專題07正方形綜合

知識網絡

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊

形叫正方形

正方形概念

對邊平行，四條邊都相等

四個角都是直角

_________________正方形性質對角淺相等且互用垂直平分，每條對角線平分一

組對角

正方形綜合「應用：軸對稱性質應用

一組鄰邊相等的矩形是正方形

正方形判定有T角是直角的菱形是正方形

四邊形綜合

重難突破

知識點一正方形的性質及應用

1、定義

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.

2、性質

圖示性質幾何語言

邊對邊平行，???四邊形ABCD是正方形

四條邊都相等:.ABCD,ADBC

::AB=BC=CD=AD

角四個角都是直角???四邊形ABCD是正方形

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°

對角線對角線相等并旦互相垂???四邊形ABC。是正方形

直平分，每條對角線平,AC=BD,AC.LBD

分一組對角OA=OB=OC=OD

ZABD=NCBA/BCA=ZDCA

=ZADB=NCDB=ABAC=ZDAC=45°

注意：

（1）正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

（2）正方形既是一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形，既是矩形又是菱形的四邊形是正方形;

（3）正方形的每一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰

直角三角形，正方形的對角線與邊的夾角是45°.

典例1

（2019春?常州期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到E,使型我，則NBCE的度數是.

【解答】解：四邊形是正方形,

:.ZBAC=ZACB=45°,

AE=AC,

1800-45°

ZACE=NE=-------------=67.5°,

2

/.NBCE=ZACE—ZACB=67.5°-45°=22.5°.

故答案為：22.5°.

典例2

（2019?秦淮區一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、。、尸在坐標軸上，石是。4的中點，四邊

形AOC8是矩形，四邊形8DEF是正方形，若點。的坐標為（3,0）,則點。的坐標為（）

A.(1,2.5)B.(1,1+V3)C.(1,3)D.(6-1,1+6)

【解答】解：過。作OHLy軸于〃，

四邊形AOCB是矩形，四邊形所是正方形,

AO=BC,DE=EF=BF,

ZAOC=ZDEF=ZBFE=ZBCF=90°,

.?.Z.OEF+ZEFO=ZBFC+ZEFO=90°，

:./OEF=ZBFO,

:.AEOF三"CB(ASA),

:.BC=OF,OE=CF,

/.AO=OF,

E是。4的中點，

:.OE=-OA=-OF=CF,

22

點。的坐標為(3,0),

/.OC=3，

:.OF=OA=2,AE=OE=CF=1,

同理NDHE=AEOF(ASA),

;.DH=OE=1,HE=OF=2,

:.OH=2,

.?.點。的坐標為（1,3）,

故選：C.

知識點二正方形的判定

正方形的判定

圖示判定定理幾何語言

有一組鄰邊相等的矩形是正方形四邊形A88是矩形，AB=BC

...四邊形A8CO是正方形

---------lB

有一個角是直角的菱形是正方形:四邊形是菱形，ZABC=90°

二四邊形438是正方形

補充：判定四邊形是正方形

①對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形;

②對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形:

③對角線相等的菱形是正方形；

④對角線互相垂直的矩形是正方形；

⑤既是菱形又是矩形的四邊形是正方形.

典例1

（2019春?江都區期末）如圖，小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件:①他=3C,

②NABC=90。，③AC=3E>,④AC_L8￡）中任選兩個作為補充條件，使舫8為正方形.現有下列四種

選法，你認為其中錯誤的是（）

C.①②D.③④

【解答】解：A、四邊形43co是平行四邊形,

當②NABC=90。時，平行四邊形ABCZ）是矩形,

當AC=BO時，這是矩形的性質，無法得出四邊形/WCD是正方形，故此選項錯誤，符合題意；

B、四邊形ABCD是平行四邊形，

當①A8=8。時，平行四邊形A8CD是菱形，

當③AC=BQ時，菱形43c￡＞是正方形，故此選項正確，不合題意；

C、四邊形ABCD是平行四邊形，

當①A8=8C時，平行四邊形A8CD是菱形，

當②NABC=90。時，菱形是正方形，故此選項正確，不合題意；

D、四邊形MCD是平行四邊形，

當③AC=8￡＞時，平行四邊形A8a＞是矩形，

當④AC_LBD時，矩形是正方形，故此選項正確，不合題意.

故選：A.

典例2

（2019春?南京期末）如圖，在中，對角線AC、BD交于點、O,E是比）延長線上的點，且AACE

是等邊三角形.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形.

（2）若ZAED=2ZEAD,求證：四邊形A8a＞是正方形.

RC

【解答】證明：（1）ABCD,

AO—OC,

AACE是等邊三角形，

.-.EOA.AC（三線合一）

即8DJ_AC，

ABCD是菱形；

（2）AACE是等邊三角形，/E4c=60。

由（1）知，EO1.AC,AO=OC

:.ZAEO=ZOEO=30°,AAOE是直角三角形

ZE4O=60°，

ZAED^IAEAD,

ZEAD=\5°,

ZDAO=Z.EAO-ZEAD=45°,

/WC￡)是菱形，

N?4O=2N￡MO=90°,

菱形AfiCD是正方形.

知識點三四邊形綜合

典例1

（2019春?江都區期末）某數學興趣小組課外活動時，發現特殊四邊形的邊長與對角線存在一定的關系.

如圖①，在正方形他。￡）中，對角線AC,BD交于點、O,則48?+8C?=AC?.

如圖②，在矩形ABC。中，對角線AC,交于點O,貝ijAB。+"2=AC?.

（1）如圖③，在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點、O,則ABa+BC、AC2+___BD2.

（2）小華通過幾何畫板度量計算，發現平行四邊形/WCD中，如圖④，對角線AC,BD交于點O,則得

到的結論和（1）的結論一樣，小偉和小紅通過添加如圖④的輔助線證明了這個結論的正確性，請利用圖形

完成證明.

D

圖①圖②圖③圖④

【解答】(1)解：在菱形/1BCD中，對角線AC,BD交于點O,

AO=CO=-BD.ACYBD,

2

AB2+BC2=OA1+OB2+OB2+OC2=(-AC)2+(-BD)2+(-BD)2+(-AC)2=-AC2+-BD2；

222222

故答案為：--

22

(2)解：過3作BE_LACTE,

EC-+BE2,

AB2+BC'=AE2+EC2+2BE2,

BE2=B(f-OE?,

AB2+BC2=AE2+EC2+2(BO2-OE2)

=AE2-OE2+CE2-OE2+2B0r

=(AE+OE)(AE-0E)+(CE+OE)(CE-0E)+2OB2

=AO(AE+OE+CE-OE)+2OB2

=AOAC+2BO2

=-AC-+-BD2.

22

鞏固訓練

一、單選題（共6小題）

1.（2019春?南京月考）如圖，在AA8C中，ZACB=90°,的垂直平分線EF交于點。，交AB于

點￡,且BE=BF,添加一個條件，仍不能證明四邊形為正方形的是（）

BD=DFC.CF1.BFD.AC=BF

【解答】解：所垂直平分BC,

;.BE=EC,BF=CF,

BF=BE,

:.BE=EC=CF=BF,

四邊形BECF是菱形;

當5C=AC時,

ZACB=90°.

則ZA=45°時，菱形5ECF是正方形.

ZA=45°,ZACB=90°.

:.ZEBC=45°

NEBF=2ZEBC=2x45°=90°

.?.菱形BECF是正方形.

故選項A正確,但不符合題意;

當CF_LBF時,利用正方形的判定得出，菱形8ECF是正方形，故選項C正確，但不符合題意;

當比）=0/時,利用正方形的判定得出，菱形8ECF是正方形，故選項8正確，但不符合題意;

當AC=3尸時,無法得出菱形5反下是正方形，故選項。錯誤，符合題意.

故選：D.

2.（2019春?錫山區校級期末）已知：PA=0,PB=4,以A3為一邊作正方形A8a）,使P、。兩點落

在直線4?的兩側.如圖，當NAPB=45。時,尸。的長是（)

A.2#)B.2顯C.3夜D.5

【解答】解：AD=AB^NZMB=90。，

.?.把A4PQ繞點A順時針旋轉90。得到AA/B,4）與他重合，旋轉到AF的位置，如圖,

B

.-.AP^AF,ZE4F=90°-PD=FB，

為等腰直角：角形，

Z4PF=45°,PF=y/2AP=2,

ABPF=ZAPB+ZAPF=450+45°=90°,

在RtAFBP中，PB=4,PF=2,

：.由勾股定理得FB=2百，

:.PD=2后,

故選：A.

3.（2019春?蘇州期末）如圖，有一個平行四邊形和一個正方形CEFG,其中點E在邊初上.若

48=40。，ZAEF=25°,則NB的度數為（）

A.55°B.60°C.65°D.75°

【解答】解：四邊形CEFG是正方形，

?.ZC￡F=90°,

NCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-25°-90°=65°,

?.ZD=180°-NCED-Z￡CD=180°-65°-40°=75°,

四邊形ABCD為平行四邊形,

.-.ZB=ZZ）=75O（平行四邊形對角相等）.

故選：D.

4.（2020?張家港市模擬）如圖，在邊長為4的正方形A88中，點M為對角線皮）上一動點，MEA.BC于

E,叱_18于廠，則EF的最小值為（）

A.4x/2B.2及C.2D.1

【解答】解：連接MC,如圖所示:

四邊形ABCD是正方形,

.-.ZC=90°.NDBC=45。,

MEJL3C于E,MFA.CDTF

四邊形MECF為矩形，

：.EF=MC,

當MC_L5D時，MC取得最小值,

此時2cM是等腰直角三角形，

:.MC=^BC=2y[2,

2

所的最小值為2&；

故選：B.

5.（2019春?梁溪區期末）如圖，正方形A8CD的邊長為3,E、尸是對角線3￡）上的兩個動點，且EF=夜，

連接AE、AF,則AE+防的最小值為（）

C9

22一

2-D.5

【解答】解：如圖作A////8O,使得A/7=Er=&，連接C”交3。于F，則AE+AF的值最小.

???四邊形EW4是平行四邊形,

:.EA=FH,

FA=FC,

:?AE+AF=FH+CF=CH，

四邊形ABCD是正方形，

/.AC±BD,AHI/DB、

ACA.AH,

NC4”=90。，

在RtACAH中，CH7AC?+AH?=26,

.?.AE+AF的最小值26，

故選：A.

6.（2019春?高淳區期末）如圖，在正方形A88中，點E、F、4分別是AB、BC、CD的中點，CE、

DF交于點、G,連接AG、HG.下列結論：?C￡±DF；?AG=DG；③NCHG=NDAG.其中正確的

結論有（）

D

BFC

A?0個B?1個C.2個D.3個

【解答】解：四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=90°,

點石、尸分別是AB、8。的中點，

1.BE=CF,

在MCE與ACDF中,

BE=CF

,ZB=NDCF,

BC=CD

:.耶CE三K：DF,(SAS),

.\ZECB=ZCDF,

ZBCE+ZECD=90°,

..ZECD+NCDF=90。,

/CGD=90。,

:.CE±DF；故①正確；

同理可得：AHIDF,

:.CEHAH

在RtACGD中，”是CD邊的中點，

:.DK=GK,

垂直平分OG,

AG=AD；

若AG=DG,則AM)G是等邊三角形，

則ZADG=60°,ZCDF=30°,

-1

而CF=-CDxDF,

2

ZCDF^30°,

.?.ZAPGw60。，

/.AG^DG,故②錯誤;

:.ZDAG=2ZDAH，

同理：MDHMKXJF,

:.4DAH=/CDF,

GH=DH，

；.ZHDG=ZHGD,

NGHC=ZHDG+NHGD=2ZCDF,

ZCHG=ZDAG；故③正確；

正確的結論有2個，

故選：C.

二、填空題（共5小題）

7.（2019春?太倉市期末）已知正方形的面積為4,則它的對角線長為—.

【解答】解：設正方形的邊長為x,則對角線長為7717=缶；

由正方形的面積為4,即f=4：

解可得x=2,

故對角線長為2百；

答：正方形的邊長為2,對角線長為2夜.

故答案為：2點.

8.（2019春?南京月考）如圖，延長正方形ABCD的邊3c至￡,使CE=AC,則NE=

D

Bc.E

【解答】解：四邊形ABCD是正方形，

:.ZACB=45°,

AC=CE,

:.ZE=ZCAF,

Z4C8是AACE■的外角，

.-.Z￡=-ZACB=22.5°,

2

故答案為：22.5°.

9.（2019春?蘇州期末）如圖，正方形ASCD的邊長為5cm,E是49邊上一點，AE=3cm.動點P由點O

向點C運動，速度為2cm/s,EP的垂直平分線交回于交.CD于N.設運動時間為f秒，當PMUBC

時，/的值為.

【解答】解：如圖，連接

垂直平分尸E,

:.MP=ME,

當皿P〃3C時，四邊形3cpM是矩形,

:.BC=MP=5,

:.ME=5,

又AE=3,

.?.AA/=4=￡）P，

.”=4+2=2（S）,

故答案為：2.

10.（2018春?宿豫區期末）在平行四邊形ABC。中，對角線AC與比＞相交于點O.要使四邊形ABC。是

正方形，還需添加一組條件.下面給出了五組條件:①鉆=4）,且47&且&&；

@AB1AD,S.AB=AD；?AB=BD,且45_L3￡＞；?OB=OC,且OBLOC.其中正確的是

（填寫序號）.

【解答】解：四邊形A8CD是平行四邊形，A9=4）,

二.四邊形ABCD是菱形，

又AC=BD,

四邊形ABC。是正方形，①正確：

四邊形AfiCD是平行四邊形，AB1.AD,

四邊形ABCD是矩形，

又AC±BD，

二.四邊形ABC￡）是正方形，②正確；

四邊形A38是平行四邊形，ABYAD,

二.四邊形/W8是矩形，

又43=4），

,四邊形A8C。是正方形，③正確；

?AB=BD,且回，如，無法得出四邊形AfiCD是正方形，故④錯誤；

四邊形AfiC￡）是平行四邊形，OB=OC,

四邊形ABC￡＞是矩形，

乂OBA.OC.

二.四邊形ABCD是正方形，⑤正確；

故答案為：①②③⑤.

11.（2019春?寶應縣期末）如圖，正方形A88中，對角線AC、相交于點O,DE平分NA"）交AC

于點E,把AAOE沿AD翻折，得到A4￡>￡，點F是DE的中點，連接AF、BF、EF.若AE=2Vi.則

四邊形ABFE的面積是.

【解答】解：連接￡B、EEL作4W_LA3于M,EB交AD于N,如圖所示:

四邊形AfiCD是正方形，

/.AB=BC=CD=DA,AC_L8￡＞，AO=OB=OD=OC,

ZDAC=ZCAB=ZDAE=45°,

AD=AB

在AADE和AA3E中，IZDAE=ZBAE=45°,

AE=AE

:.i\ADE^^ABE(SAS),

把AADE沿45翻折，得到AADE，

.-.MDE^MDE1SMBE,

:.DE=DE,AE=AE,

.?.AD垂直平分EE,

:.EN=NE,

ZNAE=ZNEA=ZMAE=NMEA=45°,AE=2應,

.-.AM=EM=EN=AN=2,

ED平分ZADO,ENLDA,EOVDB,

:.EN=EO=2,AO=2+2代,

AB=y/2AO=4+2-/2,

^&AEB==^MDE,=耳X2x(4+20)=4+2v5

SASDE=_2SM￡B=；X(4+2夜)2—2XgX2X(4+2&)=4+4夜，

DF=EF,

..SgFB=2%咖=萬米(4+4&)=2+2>/2,

=x

?，-SSEE=25兇￡￡)—5小￡￡，=2x(4+2^2)——x(20)~=4+40?S^FE,=—Sg.~(4+4收)=2+2A/2?

-SADf&=2x(4+2^^)-(2+2^5)=6+2*y5'

■,*S四邊形A砂g=2sMED

=

S四邊形ABFE=S四邊形AEF￡+S^EB+^A/rFfl6+2y/2+4+2-^2+2+2^2=12+6^2；

故答案為：12+60.

三、解答題(共2小題)

12.(2019春?贛榆區期末)已知矩形ABCO中，石是AD邊上的一個動點，點尸，G,H分別是5C,BE,

CE的中點.

(1)求證：^BGF^\FHC\

(2)設4)=々，當四邊形￡G戶H是正方形時，求矩形458的面積.

【解答】解：連接所，(1)點尸，G,〃分別是8C,BE,CE的中點,

:.FH!/BE.FH=-BE,FH=BG,

2

:"CFH=/CBG,

BF=CF,

:.\BGF=\FHC,

(2)當四邊形EGFH是正方形時，連接G”，可得：EFLGH且EF=GH，

在ABEC中，點，H分別是BE，CE的中點，

:.GH=-BC=-AD^-a,且GH//BC,

222

:.EFVBC,

AD//BC,AB±BC,

AB=EF=GH=-a,

2

矩形ABCD的面積=AB