數學解答題的解題策略

解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個檔次，低檔題主要考查基礎知識和基本方法與

技能，中檔題還要考查數學思想方法和運算能力、思維能力、整合與轉化能力、空間想象能

力，高檔題還要考查靈活運用數學知識的能力及分析問題和解決問題的能力.

基礎訓練

(1)已知aeR,求函數y=(a-sinx)(a-cosx)的最小值.

思路點撥：

y=(a-sinx)(a-cosx)=a2-a(sinx+cosx)+sinxcosx，而sinx+cosx與sinxcosx有聯

系，可設/=sinx+cosx,則原來的問題可轉化為二次函數的閉區間上的最值問題.

22

(2)x、y滿足條件標+會=1,求y—3x的最大值與最小值.

思路點撥：

此題令b=y—3x,即y=3x+b,視b為直線y=3x+b的截距，而直線與橢圓必須有公共點，

故相切，b有最值.

(3)不等式2x-1>m(x2-1)對滿足me［-2,2］的一切實數m都成立,求x的取值范圍.

思路點撥：

此問題由于是常見的思維定勢，易把它看成關于x的不等式討論，若變換一個角度，以m

為變量，使八加)=(——1)加—(2x-1),則問題轉化為求一次函數(或常函數)/(⑼的值在［-2,

2］內恒負時，參數x應滿足的條件.

典型例題

(-)以退為進策略

1、由整體向局部退

某些問題，可以退到構成這一整體內容的部分上，用帶有整體特征的部分來處理問題，解

題思路便會豁然開朗.

例1、在銳角AABC中，求證：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

【解析】VAS,Ce(0,-),：.A+B>-,即A>生一6>0,由于y=sinx在(0,工)上是單調

2222

jr

遞減的.sinA>sin(----8)=cosB,同理可證：sinB>cosC,sinC>cosA.

2

上述三式相加，得：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

【題后反思】

本題由整體退向局部，由一個角的三角函數或兩個角的三角函數關系式入手，進行研究,

解出部分證明了整體.

2、由巧法向通法退

巧法的思維起點高，技巧性也強，有匠心獨具、出人意料等特點，而巧法本身的思路難尋,

方法不易把握，而通法則體現了解決問題的常規思路，而順達流暢，通俗易懂的特點.

例2、已知sinacos"=；,求cosasin，的取值范圍.

【解析】由sina8s/?=,，得85?/?=——1—,

24sina

4sin2a-\

sin2夕二1-cos2[3-1------―

4sin,a4sin2a

22222

sin（3cosa=sin/?（1-sina）=*由:_1.（i-sina）

4sina

-4sida+5sifia-1工（si強+））〈一」

4siRa44sin?44

從而得cosasinBe[——.

22

【題后反思】

本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強的題目，求解時常常出錯，尤其是題目的

隱含條件的把握難度較大，將解法退到常用的數學方法之------消元法上來，則解法通俗、

思路清晰.

(二)合理轉化策略

轉化思想方法用于研究、解釋數學問題時思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化成

另一種情況，也就是轉化到另一種情境，使問題得到解釋的一種方法，這種轉化是解決問題

的有效策略，同時也是成功的思維模式，轉化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知，達到

解決問題的有利境地，通向問題解決之策.

1、常量轉化為變量

有的問題需要常、變量相互轉化，使求解更容易.

例3、設9cosA+3sinB+tanC=Orin?B-4cosA-tanC=0,求證：|cosA|K一.

6

【解析】令x=3,則有—cosA+xsin8+tanC=0,若cosA=0,則|cosA|=042成立；

6

若COSAHO,則八=$皿2B-4cosA.tanC=0,...方程有兩個相等的實數根，即再=/=3,

由韋達定理，.彳2=9=網0,即tanC=9cosA,又sin?3-4cosAtanC=0,

cosA

/.sin25-4cosA9cosA=0,/.36cos2A=sin2<1,|cosA|<—.

6

【題后反思】

把變量變為常量，也就是從一般到特殊，是我們尋找規律時常用的解題方法，而本題反其

道而行之，將常量變為變量，從特殊到一般使問題得到解決.

2、主元轉化為輔元

有的問題按常規確定主元進行處理往往受阻，陷于困境，這時可以將主元化為輔元，即可迎

刃而解.

例4、對于滿足|p\<2的所有實數p,求使不等式/+px+1>2x+p恒成立的x的取值范圍.

【解析】把/+px+1>2x+p轉化為(x-Dp?+x2-2x+l>0,則成為關于p的一次不等式,

則|〃區2,W-2<p<2,由一次不等式的性質有：(x-l)p+(x-l)2=(x-l)(x-l+p)>0,

當p=—2時，(x-l)(x-3)>0,：.x<-l^x>3；

當p=2時，(x-l)(x+l)>0,，x<T則>1,綜上可得：x<—l曲>3.

【題后反思】

視x為主元，不等式是關于x的一元二次不等到式，討論其取值情況過于繁瑣，將p轉化

為主元，不等式是關于p的一次的不等式，則問題不難解決.

3、正向轉化為反向

有些數學問題，如果是直接正向入手求解難度較大，可以反向考慮，這種方法也叫“正難

則反”

丫2

例5、若橢圓3+y2=a2(a〉o)與連接A(1,2),B(3,4)兩點的線段沒有公共點，求

實數a的取值范圍.

【解析】設線段AB和橢圓有公共點，由A、B兩點的坐標可得線段AB的方程為y=x+l,

X2_2

xe[l,3],則方程組5+?=a,消去y

〔y=x+\

得：—+(x+l)2=a2,BPa2=-x2+2x+1=—(x+—)2+-,

22233

...2941、八.3回「廊

?x€[n1,3],??ci€|r一,—],?〃>(),??---WaK----,

2222

.??當橢圓與線段AB無公共點時，實數a的取值范圍為(。，當U(孚―

【題后反思】

在探討某一問題的解決辦法時，如果我們按照習慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應

從反面的方向去探索.

4、數與形的轉化

數形結合，實質上是將抽象的語言與直觀圖形結合起來，以便化抽象為直觀，達到化難為

易，化簡為繁的目的.

例6、已知/(x)是定義在｛x|xwO｝上的奇函數，且在區間(0,+8)上是增函數，若

/⑴=0,a>1,解不等式/(log,x)<0.

【解析】由/(x)在(0,+8)上為增函數，且/(x)是定義域上的奇函數,

二/(x)在(-8,0)上也是增函數.

???/?⑴=0，.?./(-1)=0，.?./(Io&x)<0=/(1)或/(log?x)<0=_/(—1),

x〉0xv0

由函數的單調性知：或

0<log?X<1[logux<-l

，原不等式的解集為：｛x|l<x<a或0<x<，｝

a

【題后反思】

由已知，/(X)是定義在｛X|XH0｝上的奇函數，且在區

間(0,+8)上是增函數，由/(D=0M>1,則可得/(x)的

大致圖像如下圖，可知/(-1)=0

5、自變量與函數值的轉化

函數單調性的定義明確體現了函數自變量的不等式關系與函數值間不等關系相互轉化的思

想，理解它們之間的相互轉化關系，有利于靈活運用函數的單調性解題.

例7、設/(幻是定義在(0,+8)上的增函數,且對于定義域內任意x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y)

/(2)=1,求使不等式/(x)+/(x-3)42成立的x的取值范圍.

r>0

【解析】???/(?的定義域是(0,+8),"，即x>3,

x-3>0

由于/(盯)=/(")+/(y)，得_/(x)+/(x—3)=/[(x-3)-x],

由7(2)=1,得2=1+1=〃2)+〃2)=/(4),

.??由題設條件得：3)]</(4),

：/(元)是定義在(0,+8)上的增函數，，x(x—3)<4,解之得：—14x44,又x>3,

適合題意的x的取值范圍為[3,4].

【題后反思】

這類抽象函數求解是初學者較難掌握的，解題的關鍵需實現三種轉化：

①將函數值間的不等關系轉化為自變量的不等關系；②根據函數的單調性意義又能比較兩

個值的大小，因此需將/(x)+/(x-3),根據等價轉化為3)]；③需將②轉化為某自變

量的函數值，從而建立關于x的不等關系，求出x的取值范圍.

五、限時課后練習

(1)已知函數/(x)=2,-擊

(I)若/(x)N2,求x的值；

(II)若2"(2。+句⑺NO對于fw[l,2)恒成立，求實數m的取值范圍.

(2)設函數/⑺=④？+"x+c(a/o),曲線y=/(x)通過點(0,2a+3)且在點(-1,/(-I))

處的切線垂直于x軸.

用a分別表示b和c；

(II)當be取得最小值時，求函數g(x)=-./Xx)eT的單調區間.

(3)在直角坐標系xOy中，點P到兩點(0,-g),(0,V3)的距離之和等于4,設點P的

軌跡為C,直線丁=丘+1與C交于A、B兩點,

(I)寫出c的方程;

(II)若)，為，求k的值;

(III)若點A在第一象限，證明：當k〉0時，恒有|5|>|而|.

(4)已知函數/⑴=J：~,g(x)=cosxf(sinx)+sinxf(cosx),xe(乃

(I)將函數g(x)化簡成45也3￥+0)+仇4>0,。>0,°€[0,2乃))的形式；

(ID求函數g(x)的值域.

(5)已知曲線Ci：巴+生=1(。>人〉0)所圍成的封閉圖形的面積為4㈠，曲線Ci的內切

ab

圓半徑為述，記Q為以曲線Ci與坐標軸的交點為頂點的橢圓，

(I)求橢圓Q的標準方程；

(H)設AB是過橢圓C2中心的任意弦，/是線段AB的垂直平分線，M是/上異于橢圓

中心的點，①若|MO|=/L|04|(0為坐標原點)，當點A在橢圓C2上運動時，求點M

的軌跡方程；②若M是/與橢圓C2的交點，求面積的最小值.

答案：

1.(1)x=Iog2(l+V2)；

(2)mG[-5,+oo)

2.(1)c=2a+3,b=2a；

(2)y=g(幻的單調減區間為(-8,-2)和(2,+8),單調增區間為(-2,2)；

2

3.(1)/+2L=i,

4

⑵％=±L

2

(3)略；

4.(1)g(x)=V2sin(x+—)-2,

4

(2)g(x)的值域為[2-行3)；

(2)①蘭+二===#0),②竺.

459

探索性問題的基本題型及解題方法

一、考情分析

探索性問題是近幾年高考的熱點，通過對探索性問題的考查，能考查出考生的創新意識與

創新能力，高考中一般以填空題或大題的形式出現，難度為中、高檔.

二、問題特點及解題方法

條件為完備或結論不確定是探索性問題的基本特征，數學探索性問題的解答一般沒有固

定、現成的模式可循，它有較強的思維發散性，必須自己設計解決方案，以考查創新意識、

創新精神為目標的此類題型，常以新穎的形式出現，解題入口寬，而且題設條件往往比較隱

蔽，但只要能明確問題特點，根據特點采取相應的策略，仍可以使求解“程序化”，有據可依,

有規可特，

解決這類問題時，應充分運用觀察、比較、類比、分析、綜合、演繹、歸納、抽象、概括

等思維方式，對試題的條件和結論所提供的外在信息與自身大腦中儲存的內在信息進行提取,

組合、加工和轉化，明確解題方法，形成解題策略，選擇解題步驟.

三、基礎訓練

21

(1)已知數列｛4｝的前n項和為S,,%=-可且S“+」~+2=a“(〃N2),計算H,邑,83,84,

3Sn

并猜想S”的表達式.

(2)在平面直角坐標系xOy中，如圖，過定點C(0,p)作直線與拋物線Y=2〃y(y>0)相

交于A、B兩點，

(I)若點N是點C關于原點O的對稱點，

求A4M5面積的最小值；

(II)是否存在垂直于y軸的直線/,使得

/被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定

值？若存在，求出/的方程；若不存在,

說明理由.

(3)設等差數列｛4｝的前n項和為S,,則邑,58—邑,兀-S8，S|6—S|2成等差數列，類比以

上結論有：設等比數列也,｝的前n項和為7；,則.，,,"成等比

數列.

(4)設an/?=E￡A8，a=8,Cr>，4=。，由此能否推出BO_L?若不能，需如何改

變條件？

(5)設函數/(x)=sin(5+Q)3>0,-給出以下四個論斷：①它的圖像關于直

線x=I對稱；②它的圖像關于點(g,0)對稱；③在區間［-J,。］上是增函數；④它

236

的周期為力.以其中的兩個論斷為條件，另兩個論數不結論，寫出你認為正確的一個

命題(填寫序號).

答案：

J

(I)5,=-|,S2=-^S3=-1,S4=-|猜想：S“=智，〃CN*.

2

(2)(I)(SMW)min=2V2P,(II)滿足條件的直線/存在，其方程為y=5.

(3)4,空.

T4"

(4)不能，需加條件AC工所.

(5)②④=①③.

四、典型例題

1、探究型

探究型是依據題目所給予條件或提供的信息，綜合所學知識，來探究問題的分析方法

和解決方法，常以常規題形式出現，但往往改變設問方式，或得出探究和方向，或給出探

究的結論，考查學生的判斷能力，創新精神和綜合素質，解答此類問題時，需要考生提取

題目的有效信息，從有效信息引出思維聯想，從而設計解題方法，化歸與轉化是解決這類

問題常用的數學思想.

例1、已知數列…。30，其中生,。2，。3,…《0是首項為L公差為1的等差數列，

&是公差為d的等差數列，420M21'%,30是公差為。之的等差數列

(dW0)

(I)若。20=40，求d的值；

(II)試寫出“30關于d的關系式，并求出仆0的取值范圍；

(III)續寫已知數列,使。30M31M32,…“40是公差為的等差數列，…,依次類推，把

已知數列推廣為無窮數列，提出同(II)類似的問題，((II)應當作為特例)，并進行

研究，你能得到什么樣的結論？

【解析】

(I)a1。=10,=10+1圖—40,d=3；

(II)當d￡(—8,0)U(0,+8),G[7.5+oo)；

(III)所給數列可推廣為無窮數列{2},其中4，2，生，…Go是首項為1，公差為1的

等差數列，當〃21時，數歹!j?!0?,?IOn+l,?10?+2,?--ai0(n+i)是公差為d”(dw0)的等差

數列，

323

研究的結論可以是：由/=a30+\0d=U\\+d+d+d)(d^0),

l-dn+i

依次類推可得：/O(“+D=10(1+4+/+…+”")=F°x不丁(d*D，

10(〃+1)3=1)

當(d/0)時，605+1)的取值范圍是：(0，+8).

【題后反思】

由題設條件給出問題的組成結構，先通過特例研究問題的結論，然后給出問題的推廣,

提出探究的方向，讓解題者順著命題者提出的推廣方向進行探究，是探究型題的一種常

見題型，解答這類問題時一般不改變命題的結構形式，而提出的探究結論也應該是對特

例的推廣.

2、開放型

開放型題是指問題的結論、條件、解題策略是不惟一的或需要探索的一種題型，這類題

型結構新穎，解題方法靈活、知識覆蓋面寬，問題結構開放，打破了固定的思維模式和解

題套路，給解題者很大的思考空間和多種分析思路，有利于培養和考查學生的創新思維能

力和探究問題的能力，所以此類問題是當前高考命題的熱點之一.

例2、設動點P到定直線x=-4的距離為d,已知F(2,0)且d-用=2

(I)求動點P的軌跡方程；

(II)過圓錐曲線的焦點F,任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB,若點M在x軸上,

且使得MF為AAMB的一條內角平分線，則稱點M為該圓錐曲線的“特征點”，問該曲

線是否存在特征點M?若存在，求出點M的坐標，并觀察點M是怎樣的點，同時將你

的結論推廣，若不存在，請說明理由(不用證明推廣后的結論).

【解析】

(I)設動點P的坐標為P(x,y),且點P到直線x=-2的距離為d。

???動點P到定直線x=-4的距離為d,F(2,0)且d—|尸產|=2,

動點P到定直線x=-2的距離為d。F(2,0)且出=|「用，即點P是以坐標原

點為頂點，以F(2,0)為焦點的拋物線，

動點P的軌跡方程是/=8x.

(II)假設拋物線存在特征點M,并設其坐標為M(m,0),

?.?弦AB不垂直于x軸，且拋物線V=8x的焦點為(2,0),

二設直線AB的方程為％=0+2/#0),代入V=8x并整理，得：/-8^-16=0,

設4(.,弘),5(尤2，%)'則M+%=8Z,y%=-16,

被x軸平分，/.kAM+kBM=0,即-21_+_21_=o,

X)-mx2-m

yl(x2-m)+y2(xi-m)=0,即―+2)+為(如+2)-(y+y2)m=0,

V2ky{y2~(yt+y2)(m-2)=0,即一32fc-83(加-2)=0,

&w0,/.m=—2.

故拋物線上存在特征點M,其坐標為M(-2,0),該點是拋物線的準線與x軸的交點,

猜想：對于拋物線y2=2pMp>0),其“特征點M”是拋物線的準線與x軸的交點.

【題后反思】

本題從特例出發，探究一般情況下的結論，解答這類問題時，可以通過特例得到的信息,

從命題提出的探究方向思考，歸納問題的結論(有時不止一個，而有些問題的結論并不成

立)，再給出數學推理證明，本題由于題目的要求沒有給出推理證明.

3、定義信息型

定義信息型是近幾年來高考出現頻率較高的新題型之一，其命題特點是：給出一個新的定

義、新的關系、新的性質、新的定理等創新情境知識，然后在這個新情境下，綜合所學知識

并利用新知識作為解題工具使問題得到解決，求解此類問題通常分三個步驟：(1)對新知識

進行信息提取，確定化歸方向；(2)對新知識中所提取的信息進行加工，探究解題方法；(3)

對提取的知識加以轉換，進行有效組合，進而求解.

例3、根據定義在集合A上的函數y=/(x),構造一個數列發生器，其工作原理如下:

①輸入數據與eA,計算出X]=/(/)；②若％eA,則數列發生器結束工作，若X]eA,

則輸出X|,并將X|反饋回輸入端，再計算出々=/(%)，并依此規律繼續下去，現在有

A=｛%10<x<1｝,/(x)=—————(meTV*),

m+\-x

(I)求證：對任意此數列發生器都可以產生一個無窮數列｛x,J；

(H)若入0='，記a"=求數列｛x“｝的通項公式.

2%

【解析】(I)證明：當xeA,即0<x<l時，由，"eN,可知m+l>x>0,

..---------->0,又----------1=--------------<0,..-----------<1,..0</(%)<1,

m+\-xm+\-xm+\-xm+\-x

即/(x)eA.故對任意x()eA有X1=/Oo)wA；由玉eA有/=/(西)eA,由9eA有

X3=/(X2)GA；以此類推，可以一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列｛x,J.

/“、■+,”、mx?-T4H1m+111

(H)由x向=/(%)=-可得——=------------，

m+1-xnxn+｝mxnm

.m+11im+1八

??Q〃+l=-------an-----，即RMan\-1=-------(an~D，

mm+m

A,ii；m+1777i1i(m+l)xim+1八

令b”二a「L則l711。〃+1=-------b2又T4=q—l=——1=----------0--1=------00,

mmx^m

數列也,｝是以絲以為首項，以％±1為公比的等差數列,

mm

“廣業(上尸=(四)"，于是4=(5)"-1.

mmmm

【題后反思】

本題以算法語言為命題情境，構造一個數列發生器，通過定義工作原理，得到一個無

窮數列｛招｝,這是命題組成的第一部分，解答時只需依照命題程序完成即可，第(H)問

其實是一個常規的數學問題，由上可知，創新題型的解答還是需要考生有堅實的數學解題

功底.

4、類比歸納型

類比是將式子結構、運算法則、解題方法、問題結論等式引申或推廣，或遷移，由已知

探索未知，由舊知識探索新知識的一種研究問題的方法；歸納是從個別特殊事例，若干特

殊現象遞推出同一類事物的一般性結論，總結出同一種現象的一般規律的一種思考問題的

方法，這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創造性思維能力，培養考生的創新精神和創造

力.因為這類創新題的思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強，所以它們在高考中頻繁亮

相，已成為高考中的又一個熱點.

例4、如下圖所示，定義在D上的函數/(X),如果滿足：對任意xe。，存在常數A,

都有/(x)NA成立，則稱函數/(x)在D上有下界，其中A稱為函數的下界(提示：下圖

①②中的常數A、B可以是正數，也可以是負數或零.)

(I)試判斷函數/(尤)=/+丫在

X

(0,+00)上是否有下界？并說明理由；

(II)具有圖②所示特征的函數稱為

在D上有上界，請你類比函數有下界

的定義，給出函數/(x)在D上有上界的定義，并判斷(I)中的函數在(-00,0)上是否有

上界，并說明理由.

【解析】

AQ

Vf\x)=3x2一一由r(x)=0,得x4=16,,/%G(0,+oo),.,.x=2,

X

?.?當0<x<2時，r(x)<0,...函數/(x)在(0,2)上是減函數;

當x>2時，/(幻>0,二函數/(x)在(2,+8)上是增函數；

.??x=2是函數/(x)在區間(0,+oo)上的最小值點，糯,(x)=/(2)=32,

于是，對任意xe(0,+8),都有/(x)N32,即在區間(0,+00)是存在常數A=32,使得

48

對任意xe(0,+oo),都有/(x)2A成立，所以，函數/(x)=/+—在(0,+8)上有下界.

x

(II)類比函數有下界的定義，函數有上界可以給出這樣的定義：定義在D上的函數

/(x),如果滿足：對任意XG。，存在常B,都有成立，則稱函數/(x)在D上有

上界，其中B稱為函數的上界.

設x<0,則-x>0,則(I)知，對任意xw(0,+00),都有/(x)N32,-x)N32,

?.?函數=為奇函數，.232,BPf{x)<-32,

X

即存在常數B=-32,對任意xe(-oo,0)，都有/(%)<8,所以，函數/(x)=/+—在(—o,0)

X

上有上界.

【題后反思】

本題以高等數學中的函數有界性為命題素材，先給出一個定義，研究問題的結論，然后

提出類比的方向，這是一種直接類比的情境題.數學中有許多能夠產生類比的知識點，如

等差數列與等比數列的內容有著非常和諧的“同構”現象，立體幾何中的很多結論和方法

都可以從平面幾何中產生“靈感”進行遷移，我們復習時要注意研究知識間的縱橫聯系，

把握知識間的內在規律，通過知識間的對比和類比，可以更好地掌握知識，提高解題能力.

五、限時課后練習

(1)已知元素為實數的集合S滿足下列條件：①1,0e5；②若aeS,則」一eS.若非空

\-a

集合S為有限集，則你對集合S的元素個數有何猜測？并請證明你的猜測.

22

(2)已知橢圓=+'=1(〃>〃>0)的右準線4:x=2與x軸相交于點P,右焦點F到上頂點

ab

的距離為正，點C(m,0)是線段OF上的一個動點，

(I)求橢圓的方程；

(II)是否存在過點F且與x軸不垂直的直線/,其與橢圓交于A、B兩點，且使得

(C4+CB)±