不一定等于,

即凡有數量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項.

（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當且僅當晨B>0且日片篇（九>0）（或苕4<0,

且商片九5（九<0））

【解題方法總結】

2

（1）5在M上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0.

（2）數量積的運算要注意4=。時，展坂=0,但小5=0時不能得到或方=0,因

為4時，也有商?B=o.

（3）根據平面向量數量積的性質：|五|=,cos6=°,商_15=值?5=0等，

團聞

所以平面向量數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題.

（4）若。、b、。是實數，則〃/?="二>力=c（。。0）；但對于向量，就沒有這樣的性

質，即若向量4、b>3滿足①B二萬^（4。0）,則不一定有5=^,即等式兩邊不能同時

約去一個向量，但可以同時乘以一個向量.

（5）數量積運算不適合結合律，即。,這是由于表示一個與

己共線的向量，小（BN）表示一個與五共線的向量，而m與^不一定共線，因此（小B）]與

5-?c）不一定相等.

必考題型全歸納

題型一：平面向量的數量積運算

例1.（2024?吉林四平?高三四平市第一高級中學校考期末）已知向量方，方滿足

同=2,|昨收且不與5的夾角為:，則他+孫儂詢=（）

A.6B.8C.10D.14

例2.（2024?全國?高三專題練習）已知同=6,問=3,向量力在5方向上投影向量是

4e,則為（）

A.12B.8C.-8D.2

例3.（2024?湖南長沙?周南中學校考二模）已知菱形/BCD的邊長為1,

ABAD=-^,G是菱形ABCD內一點，若麗+說+祀=0,則而.艮（）

A.1B.1C.-D.2

22

變式1.（2024?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習）已知單位向量:工，且

<a,b）=-,若G+Z）—,。|=2，則=[=（）

A.1B.12C.-2或2D.-1或1

3

變式2.（2024?廣東?校聯考模擬預測）將向量加=（也,夜）繞坐標原點。順時針旋轉

75°得至而1，則赤?苑=（）

A.B.V6-V2

2

C.V6+V2D.

2

變式3.（2024?全國?高三專題練習）正方形A3CD的邊長是2,E是AB的中點，則

ECED=（）

A.y/5B.3C.26D.5

變式4.（2024?天津和平?高三耀華中學校考階段練習）如圖，在AA3C中，

ABAC=,AD=2DB>P為CD上一點，且滿足AP=，〃AC+geR）,若AC=3,

AB=4,則而.函的值為（）.

變式5.（2024?陜西西安?西北工業大學附屬中學校考模擬預測）已知向量B滿足同

向共線，且W=2,卜/-0=1,則（a+B）a=（）

A.3B.15C.-3或15D.3或15

變式6.（2024?吉林長春?東北師大附中校考模擬預測）在矩形A3CD中，

43=1,4。=2,4。與瓦）相交于點。，過點A作AE，8。于E,則通.血=（）

,12r24c12、4

A.—B.—C.—D.一

252555

【解題方法總結】

（1）求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到

解題思路.

（2）平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征,

因而平面向量數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛.

（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點問題，應熟練掌握其公式：向量力在

4

向量5方向上的投影為J.

\b\

（4）向量運算與整式運算的同與異（無坐標的向量運算）

同：（a±b）2=a2±2ab+b1；±Z?|=a2±lab+b2；a（/?+c）=aA+ac公式都可通用

異：整式：〃力二士同網，時僅僅表示數；向量：4.5=±同忖COS6（。為Q與力的夾角）

22

\ma±nt^=^m|^|±2mH|^||Z?|cos^+n|fe|,使用范圍廣泛，通常是求模或者夾角.

|m（2|-|n^|<^ma±nb^<\mc^+網，通常是求\ma±最值的時候用.

題型二：平面向量的夾角

例4.（2024?河南駐馬店?統考二模）若單位向量￡,后滿足|2￡-0=逐，則向量￡,5

夾角的余弦值為.

例5.（2024?四川?校聯考模擬預測）若￡晟是夾角為60。的兩個單位向量，則

a=2ei+e^^b=-3e{+2最的夾角大小為.

例6.（2024?重慶?高三重慶一中校考階段練習）已知向量日和方滿足：同=1,忖=2,

忸-即2無5=。，則方與石的夾角為.

變式7.（2024?上海楊浦?復旦附中校考模擬預測）若向量G與石不共線也不垂直，且

c=a-[^-^\b,則向量夾角①，砂=________.

ya-bJ

變式8.（2024?上海長寧?上海市延安中學校考三模）已知是同一個平面上的向

量，若同=同=|司，且晨彼=0,濟萬=2,不5=1,貝。依口）=.

變式9.（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知向量分滿足

5=（1,-1）,|5|=1,a-b=l，則向量Z與丐的夾角大小為.

變式10.（2024?四川?校聯考模擬預測）已知向量￡=1+1,6）,5=（1,0）,a-b=-2,

則向量Z+B與B的夾角為.

變式11.（2024?湖南長沙?雅禮中學校考模擬預測）已知向量2=（1,2）,加=（4,2）,若非

零向量"與￡,石的夾角均相等，則"的坐標為_（寫出一個符合要求的答案即可）

5

【解題方法總結】

求夾角，用數量積，由a-b^a\-\b\cose得

a-bxx+yy

r2r2進而求得向量。，石的夾角.

COS0=1補出廠而

題型三：平面向量的模長

例7.（2024?湖北?荊門市龍泉中學校聯考模擬預測）已知平面向量Z,b，2滿足

a=(2,1),b=(1,2),且a_Lc.若B.c=30，則|c|=()

A.V10B.275C.572D.3石

例8.（2024?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知％,后是非零向量，

同=1,^a+2b）la,向量￡在向量分方向上的投影為一,，則.

例9.（2024?海南?高三校聯考期末）已知向量萬，B滿足。=（1,1）,忖=4,

方,（苕-6）=—2,則〔3方_.=.

變式12.（2024?四川南充?闔中中學校考二模）已知為單位向量，且滿足

=A/6,貝1巾。+0=.

變式13.（2024?河南駐馬店?統考三模）已知平面向量海滿足同=而煙=2,且

（2a+B）.（q_B）=14,則卜+囚=.

變式14.（2024?全國?高三專題練習）已知向量乙方滿足卜-.=5卜+.=忸-51

則|日=.

變式15.（2024?河南鄭州?模擬預測）已知點O為坐標原點，礪

麗=（-3,4）,點尸在線段42上，且網=1,則點尸的坐標為.

變式16.（2024?廣西?高三校聯考階段練習）已知2=（-2,1）,b=（4,t）,―，則

忻一0=.

【解題方法總結】

求模長，用平方，|67|=7F.

6

題型四：平面向量的投影、投影向量

例10.（2024?上海寶山?高三上海交大附中校考期中）已知向量1=（3,6）,3=（3,-4）,

則M在B方向上的數量投影為.

例11.（2024?上海虹口?華東師范大學第一附屬中學校考三模）已知

￡=（-2,-1）&=?加）,若向量加在向量2方向上的數量投影為石，則實數機=.

例12.（2024?全國?高三專題練習）已知向量同=6,工為單位向量，當向量￡、工的夾

角等于45。時，則向量￡在向量工上的投影向量是.

變式17.（2024?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習）已知向量萬=（-1,2）,向量

方=（1,1）,則向量1在向量5方向上的投影為.

變式18.（2024?新疆喀什?統考模擬預測）已知向量2,B滿足曰+4=3,同=2,

^=（0,1）,則向量￡在向量分方向上的投影為.

變式19.（2024?全國?高三專題練習）已知非零向量為5滿足（萬-25）,且向

量方在向量。方向的投影向量是:力，則向量且與B的夾角是.

變式20.（2024?全國?模擬預測）已知向量2=（1,0））=（0,1）,3"="2=1,則向量Z在

向量之上的投影向量為.

【解題方法總結】

設日，石是兩個非零向量，它們的夾角是仇。與B是方向相同的單位向量，

麗=。,9=看，過荏的起點A和終點B,分別作前所在直線的垂線，垂足分別為4,用，

得到麗，我們稱上述變換為向量4向向量B投影，4瓦叫做向量力在向量5上的投影向

量.記為|a|cos0e.

題型五：平面向量的垂直問題

例13.（2024?四川巴中?南江中學校考模擬預測）已知向量2=。,2）3=（-2,3）,若

（新+B）_L（萬一5）,則左=.

例14.（2024?全國?高三專題練習）已知向量￡,b，2,其中B為單位向量，且

alb，若R=，則（力）"2"）.

7

注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.

例15.（2024?江西宜春?高三校聯考期末）設非零向量￡,6的夾角為。.若忖=2網，

且（a+2辦）_L（3a—,貝!J6=.

變式21.（2024?江西南昌?高三統考開學考試）已知兩單位向量的夾角為三，若

a=ei+2e2,b=ei+me2,且￡_1石，則實數加=.

變式22.（2024?海南?校考模擬預測）已知2為單位向量，向量石在向量￡上的投影向量

是%,且（3￡+二），3,則實數X的值為.

變式23.（2024?全國?模擬預測）向量拓=（1,尤）萬=（2,1）,且方“而+同，則實數X=

變式24.（2024?全國?高三專題練習）非零向量2=（cos（a-6）,sin6），5=（1,sina）,若

aLb，則tanatan/?=.

變式25.（2024?河南開封?校考模擬預測）已知向量2=（-2,3）了=（4,-5）,若

（幾a-則力=.

變式26.（2024?海南海口?海南華僑中學校考模擬預測）已知向量2,3不共線，

￡=（2,1）,力僅向，寫出一個符合條件的向量石的坐標：.

變式27.（2024?河南開封?統考三模）已知向量2=石=（1,3）,若Q-為，況

則祖=.

【解題方法總結】

=XVX2+%%=0

題型六：建立坐標系解決向量問題

例16.（2024?全國?高三專題練習）已知|￡|=g|=|"|=1,￡3=-；，

c=xa+yb（x,eR）,則冗一V的最小值為（）

A.-2B.一拽C.-V3D.-1

3

例17.（2024?安徽合肥?合肥市第七中學校考三模）以邊長為2的等邊三角形45。每個

8

頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已

IT

知尸為弧/C上的一點，且=則麗.麗的值為（）

0

B.4+72

C.4-273D.4+273

例18.（2024?黑龍江哈爾濱?哈師大附中校考模擬預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽

的圖案，奧運五環的大小和間距如圖所示.若圓半徑均為12,相鄰圓圓心水平路離為26,

兩排圓圓心垂直距離為11.設五個圓的圓心分別為0、口、Q、Q，則

西?（甌+M）的值為（）

D.-242

變式28.（2024?陜西安康?陜西省安康中學校考模擬預測）如圖，在圓內接四邊形

ABCD^,/54D=120O,AB=AD=1,AC=2.若E為CD的中點，則麗.麗的值為()

-1D.3

變式29.（2024?安徽合肥?合肥市第八中學校考模擬預測）如圖，已知△A5C是面積為

9

的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2的正方形，其各頂點均位于AA3C的內部及

三邊上，且恰好可在AABC內任意旋轉,則當題.存=0時，|苑+加/=()

C.3+2&D.2+3指

變式30.(2024?河南安陽?統考三模)已知正方形ABCD的邊長為1,。為正方形的中心,

E是AB的中點，則瓦.而=()

3

C.D.1

4

y八

D(°，。)C(a,a)

-------------------------------

AB(。,0)

邊長為。的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形

y

D(bcosQ,bsinB)C(a+bcosQ,加in。)

B(a,0)

10

平行四邊形直角梯形等腰梯形圓

建系必備（1）三角函數知識彳=/8$。，了=七苗。；（2）向量三點共線知識

OC=AOB+（1-A）OA.

題型七：平面向量的實際應用

例19.（2024?江西宜春?高三校考階段練習）一質點受到同一平面上的三個力耳，F2,

F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，已知《，工成120。角，且M，尼的大小都為

6牛頓，則工的大小為牛頓.

例20.（2024?內蒙古赤峰?統考三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為30。的斜面

上，物體處于平衡狀態，且受到三個力的作用，即重力存，垂直斜面向上的彈力耳，沿著

斜面向上的摩擦力心已知：同=80gN,同=16ON,則￡的大小為.

例21.（2024?全國?高三專題練習）如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于

平衡狀態.已知兩條繩上的拉力分別是耳，工，且耳，工與水平夾角均為45。，

園=|同=4夜N,則物體的重力大小為N.

變式31.（2024?全國?高三專題練習）兩同學合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所

示，則耳與巴大小之比為.

11

Fi

F2

書

變式32.(2024?浙江?高三專題練習)一條漁船距對岸46%以2切/的速度向垂直于

對岸的方向劃去，到達對岸時，船的實際行程為8物?，則河水的流速是km/h.

【解題方法總結】

用向量方法解決實際問題的步驟

第36講平面向量的數量積及運算

知識梳理

知識點一.平面向量的數量積a

(1)平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量日與我們把數量|0||6|cos。叫做日與方的數量積(或內積)，記

作展5,即n.5=|a||B|cos。，規定：零向量與任一向量的數量積為0.

(2)平面向量數量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos。叫做向量。在b方向上的投影數量，當。為銳角時，它是正數；

當。為鈍角時，它是負數；當e為直角時，它是o.

②a小的幾何意義：數量積。小等于a的長度|a|與b在。方向上射影|b|cos。的乘積.

③設B是兩個非零向量，它們的夾角是仇。與B是方向相同的單位向量，

礪=%歷=5,過通的起點A和終點2,分別作國所在直線的垂線，垂足分別為4,男，

得到麗，我們稱上述變換為向量苕向向量B投影，瓶叫做向量日在向量日上的投影向

量.記為|陽cos曲.

知識點二.數量積的運算律

已知向量a、b、c和實數X,貝I)：

①a-b=b-a；

②(2a)-b=2(ab)=a-(Ab)；

(§)(a+b)c=ac+bc.

知識點三.數量積的性質

設a、6都是非零向量，e是與6方向相同的單位向量，。是。與e的夾角，則

@e-a=a-e=\a\cos0.②a_L60a1=0.

③當a與1同向時,a-b=\a\\b\；當。與b反向時，a-b=-\a\\b\.

特別地，a?a=|a/或|a|=~Jaa.

1

"h

@COS0=—：—(|aIIZ>|7^0).⑤|a1|W|a||Z>|.

IaII*I

知識點四.數量積的坐標運算

已知非零向量a=（占，%），b=（x2,y2）,6為向量a、b的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模|a|=Jaa\a\=y]x2+y2

〃?辦=1〃1sleose

數量積ab=xxx2+.%

ab

COS0=2,3產

夾角

\a\\b\Jx；+y；,在+￡

的充要

ab-Q尤1尤2+%>2=0

條件

a//b的充要

a-AbCbwO)尤1%-％%=0

條件

|e"與|。|網\a-b\<\a\\b\（當且僅

1%9+X%IW+y；-收+y；

的關系當〃〃力時等號成立）

知識點五、向量中的易錯點

（1）平面向量的數量積是一個實數，可正、可負、可為零，且|也不區5|出|.

（2）當萬片0時，由小B=0不能推出方一定是零向量，這是因為任一與己垂直的非零

向量5都有無B=o.

當方片。時，且2=M吃時，也不能推出一定有方=1,當5是與a垂直的非零向量，

是另一與日垂直的非零向量時，有無5=萬十=0,但6#晨

（3）數量積不滿足結合律，即（萬?方兄?0?，這是因為3石兄是一個與工共線的向

量，而（51招是一個與a共線的向量，而々與c不一定共線，所以（a?方兄不一定等于,

即凡有數量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項.

（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當且僅當晨B>0且日片篇（九>0）（或苕4<0,

且商片九5（九<0））

【解題方法總結】

2

(1)5在M上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0.

(2)數量積的運算要注意4=。時，展坂=0,但小5=0時不能得到或方=0,因

為4_LB時，也有a-b=0.

(3)根據平面向量數量積的性質：|五|=,cos6=°,商_15=值?5=0等，

團聞

所以平面向量數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題.

(4)若。、b、。是實數，則〃/?="二＞力=c(。。0)；但對于向量，就沒有這樣的性

質，即若向量M、5、^滿足。％=萬］(商。0),則不一定有B二^,即等式兩邊不能同時

約去一個向量，但可以同時乘以一個向量.

(5)數量積運算不適合結合律，即(商?分)?1安如(加3)，這是由于(商丘)?只表示一個與

己共線的向量，小(BN)表示一個與五共線的向量，而M與^不一定共線，因此(小B)］與

5-?c)不一定相等.

必考題型全歸納

題型一：平面向量的數量積運算

例1.(2024?吉林四平?高三四平市第一高級中學校考期末)已知向量方，方滿足

同=2,|昨收且不與5的夾角為:，則他+孫儂詢=()

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】'

由|司=2,向=6,且力與5的夾角為g

0

所以(4+另).(2々一回=2a+a,b-b

=2口+|2|*|^|cos-^--|&|

.2

=2X22+2X^X^--(V3)=8.

故選：B.

例2.(2024?全國?高三專題練習)已知同=6,忖=3,向量方在5方向上投影向量是

4工，則9.E為()

3

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【解析】力在5方向上投影向量為B|cos（9."=4",

.,.同cos。=4,a-b=|a||/?|cos^=4x3=12.

故選：A

例3.（2024?湖南長沙?周南中學校考二模）已知菱形/BCD的邊長為1,

—,—.1

AB-AD=--,G是菱形/8Q）內一點，若G4+通+祀=0,則3s.須=（）

A.1B.1C.-D.2

22

【答案】A

【解析】在菱形6菱形/BCD的邊長為1,ABAD=-^,

所以4.而=|題,而|cosNBAO=cosZBAO=-g,

所以/84。=120。，則“LBC為等邊三角形，因為G1+GS+交=0，

所以笈=-（通+武），設點M為BC的中點，則函=一2加，所以玄〃話，

所以G,A,M三點共線，所以/”為8c的中線，

所以回卜[ijT，

同理可得點45,4C的中線過點G,

0

所以點G為”RC的重心,故|AG|=§|AM|=

在等邊AABC中，〃為8c的中點，則N2AAf=30°,

所以和.麗=|恁，而kos/BAMu^xlx亨=g

故選：A

變式1.（2024?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習）已知單位向量J],且

4

〈。工〉=1'若G+Z)J_1。|=2，則()

A.1B.12C.一2或2D.-1或1

【答案】D

_._.—>—>-TT-TT

【解析】由題意單位向量二工，且〈。力〉=方，可知1+7與：的夾角為《，

因為他+可，心所以僅用=；或技，

故當缶,司=三時，a.c=|a|-|c|cos(a.c)=lx2x1=l；

當伍0〉=g時，a-c=|a|-|c|cos(a.c)=lx2x(-1)=-l,

故選：D.

變式2.(2024?廣東?校聯考模擬預測)將向量爐=(血,3)繞坐標原點。順時針旋轉

75。得到麗-則麗?西=()

A.如二包B.V6-V2

2

C.V6+V2D.

2

【答案】B

【解析】因為赤=(叵伺，所以幽=J(⑹'+(@2=2,

因為向量不繞坐標原點。順時針旋轉75°得到OPt，

所以向量而與向量時的夾角為75。，且師12,

所以存.西=|西?研］cos75。=2x2xcos(300+45。)

=4(TXT4XT)=V"-^-

故選：B

變式3.(2024?全國?高三專題練習)正方形A5CQ的邊長是2,E是A3的中點，則

5

ECED=（）

A.亞B.3C.2V5D.5

【答案】B

【解析】方法一：以｛荏，砌為基底向量，可知同卜畫=2,適而=0,

--->--->---->I--->---->---、--->--->I--->---->

則EC=EB+BC=—AB+AD,ED=EA+AD=——AB+AD,

22

所以反1.麗J；方+呵9+呵/+而2=_]+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，

則E（l,0）,C（2,2）,￡>（0,2）,可得配=（1,2）,方=（-1,2）,

所以反?茴=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=ECD=2,

DF1+CF1-DC25+5-43

在ACDE中，由余弦定理可得cosNDEC="。"廠=（

2DE-CE2xV5xV55

所以反?前=|就八碼cosZDEC=V^x^x|=3.

故選：B.

變式4.（2024?天津和平?高三耀華中學校考階段練習）如圖，在AA3C中，

ABAC=y,而=2而，p為CD上一點,且滿足Q=〃z恁+ga^（wieR）,若AC=3,

AB=4,則Q.函的值為（）.

6

c

A.-3

【答案】C

__2__?__?1__.

即而二—前k且CkD=—四+—乙?,

333

31

又C、尸、。共線，有機+7=1,即根=：,

44

^AP=\AC+\AB,1^CB=CA+AB,

42

__.2.1?2>2__?__?

；.CD^-(CA+AB)+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

1.1—.2—■—■1—.21.—.1—.216913

??.AP.CI5=(-AC+-ABX-AB-AC)^-AB——ABAC——AC=一一2——=一.

4233343412

故選：C

變式5.(2024?陜西西安?西北工業大學附屬中學校考模擬預測)已知向量Z，后滿足同

向共線，且利=2,口一加1,則(￡+?￡=()

A.3B.15C.-3或15D.3或15

【答案】D

【解析】因為向量￡,5滿足同向共線，所以設Z="(彳>0),

又因為卜=1,M=2,所以,b-0=|(/l-1)/?|=(A-1)"|/>|=4(4-1)2=1,

所以力=彳或2=3，即所"或a=

①當￡二，時，（Z+B）33

24

_一3—5315

②當〃=,8時,b=15；

2

所以（Z+沖的值為3或15.

故選：D.

7

變式6.(2024?吉林長春?東北師大附中校考模擬預測)在矩形A3CD中，

43=1,4。=2,4。與8。相交于點。，過點A作于E,則通.正=()

4

C.乜D.

55

【答案】D

【解析】建立如圖所示直角坐標系:

則4(0,0)((2,0),。(2,1),

設E(x,y),則通二(x,y-l),BE=(x,y),麗二(2,1)

vAE_LBD/.AE_L而且屜〃而，

x=—

2x+y-l=0解得?

x-2y=0

21—?24-

E(丁q),AE=EC=

在矩形A5CQ中，。為3。的中點,

所以。■

,由A(O,1),

所以而=

—?—?24

AEAO=-xl+

55

故選：D.

【解題方法總結】

(1)求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到

解題思路.

(2)平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，

8

因而平面向量數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛.

（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點問題，應熟練掌握其公式：向量M在

向量5方向上的投影為妙.

\b\

（4）向量運算與整式運算的同與異（無坐標的向量運算）

同：（a±b）2=a2±2ab+b1；|tz±Z?|=yja2±2ab+b2；〃（Z?+c）=ab+ac公式都可通用

異：整式：〃?3=±同網，1d僅僅表示數；向量：五?5=±同碓05。（。為a與辦的夾角）

|癡±回=J/同間cose+Nq,使用范圍廣泛，通常是求模或者夾角.

|mtz|-|nS|<\ma±nb^<\mc^+網，通常是求\ma±最值的時候用.

題型二：平面向量的夾角

例4.（2024?河南駐馬店?統考二模）若單位向量Z,石滿足|2Z-q=而，則向量￡,b

夾角的余弦值為.

【答案】-7/-0.25

【解析】設向量Z，石的夾角為。，因為|2〃-囚=e，所以4）2_47萬+片=6?

又W=W=1,所以4—4cos9+l=6,所以cos8=-；.

故答案為：-:

例5.（2024?四川?校聯考模擬預測）若錄，晟是夾角為60。的兩個單位向量，則

M=2,+4與辦=—3q+2g的夾角大小為.

2

【答案】120。/鏟

【解析】晟是夾角為60。的兩個單位向量，則74=同同cos6（F=；,

u?b=（2q+4）?（-3q+24）-—6,+6?4+2與=-6+—+2=——,

Ia|=\/（2,+4）=Q4C]+4q,4+4=A/4+4X—F1=y/7,

9-12xl+4=V7,

|5|二

2

9

/_a-b1

/.cos(a,b)=-----=——,

\a\-\b\2

■：0°<<Zz,fe）<180°,{a,b）=l20°.

故答案為：120°

例6.（2024?重慶?高三重慶一中校考階段練習）已知向量日和5滿足：同=1,忖=2,

\2a-b\-2a-b=O,則益與日的夾角為.

7T

【答案】y/60°

【解析】記向量￡和萬的夾角為凡將忸叫=2泊5平方得到：

41a|2+1|2-41?|||cos0=41a|21ft|2cos20^-2cos2d+cos0-1=0^-cosgK-1,

又因為悔-方卜2a!b20ncos"-1,即cos。=：=>0=%.

故答案為：—.

變式7.（2024?上海楊浦?復旦附中校考模擬預測）若向量4與5不共線也不垂直，且

c=a-[^-^\b,則向量夾角〈商，羚=________.

\a-bJ

【答案】I

【解析】由題意可得：益?m（十一（云3"）=1-[5乂（&.=02—12=0,

故：a±c,即向量a與"的夾角為].

故答案為