第六章定積分的應用

［基本方法一微元法

［平面圖形的面積與旋轉體的體積

一兀

幾何應用一平面曲線的弧長，旋轉體的側面積

函數

平行截面面積已知的立體體積（數一數二）

定積＜V

應用一＜

分的

:變力做功、引力、側壓力、質心（形心）

應用物理應用一［函數平均值（數一數二）

簡單的經濟應用（數三）

第一節定積分的元素法

微元法:把一個所求置分解，近似，求和，取極限,

最后表示成定積分的分析方法。

復習上一章第一節中的引例：

求由曲線y=/(x)及直線X=?,%=辦，X軸所

成的圖形(曲邊梯形)的面積A。

步驟：1、分割：A=XAA

i=l

2、取近似:AAj?Ax,.(Xj<芻<七)

3、求和得：

i=l

4、求極限：A=pnj￡/?)AXz=『f(x)dx

1=1

取消這里的下標i,同時E,x+dx]=>[xi,xi+Axf];

xnj;dAnAA。事實上，因為4=工”且

AA?f(x)dx=dA,所以A?^/(x)tZx,即：

A=limy^f(x)dx=[f(x)dx=jdA

一般地，若所求量4滿足：

1)A是一個與變量工的變化區間［心可有關的量;

2)A對于區間［a,可具有可加性；

3)A的部分量AA,.可近似地表示為了心.).以,，其差

別是Ax,的高階無窮小，則A可用定積分

計算，

步驟■

1)選取適當的變量為積分變量，如選擇/并確

定變量相應的變化區間［〃,川；

2)確定A的面積元素dL4=f(x)dx(設想將［a,可分

成了幾個小區間，其中(％,x+dx］為任一小區間，求

出相差僅是Ax的高階無窮小，即可

視/(x)dx為A的面積元素dA);

3)以/(%)dx為被積表.達式，求得A=CJbJ(x)dx,

從而可求得所求量。

—這就是定積分的微元法。

【例1】求由了=好,丁=%所圍圖形的面積.

【答案】:

【例2】求）2=2%與y%-4所謂圖形的面積

【答案】18

第二節定積分在幾何上的應用

一、平面圖形的面積

1、直角坐標系下

（1）函數方程為y=/（X）或*二夕（了）

方法：上一下

fb

S=]f(x))dx

Ja2-

X

II

方法：右一左

s=，（。1（丁）-。2（了）妙

須拆分成兩部分或多部分進行計算

【例1】(87-)由曲線y=lux與兩直線

y=(e+l)-xRy=0所圍成的平面圖形的面積

是?

【答案】|

2

【例2】(92二)由曲線y=X/與直線y=ex所圍成

圖形的面積s=

【答案】f-1

[例3]（92二）求曲線y6的一條切線人使

該曲線與切線，及直線％=0,x=2所圍成圖形面積

最小.

1

【答案】J=-(X+1)

(2)參數方程

仁篇一加給

一般地，若曲線由參數方程

出,其中。⑴，w（t）及“（，）在［a,fl］上連續,記

Ma）=a,。（夕）=①則由此曲線與兩直線x=a3

x=方及％軸所圍成圖形的面積為

pP

A=\||山。

Ja

【例4】求由擺線％=〃9-sin/),y=a(l-cos/)的

一拱(0<，<24)與橫軸所圍圖形的面積

【答案】3加2

2、極坐標系下

設曲線的極坐標方程為r=r(0)(a<8<〃)，由

曲線，="e）與兩條射線e=a,e=〃所圍成的圖形

（曲邊扇形）的面積為

4月J=⑻四。

2%

【例5】（93-）雙紐線（，+「＞=爐_。所圍成

的區域面積可用定積分表示為（）

n

(A)2pcos26de.(B)4『2夕

Jo0

71____________17t

(C)2pVcos2^l9.(D)||J(cos2(9)2^.

【答案】(B)

［例6］求心形線r=〃（l-cos。）所圍成圖形的面

積。

【答案】I荷

二、立體體積

1、已知平行截面面積的立體體積

[x,x+公]上的薄片的體積近似于底面積為4(%),

高為心的柱體體積，從而可得這立體的體積元素

■b

dV=A(x)dr,所求體積為LA(x)dxo

由連續曲線y=/(x),直線%=%%=〃和^軸所圍

成的曲邊梯形繞X軸旋轉一周而形成的立體體積為

fb,

K=￡^(/(x))dx;

由連續曲線y=/(x),直線%=〃和％軸所圍

成的曲邊梯形繞，軸旋轉一周而形成的立體體積為

V=Ixf(x)\dx1

Ja

由連續曲線X=0(y),直線y=c,y=4及了軸所圍成

的曲邊梯形繞y軸旋轉而一周而形成的立體體積

為匕=￡71x1dy=1%S（y）r辦;

由連續曲線x=0(y),直線y=c,y=d及y軸所圍成

的曲邊梯形繞x軸旋轉而一周而形成的立體體積

為匕=J：2%

【例7】（87二）設0是由曲線）=5加工+1與三條直

線x=O,x=肛y=0所圍成的曲邊梯形，求0饒％軸

旋轉一周所生成的旋轉體的體積.

【答案】|/+初

【例8】(91ZL)曲線y=(x—l)(x-2)和x軸圍成

一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉一周所成的

旋轉體的體積.

【答案w

【例9】(93-)設平面圖形A由c2+j2<2x與

[Nx所確定，求圖形A繞直線X=2旋轉一周所得

旋轉體的體積.

【答案】2位|)

三、平面曲線的弧長

弧長公式：

(1)y=f(x),xe[a,b],

弧長s=J：71+f，2(x)dx

X=x(t)

(2)

y=y(t)9

弧長s=，，x'2?)+y'2(l山

Ja

(3)r=r(0),8w[a,0],

弧長s二J：，產(e)+d(e)de

【例10】(92二)計算曲線y=111(1-馬上相應于

1

04的一段弧的長度.

2

【答案hn34

【例11](95-)求擺線"=lY°s[一拱

[y=￡-sm￡

(0＜區24)的弧長8.

【答案】

【例12］（96一）求心形線r=1+cos6的全長.

【答案】8

如k旋轉面的側面積

由曲線y=/(x),直線^=〃"=方以及％軸圍成的

圖形繞工軸旋轉所得旋轉體的側面積。

公式：

顯示方程：y=f(x),S=2可：f，2(x)dx

參數方程：x=x(r),y=y(t),

f2,2

S=2可：y(t)^X(t)+y(t)dt

極坐標方程：，=，(e),

S=2K，(e)sin6+產網de

【例13】(9"）設有曲線y=Vx二］過原點作

其切線，求由此曲線、切線及“軸圍成的平面圖形

繞”軸旋轉一周所得到的旋轉體的表面積.

【答案】^(1175-1)

6

第三節定積分在其他方面的應用

一、變力沿直線所做的功

討論：物體在變力方(%)作用下，沿直線從。移動到

。所做的功。

【例1】（03—）某建筑工程打地基時，需用氣錘

將樁打進土層.氣錘每次打擊，都將克服土層對樁

的阻力而做功.設土層對樁的阻力大小與樁被打

進地下的深度成正比（比例系數為4,A>0）,氣錘

第一次擊打將樁打進地下〃江根據設計方案，要求

氣錘每次擊打樁時所做的功與前一次擊打時所做

的功之比為常數r(O<rvl).問

(I)汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深？

(II)若擊打次數不限，氣錘至多能將樁打進地下

多深？

(注：m表示長度單位米.)

【答案】(1)Vl+r+r2fl；(2)

二、引力

質量分別為叫,外相距為，的兩質點間的引力的大

小為尸=號其中左為引力常數,引力的方向

沿著兩質點的連線方向。

【例2】在“軸上有一線密度為常數〃，長度為1的

細桿，在桿的延長線上離桿右端為。處有一質量為

機的質點P,求證：質點與桿間的引力為

F=kmM(M為桿的質量)

a(a+l)

三、液體靜壓力

由物理知識可知，深度為人處的液體的壓強為

P=pgh,其中，）為液體密度，g為重力加速度。

如果有一個面積為S的平板,水平放置在深為九處

的液體中，平板所受到的壓力的方向垂直于平板

的表面，大小為歹=PS=pg/iS。如果平板垂直放

置在液體中，由于深度不同，液體的壓強也就不

同，平板一側所受的壓力就不能用上述方法來計

算。

下面用微元法來解決這一問題。

a

y

a

x

液體壓力的微元為：dF=pgxf(x)dx

rb

從而得薄板一側所受的壓力為:=pgxf(x)dx

Ja

【例3】(02-)某閘門的形

狀與大小如右圖所示，其中0

DA+1

直線，為對稱軸，閘門的上部C

為矩形下部由二次

拋物線與線段A5所圍成.當

水面與閘門的上端相平時，

欲使閘門矩形部分承受的水壓

力與下部承受的水壓力之比

為5：4.閘門的矩形部分的高人應為多少米?

【答案】2m

見質心（形心）

基本知識補充：靜力矩二質量乘以到軸的距離

靜力矩

質心二

質量

對y軸的靜力矩：

對“軸的靜力矩：

質量：M

1、均勻密度平面曲線的質心（形心）

X=(p(t)

設曲線弧Ab的參數方程是尸篙皿

其中〃⑴在［%切有連續的導數，則A3的質

心(形心)叵,用的公式為：

ff

M1(p(t)^(p\t)+y/\t)dt

——y_Ja

MJ'J[2?)+“2(W

Ja

_M0'2?)+y/2(t)dt

~y----—=--------------

MJ'J”?⑺+.，2⑺山

Ja

2、均勻密度平面圖形的質心（形心）

設有平面薄片，所占有的平面圖形是。:a<x<

b,g(x)<y<f(x),其中/(%),g(x)在［a,切連續,

質量均勻分布，不妨設面密度為1.則它的質心

(另歹)公式為：

Mx[f(x)-g(x)]dx

——vJa

X=—~--------------；

MJlf(x)-g(x)]dx

Ja

1r〃?

M5)〃"(x)-g\x)]dx

X―乙”a

y=

Mg(x)]dx

【例4】求星形線』叱彳04/田的質心,

[j=?sinZV2)

其中〃>0為常數。

（22、

【答案】（五,歹）=a

r55)

【例5］求由曲線N與y2=〃%（〃>0）所圍平面

圖形的質心（形心）。

(99}

【答案】（土,歹）=——a.——a

(2020)

五、函數在區間上的平均值

設函數）=/（%）在區間[〃,句上連續，則/（X）在

1rb

[〃,加上的平均值為歹=If(x)dxo

b-aJa

x2（i

【例6】（99二）函數y=在區間—-上

A/1—x2（22J

的平均值為

【答案】工

本章強化練習

一、定積分求面積

1

1、（96二）由曲線y=%+—,％=2及）=2所圍圖

x

形的面積S=.

答案:|.E2

2、（91三）假設曲線

:y=1—x2（0<x<l）vx軸

和y軸所圍區域被曲線

乙：丁="2分為面積相等的

兩部分（如圖），其中。是大

于零的常數，試確定。的值.

答案：』

3x（94三）已知曲線y=>0）與曲線y=加五

在點（看,典）處有公共切線，求（I）常數。及切點

(%0,%)；（II）兩曲線與無軸圍成的平面圖形的面

積S.

1

答案：（I）?=-,（x,j）=（e2,l）；

e00

（II）S=-e2--

62

4、（02數二）位于曲線）=xe-x（0<xv+8）下方,

“軸上方的無界圖形的面積是.

答案：1

5、(03-)設曲線的極坐標方程為夕=/(。＞0),

則該曲線上相應于6從0到2%的一段弧與極軸所

圍成的圖形的面積為.

答案：

4〃

二、定積分求旋轉體的體積

1、(03")過坐標原點作曲線尸In%的切線，該

切線與曲線y=Inx及x軸圍成平面圖形O.

(I)求。的面積A;

(II)求O繞直線％=e旋轉一周所得旋轉體的體積

V.

答案：G)A一1；(2)V=-(5e2-12e+3)

=r6

2、(00")設曲線)=&(〃>0,%20)與)=1-，

交于點4過坐標原點。和點A的直線與曲線

y=ax2圍成一平面圖形.問“為何值時,該圖形繞x

軸旋轉一周所得的旋轉體體積最大?

最大體積是多少？

答案：。=4,其最大

體積為包1萬

1875

3、設。是位于曲線y=?〃2a(a>1,0<x<+oo)-F

方、x軸上方的無界區域.

(I)求區域。繞X軸旋轉一周所成旋轉體的體積

V(a);

(ID當。為何值時，VQ)最?。坎⑶蟠俗钚≈?

aY

答案：(I)7T9

InaJ

(II)a=e時V(a