人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2.4組合數基礎達標一、選擇題1．200件產品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法種數為()A．Ceq\o\al(32,197)·Ceq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)C．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(5,197) D．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,197)〖解析〗至少2件次品包含兩類：(1)2件次品，3件正品，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)種，(2)3件次品，2件正品，共Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)種，由分類加法計數原理得抽法共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197).〖答案〗B2．計算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝()A．120 B．240C．60 D．480〖解析〗Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝eq\f(7×8,2×1)＋eq\f(6×7×8,3×2×1)＋eq\f(8×9,2×1)＝120.〖答案〗A3．方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)的解集為()A．{4} B．{14}C．{4，6} D．{14，2}〖解析〗由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,0≤2x－4≤14，,x≤14))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝14－（2x－4），,0≤2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或6.〖答案〗C4．某中學從4名男生和3名女生中選4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有()A．140種 B．120種C．35種 D．34種〖解析〗從7人中選4人，共有Ceq\o\al(4,7)＝35(種)選法，4人全是男生的選法有Ceq\o\al(4,4)＝1(種)．故4人中既有男生又有女生的選法種數為35－1＝34.〖答案〗D5．假如北京大學給中山市某三所重點中學7個自主招生的推薦名額，則每所中學至少分到一個名額的方法數為()A．30 B．21C．10 D．15〖解析〗用“隔板法”．在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板，有Ceq\o\al(2,6)＝15(種)分配方法．〖答案〗D二、填空題6．計算：Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(10－n,n＋1)＝__________．〖解析〗∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤5－n≤n，,0≤10－n≤n＋1，))∴eq\f(9,2)≤n≤5.∵n∈N*，∴n＝5，∴Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(10－n,n＋1)＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(5,6)＝1＋6＝7.〖答案〗77．4名優秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少1名，則不同的保送方案有__________種．〖解析〗把4名學生分成3組有Ceq\o\al(2,4)種方法，再把3組學生分配到3所學校有Aeq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)保送方案．〖答案〗368．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是__________(用數字作答)．〖解析〗當每個臺階上各站1人時有Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)種站法；當兩個人站在同一個臺階上時有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)種站法．因此不同的站法種數為Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)＝210＋126＝336.〖答案〗336三、解答題9．(1)以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四面體？(2)以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四棱錐？解(1)正方體8個頂點可構成Ceq\o\al(4,8)個四點組，其中共面的四點組有正方體的6個表面及正方體6組相對棱分別所在的6個平面的四個頂點，故可以確定四面體Ceq\o\al(4,8)－12＝58(個)．(2)由(1)知，正方體共面的四點組有12個，以這每一個四點組構成的四邊形為底面，以其余的四個點中任意一點為頂點都可以確定一個四棱錐，故可以確定四棱錐12Ceq\o\al(1,4)＝48(個)．10．某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選法？解分三類：第一類，選出的4名鉗工中無“多面手”，此時選法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,6)＝75(種)；第二類，選的4名鉗工中有1名“多面手”，此時選法為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,5)＝100(種)；第三類，選的4名鉗工中有2名“多面手”，此時選法為Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＝10(種)．由分類加法計數原理，得不同的選法共有75＋100＋10＝185(種)．能力提升11．某校開設9門課程供學生選修，其中3門課程由于上課時間相同，至多選1門，學校規定每位同學選修4門，則共有__________種不同的選修方案．〖解析〗分兩類：第一類，從6門不同時上課的課程中任選4門，有Ceq\o\al(4,6)種選法；第二類，在不同時上課的6門課程中選3門，再從3門同時上課的課程中選1門，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(3,6)種選法．所以不同的選修方案共有Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(3,6)＝75(種)．〖答案〗7512．從1到6這6個數字中，取2個偶數和2個奇數組成沒有重復數字的四位數．試問：(1)能組成多少個不同的四位數？(2)四位數中，2個偶數排在一起的有幾個？(3)2個偶數不相鄰的四位數有幾個？(所得結果均用數值表示)．解(1)易知四位數共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝216(個)．(2)上述四位數中，偶數排在一起的有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝108(個)．(3)由(1)(2)知兩個偶數不相鄰的四位數有216－108＝108(個)．創新猜想13．(多選題)若Ceq\o\al(n,12)＝Ceq\o\al(2n－3,12)，則n等于()A．3 B．5C．7 D．15〖解析〗由組合數的性質得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故選AB.〖答案〗AB14．(多空題)將甲、乙等5位同學分別保送到北京大學、上海交通大學、浙江大學三所大學就讀，每所大學至少保送一人．(1)有________種不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有________種不同的保送方法．〖解析〗(1)5名學生可分成2，2，1和3，1，1兩種形式，當5名學生分成2，2，1時，共有eq\f(Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)方法；當5名學生分成3，1，1時，共有eq\f(Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝60(種)方法．根據分類加法計數原理知共有90＋60＝150(種)保送方法．(2)先將五人分成三組，因為要求每組至少一人，所以可選擇的只有2，2，1或3，1，1，所以有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\