PAGE第八講函數的圖象學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點函數的圖象1．利用描點法作函數圖象的流程2．平移變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，__右移__a個單位),\s\do5(a<0，__左移__|a|個單位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，__上移__b個單位),\s\do5(b<0，__下移__|b|個單位))y＝f(x)＋b.3．伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up12(0<ω<1，圖象上全部點的縱坐標不變，橫坐標__伸長__為原來的eq\f(1,ω)倍),\s\do10(ω>1，圖象上全部點的縱坐標不變，橫坐標__縮短__為原來的__eq\f(1,ω)__倍))y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，圖象上全部點的橫坐標不變，縱坐標__伸長__為原來的A倍),\s\do5(0<A<1，圖象上全部點的橫坐標不變，縱坐標__縮短__為原來的__A__倍))y＝Af(x)．4．對稱變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝__－f(x)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝__f(－x)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝__－f(－x)__.5．翻折變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊圖象),\s\do5(將y軸右邊的圖象翻折到左邊))y＝__f(|x|)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(留下x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝__|f(x)|__.eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．函數對稱的重要結論(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線__x＝m__對稱．(2)設函數y＝f(x)定義在實數集上，則函數y＝f(x－m)與y＝f(m－x)(m>0)的圖象關于直線__x＝m__對稱．(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，對隨意x∈R恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．(4)函數y＝f(a＋x)與函數y＝f(b－x)的圖象關于直線x＝eq\f(b－a,2)對稱．(5)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱．(6)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)中心對稱．2．函數圖象平移變換八字方針(1)“左加右減”，要留意加減指的是自變量．(2)“上加下減”，要留意加減指的是函數值．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數y＝f(x＋1)是由y＝f(2x)左移1個單位得到．(×)(2)函數y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個單位得到．(×)(3)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)(4)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于原點對稱．(×)(5)若函數y＝f(x＋2)是偶函數，則有f(x＋2)＝f(－x－2)．(×)(6)若函數y＝f(x)滿意f(x＋1)＝f(x－1)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．(×)題組二走進教材2．(必修1P73T1改編)函數y＝logax與函數y＝eqlog\s\do8(\f(1,a))x的圖象關于__x軸__對稱；函數y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關于__y軸__對稱；函數y＝log2x與函數y＝2x的圖象關于__y＝x__對稱．3．(必修4P55T2(1)改編)為了得到函數f(x)＝log2x的圖象，只需將函數g(x)＝log2eq\f(x,8)的圖象向__上__平移3個單位．將函數f(x)＝log2x左移2個單位得到解析式為y＝__log2(x＋2)__.4．(必修1P36T2改編)已知圖甲中的圖象對應的函數y＝f(x)，則圖乙中的圖象對應的函數在下列給出的四式中只可能是(C)A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)[解析]由圖可知當x≤0時，y＝f(x)，故選C．題組三走向高考5．(2024·浙江，4)函數y＝xcosx＋sinx在區間[－π，π]上的圖象可能是(A)[解析]本題考查函數圖象的識別．設f(x)＝xcosx＋sinx，f(x)的定義域為R.因為f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數，解除選項C，D．又f(π)＝πcosπ＋sinπ＝－π<0，解除選項B，故選A．6．(2015·北京，7,5分)如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C)A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}[解析]作出函數y＝log2(x＋1)的圖象，如圖所示：其中函數f(x)與y＝log2(x＋1)的圖象的交點為D(1,1)，結合圖象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}，故選C．考點突破·互動探究考點函數的圖象考向1作函數的圖象——自主練透例1作出下列函數的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|x－2|·(x＋1)；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝|log2(x＋1)|.[分析](1)先由函數的奇偶性畫出y軸右側圖象，再畫左側；(2)先對肯定值分類探討，將原函數化成分段函數的形式，再分段作圖即可；(3)先化簡解析式，分別常數，再利用圖象變換畫出圖象；(4)將y＝log2x的圖象向左平移1個單位→y＝log2(x＋1)的圖象→將y＝log2(x＋1)的圖象位于x軸下方的部分向上翻折→y＝|log2(x＋1)|的圖象．[解析](1)先作出函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，保留函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x≥0的部分，再作出函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，即得函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖實線部分．(2)先化簡，再作圖．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥2，,－x2＋x＋2，x<2，))圖象如圖實線所示．(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝eq\f(2x－1＋1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，∴其圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象沿x軸向右平移1個單位，再沿y軸向上平移2個單位得到，其圖象如圖所示．(4)利用函數y＝log2x的圖象進行平移和翻折變換，圖象如圖實線所示．名師點撥函數圖象的畫法(1)干脆法：當函數解析式(或變形后的解析式)是熟識的基本函數時，就可依據這些函數的特征描出圖象的關鍵點干脆作出．(2)轉化法：含有肯定值符號的函數，可脫掉肯定值符號，轉化為分段函數來畫圖象．(3)圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、伸縮、翻折、對稱等變換得到，可利用圖象變換作出．注：y＝eq\f(ax＋b,cx＋d)(c≠0)的圖象是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，\f(a,c)))為對稱中心以直線x＝－eq\f(d,c)，y＝eq\f(a,c)為漸近線的雙曲線．易錯提示：(1)畫函數的圖象肯定要留意定義域．(2)利用圖象變換法時要留意變換依次，對不能干脆找到熟識的基本函數的要先變形，并應留意平移變換與伸縮變換的依次對變換單位及解析式的影響．考向2識圖與辨圖——師生共研例2(1)(2024·課標Ⅰ，5,5分)函數f(x)＝eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)在[－π，π]的圖象大致為(D)(2)下圖可能是下列哪個函數的圖象(C)A．y＝2x－x2－1 B．y＝eq\f(2xsinx,4x＋1)C．y＝(x2－2x)ex D．y＝eq\f(x,lnx)(3)(2024·荊州質檢)若函數y＝f(x)的曲線如圖所示，則函數y＝f(2－x)的曲線是(C)[解析](1)∵f(－x)＝eq\f(sin－x－x,cos－x＋－x2)＝－eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數．又∵f(π)＝eq\f(sinπ＋π,cosπ＋π2)＝eq\f(π,－1＋π2)>0，∴選D．(2)函數圖象過原點，所以D解除；當x>0起先時函數值是負數，而B項原點右側起先時函數值為正數，所以B解除；當x<0時，2x<1，∴2x－x2－1<0，所以A解除；而C都滿意，故選C．(3)解法一：先關于y軸對稱，得到y＝f(－x)的圖象，再向右平移兩個單位，即可得到y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)的圖象．所以答案為C．(留意，左右平移是針對字母x改變，上下平移是針對整個式子改變)．解法二：由f(0)＝0知y＝f(2－x)的圖象過點(2,0)，解除B、D．又f(1)＝f(2－1)>0即y＝f(2－x)在x＝1處的函數值大于0，解除A，故選C．名師點撥函數圖象的識辨可從以下幾方面入手(1)從函數的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數的值域，推斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，推斷圖象的改變趨勢．(3)從函數的奇偶性，推斷圖象的對稱性．(4)從函數的周期性，推斷圖象的循環往復．(5)從函數的特征點，解除不合要求的圖象．〔變式訓練1〕(1)(2024·課標Ⅲ，7,5分)函數y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6,6]的圖象大致為(B)(2)設函數f(x)＝2x，則如圖所示的函數圖象對應的函數解析式是(C)A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)(3)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1，,eqlog\s\do8(\f(1,3))xx>1))則函數y＝f(1－x)的大致圖象是(D)[解析](1)設f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)(x∈[－6,6])，則f(－x)＝eq\f(2－x3,2－x＋2x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數，解除選項C；當x＝－1時，f(－1)＝－eq\f(4,5)<0，解除選項D；當x＝4時，f(4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))≈7.97，解除選項A．故選B．(2)題圖中是函數y＝－2－|x|的圖象，即函數y＝－f(－|x|)的圖象，故選C．(3)解法一：先畫出函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1，,eqlog\s\do8(\f(1,3))xx>1))的草圖，令函數f(x)的圖象關于y軸對稱，得函數f(－x)的圖象，再把所得的函數y＝f(－x)的圖象，向右平移1個單位，得到函數y＝f(1－x)的圖象，故選D．解法二：由已知函數f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(31－xx≥0，,eqlog\s\do8(\f(1,3))1－xx<0，))故該函數圖象過點(0,3)，解除A；過點(1,1)，解除B；在(－∞，0)上單調遞增，解除C．選D．考向3函數圖象的應用——多維探究角度1函數圖象的對稱性例3(1)(2024·課標全國Ⅲ，7)下列函數中，其圖象與函數y＝lnx的圖象關于直線x＝1對稱的是(B)A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)(2)已知函數f(2x＋1)是奇函數，則函數y＝f(2x)的圖象關于下列哪個點成中心對稱？(C)A．(1,0) B．(－1,0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析](1)本題考查函數圖象的對稱性．解法一：y＝lnx圖象上的點P(1,0)關于直線x＝1的對稱點是它本身，則點P在y＝lnx圖象關于直線x＝1對稱的圖象上，結合選項可知，B正確．故選B．解法二：設Q(x，y)是所求函數圖象上任一點，則其關于直線x＝1的對稱點P(2－x，y)在函數y＝lnx圖象上．∴y＝ln(2－x)．故選B．(2)f(2x＋1)是奇函數，所以圖象關于原點成中心對稱，而f(2x)的圖象是由f(2x＋1)的圖象向右平移eq\f(1,2)個單位得到的，故關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))成中心對稱．[小題巧解]用特別點的對稱性解決函數圖象的對稱性問題．角度2利用函數圖象探討函數性質例4已知函數f(x)＝eq\f(2x,x－1)，則下列結論正確的是(B)A．函數f(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱B．函數f(x)在(－∞，1)上是減函數C．函數f(x)的圖象上至少存在兩點A，B，使得直線AB∥x軸D．函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱[解析]因為y＝eq\f(2x,x－1)＝eq\f(2x－1＋2,x－1)＝eq\f(2,x－1)＋2.所以該函數圖象可以由y＝eq\f(2,x)的圖象向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度得到，所以函數f(x)的圖象關于點(1,2)中心對稱，在(－∞，1)上為減函數，B正確，A、D錯誤；易知函數f(x)的圖象是由y＝eq\f(2,x)的圖象平移得到的，所以不存在兩點A，B使得直線AB∥x軸，C錯誤．故選B．角度3利用函數圖象探討不等式例5設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集為(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析]f(x)為奇函數，eq\f(fx－f－x,x)<0?eq\f(fx,x)<0?xf(x)<0，由題意可知f(x)的大致圖象如圖所示，所以所求不等式的解集為(－1,0)∪(0,1)．[引申]若將“奇函數f(x)”改為“偶函數f(x)”，不等式eq\f(fx＋f－x,x)<0的解集為__(－∞，－1)∪(0,1)__.名師點撥(1)利用函數的圖象探討函數的性質對于已知解析式，易畫出其在給定區間上圖象的函數，其性質常借助圖象探討：①從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；②從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；③從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性．(2)利用函數的圖象探討不等式思路當不等式問題不能用代數法求解，但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上下關系問題，從而利用數形結合求解．〔變式訓練2〕(1)(角度1)已知f(x)＝ln(1－x)，函數g(x)的圖象與f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，則g(x)的解析式為__g(x)＝－ln(x－1)__.(2)(角度1)設函數y＝f(x)的定義域為實數集R，則函數y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關于(D)A．直線y＝0對稱 B．直線x＝0對稱C．直線y＝1對稱 D．直線x＝1對稱(3)(角度2)對于函數f(x)＝lg(|x－2|＋1)，則下列說法不正確的是(C)A．f(x＋2)是偶函數B．f(x)在區間(－∞，2)上是減函數，在區間(2，＋∞)上是增函數C．f(x)沒有最小值D．f(x)沒有最大值(4)(角度3)函數f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數，其在[0,4]上的圖象如圖所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))__.[解析](1)設P(x，y)為函數y＝g(x)上隨意一點，則點P(x，y)關于點(1,0)的對稱點Q(2－x，－y)在函數y＝f(x)圖象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．(2)解法一：設t＝x－1，則y＝f(t)與y＝f(－t)，關于t＝0對稱，即關于x＝1對稱．故選D．解法二：y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象分別由y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象同時向右平移一個單位而得，又y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于y軸對稱，所以y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關于直線x＝1對稱．故選D．(3)對于A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函數；對于B，當x∈(－∞，2)時，f(x)＝lg(3－x)是減函數，當x∈(2，＋∞)時，f(x)＝lg(x－1)是增函數；對于C，f(x)＝lg(|x－2|＋1)≥0有最小值0；對于D，沒有最大值．故選C．(4)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，y＝cosx>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))上，y＝cosx<0.由f(x)的圖象知，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))上，eq\f(fx,cosx)<0.因為f(x)為偶函數，y＝cosx也是偶函數，所以y＝