學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精第三章第一節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第一課時本章知識框圖本章學習的主要內容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換．變換是數學的重要工具,也是數學學習的主要對象之一．在本冊第一章，學生接觸了同角三角函數公式．在本章,學生將運用向量方法推導兩角差的余弦公式，由此出發導出其他的三角變換公式，并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換．三角恒等變換位于三角函數與數學變換的結合點上．通過本章學習,使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發展推理能力和運算能力，并體會三角恒等變換的工具性作用,學會它們在數學中的一些應用．本章內容安排按兩條線進行,一條明線是建立公式，學習變換；一條暗線就是發展推理能力和運算能力,并且發展能力的要求不僅僅體現在學習變換過程之中，也體現在建立公式的過程之中．因此在本章教學中，教師要特別注意恰時恰點地提出問題，引導學生用對比、聯系、化歸的觀點去分析、處理問題，使學生能依據三角函數式的特點，逐漸明確三角函數恒等變換不僅包括式子的結構形式變換,還包括式子中角的變換，以及不同三角函數之間的變換，強化運用數學思想方法指導設計變換思路的意識．突出數學思想方法的教學，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進行引導，本章不僅關注使學生得到和(差)角公式，而且還特別關注公式推導過程中體現的數學思想方法．例如，在兩角差的余弦公式這一關鍵性問題的解決中體現了數形結合思想以及向量方法的應用；從兩角差的余弦公式推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在這個過程中，始終引導學生體會化歸思想；在應用公式進行恒等變換的過程中，滲透了觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，特別是充分發揮了“觀察”“思考”“探究”等欄目的作用，對學生解決問題的一般思路進行引導，這對學生養成科學的數學思考習慣能起到積極的促進作用．另外,還在適當的時候對三角變換中的數學思想方法作了明確的總結．例如，在旁白中有“倍是描述兩個數量之間關系的，2α是α的二倍，4α是2α的二倍，這里蘊含著換元的思想”等,都是為了加強思想方法而設置的．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是歷屆高考考查的“重點”和“熱點",在高考中占有重要的地位,主要考查對這十一個公式的正用、逆用、變形用,考查對公式的熟練掌握程度和靈活運用能力,其考查難度屬低檔，這就要求我們不要過分引導學生去挖掘一些特殊的變化技巧，應把主要精力放在學生掌握數學規律和通性通法上．教師在教學中，要注意控制好難度．因為近幾年的高考中對三角部分的考查難度降低，但教材中部分習題卻有一定難度，因此教師要把握好難度．本章教學時間約需8課時,具體分配如下(僅供參考）：節次標題課時3。1。1兩角差的余弦公式1課時3。1。2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式2課時3。1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1課時3.2簡單的三角恒等變換2課時本章復習2課時作者：仇玉法eq\o(\s\up7()，\s\do5(整體設計））教學分析本節是以一個實際問題做引子,目的在于從中提出問題,引入本章的研究課題．在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中，提出了兩個問題：①實際問題中存在研究像tan（45°＋α）這樣的包含兩個角的三角函數的需要;②實際問題中存在研究像sinα與tan（45°＋α)這樣的包含兩角和的三角函數與α、45°單角的三角函數的關系的需要．以實例引入課題也有利于體現數學與實際問題的聯系，增強學生的應用意識，激發學生學習的積極性，同時也讓學生體會數學知識產生、發展的過程．本節首先引導學生對cos(α－β)的結果進行探究，讓學生充分發揮想象力，進行猜想，給出所有可能的結果,然后再去驗證其真假．這也展示了數學知識的發生、發展的具體過程，最后提出了兩種推導證明“兩角差的余弦公式”的方案．方案一,利用單位圓上的三角函數線進行探索、推導，讓學生動手畫圖，構造出α－β角，利用學過的三角函數知識探索存在一定的難度,教師要作恰當的引導;方案二，利用向量知識探索兩角差的余弦公式時，要注意推導的層次性：①在回顧求角的余弦有哪些方法時，聯系向量知識，體會向量方法的作用；②結合有關圖形，完成運用向量方法推導公式的必要準備;③探索過程不應追求一步到位,應先不去理會其中的細節，抓住主要問題及其線索進行探索，然后再反思，予以完善;④補充完善的過程，既要運用分類討論的思想,又要用到誘導公式．本節是數學公式的教學，教師要遵循公式教學的規律,應注意以下幾方面：①要使學生了解公式的由來；②使學生認識公式的結構特征，加以記憶;③使學生掌握公式的推導和證明;④通過例子使學生熟悉公式的應用，靈活運用公式進行解答有關問題．三維目標1．通過讓學生探索、猜想、發現并推導“兩角差的余弦公式”，了解單角與復角的三角函數之間的內在聯系，并通過強化題目的訓練,加深對兩角差的余弦公式的理解,培養學生的運算能力及邏輯推理能力，提高學生的數學素質．2．通過兩角差的余弦公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、證明，體會化歸思想在數學當中的運用，使學生進一步掌握聯系的觀點，自覺地利用聯系變化的觀點來分析問題,提高學生分析問題、解決問題的能力．3．通過本節的學習，使學生體會探究的樂趣，認識到世間萬物的聯系與轉化,養成用辯證與聯系的觀點看問題．創設問題情境，激發學生分析、探求的學習態度，強化學生的參與意識,從而培養學生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數形結合等數學思想方法．重點難點教學重點:通過探究得到兩角差的余弦公式．教學難點：探索過程的組織和適當引導．課時安排1課時eq\o(\s\up7（）,\s\do5（教學過程））導入新課思路1.(問題導入)播放多媒體，出示問題,讓學生認真閱讀課本引例．在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中，提出了兩個問題：①實際問題中存在研究像tan（45°＋α）這樣的包含兩個角的三角函數的需要;②實際問題中存在研究像sinα與tan(45°＋α）這樣的包含兩角和的三角函數與α、45°單角的三角函數的關系的需要．在此基礎上，再一般化而提出本節的研究課題進入新課．思路2.推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)①請學生猜想cos(α－β）＝？②利用前面學過的單位圓上的三角函數線，如何用α、β的三角函數來表示cos(α－β)呢？③利用向量的知識，又能如何推導發現cos(α－β）＝?④細心觀察C(α－β)公式的結構，它有哪些特征?其中α、β角的取值范圍如何？⑤如何正用、逆用、靈活運用C（α－β）公式進行求值計算？活動：問題①，出示問題后，教師讓學生充分發揮想象能力嘗試一下，大膽猜想，有的同學可能就首先想到cos（α－β)＝cosα－cosβ的結論，此時教師適當的點撥，然后讓學生由特殊角來驗證它的正確性．如α＝60°，β＝30°，則cos（α－β）＝cos30°＝eq\f（\r（3），2）,而cosα－cosβ＝cos60°－cos30°＝eq\f(1－\r(3)，2），這一反例足以說明cos（α－β）≠cosα－cosβ.讓學生明白,要想說明猜想正確，需進行嚴格證明，而要想說明猜想錯誤，只需一個反例即可．問題②，既然cos(α－β)≠cosα－cosβ，那么cos（α－β)究竟等于什么呢？由于這里涉及的是三角函數的問題，是α－β這個角的余弦問題，我們能否利用單位圓上的三角函數線來探究呢？如圖1，設角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β。過點P作PM垂直于x軸，垂足為M,那么OM就是角α－β的余弦線，即OM＝cos(α－β)，這里就是要用角α、β的正弦線、余弦線來表示OM。過點P作PA垂直于OP1，垂足為A，過點A作AB垂直于x軸,垂足為B,過點P作PC垂直于AB，垂足為C。那么，OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α.于是，OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα。所以，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ。圖1教師引導學生進一步思考，以上的推理過程中，角α、β、α－β是有條件限制的，即α、β、α－β均為銳角，且α>β,如果要說明此結果是否對任意角α、β都成立，還要做不少推廣工作，并且這項推廣工作的過程比較繁瑣,由同學們課后動手試一試．問題③，教師引導學生,可否利用剛學過的向量知識來探究這個問題呢？如圖2，在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角α、β,它們的終邊與單位圓O的交點分別為A、B，則eq\o（OA，\s\up6（→））＝（cosα，sinα)，eq\o（OB，\s\up6(→）)＝（cosβ，sinβ),∠AOB＝α－β.圖2由向量數量積的定義有eq\o（OA,\s\up6（→)）·eq\o（OB,\s\up6(→）)＝|eq\o（OA，\s\up6(→)）｜|eq\o（OB，\s\up6（→）)|·cos（α－β)＝cos（α－β），由向量數量積的坐標表示有eq\o（OA，\s\up6（→))·eq\o（OB,\s\up6（→））＝（cosα,sinα）(cosβ,sinβ）＝cosαcosβ＋sinαsinβ,于是，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.我們發現，運用向量工具進行探究推導，過程相當簡潔,但在向量數量積的概念中，角α－β必須符合條件0≤α－β≤π，以上結論才正確，由于α、β都是任意角，α－β也是任意角，因此就是研究當α－β是任意角時，以上公式是否正確的問題．當α－β是任意角時，由誘導公式，總可以找到一個角θ∈［0，2π)，使cosθ＝cos（α－β),若θ∈[0，π]，則eq\o(OA，\s\up6（→)）·eq\o(OB,\s\up6(→))＝cosθ＝cos（α－β）．若θ∈[π,2π］，則2π－θ∈[0，π]，且eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB，\s\up6（→))＝cos(2π－θ）＝cosθ＝cos(α－β）．由此可知，對于任意角α、β都有eq\x（cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβCα－β）此公式給出了任意角α、β的正弦、余弦值與其差角α－β的余弦值之間的關系,稱為差角的余弦公式，簡記為C（α－β)．有了公式C（α－β）以后，我們只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，就可以求得cos(α－β）的值了．問題④,教師引導學生細心觀察公式C（α－β）的結構特征，讓學生自己發現公式左邊是“兩角差的余弦”，右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”，可讓學生結合推導過程及結構特征進行記憶,特別是運算符號，左“－"右“＋"．或讓學生進行簡單填空，如：cos（A－B)＝________，cos（θ－φ)＝________等．因此，只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α－β）的值了．問題⑤，對于公式的正用是比較容易的，關鍵在于“拆角”的技巧，而公式的逆用則需要學生的逆向思維的靈活性,特別是變形應用,這就需要學生具有較強的觀察能力和熟練的運算技巧．如cos75°cos45°＋sin75°sin45°＝cos(75°－45°）＝cos30°＝eq\f（\r（3），2)，cosα＝cos[（α＋β）－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.討論結果：①～⑤略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用示例)）思路1例1利用差角余弦公式求cos15°的值．活動：先讓學生自己探究，對有困難的學生教師可點撥學生思考題目中的角15°，它可以拆分為哪些特殊角的差，如15°＝45°－30°或者15°＝60°－45°，從而就可以直接套用公式C(α－β）計算求值．教師不要包辦，充分讓學生自己獨立完成，在學生的具體操作下,體會公式的結構，公式的用法以及把未知轉化為已知的數學思想方法．對于很快就完成的同學,教師鼓勵其換個角度繼續探究．解：方法一：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r(2),2）×eq\f(\r(3），2）＋eq\f(\r（2）,2）×eq\f(1,2)＝eq\f（\r(6）＋\r（2)，4).方法二：cos15°＝cos（60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f（1，2）×eq\f（\r(2),2）＋eq\f（\r（2），2)×eq\f（\r（3），2）＝eq\f（\r(6）＋\r(2),4）。點評：本題是指定方法求cos15°的值，屬于套用公式型的，這樣可以使學生把注意力集中到使用公式求值上．但是仍然需要學生將這個非特殊角拆分成兩個特殊角的差的形式,靈活運用公式求值．本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角，但可以拆分成兩角差的情形．至于如何拆分，讓學生在應用中仔細體會。變式訓練1．不查表求sin75°,sin15°的值．解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r(2)，2）×eq\f（\r（3），2)＋eq\f（\r(2),2)×eq\f(1，2）＝eq\f（\r(6）＋\r（2),4）.sin15°＝eq\r(1－cos215°)＝eq\r（1－\f（\r(6）＋\r（2),4)2）＝eq\r(\f（8－2\r（6）×\r(2），16））＝eq\f(\r（6）－\r(2),4).點評：本題是例題的變式，比例題有一定的難度,但學生只要細心分析，利用相關的誘導公式，不難得到上面的解答方法．2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解：原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0。點評：此題學生一看就有似曾相識而又無從下手的感覺，需要教師加以引導,讓學生細心觀察，再結合公式C（α－β）的右邊的特征，逆用公式便可得到cos(110°－20°)．這就是公式逆用的典例，從而培養了學生思維的靈活性。例2已知sinα＝eq\f(4，5），α∈（eq\f(π，2)，π)，cosβ＝－eq\f(5，13），β是第三象限角，求cos（α－β）的值．活動：教師引導學生觀察題目的結構特征，聯想到剛剛推導的余弦公式，學生不難發現,欲求cos(α－β）的值，必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，然后利用公式C（α－β)即可求解．從已知條件看，還少cosα與sinβ的值,根據誘導公式不難求出，但是這里必須讓學生注意利用同角的平方和關系式時，角α、β所在的象限,準確判斷它們的三角函數值的符號．本例可由學生自己獨立完成．解：由sinα＝eq\f(4,5),α∈（eq\f(π，2)，π),得cosα＝－eq\r(1－sin2α）＝－eq\r（1－\f(4,5)2）＝－eq\f(3，5）。又由cosβ＝－eq\f(5,13），β是第三象限角,得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f（5,13）2）＝－eq\f（12,13）。所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－eq\f(3,5)）×（－eq\f(5,13）)＋eq\f（4，5)×（－eq\f（12,13）)＝－eq\f(33,65)。點評：本題是直接運用公式C(α－β）求值的基礎練習,但必須思考使用公式前應作出的必要準備．特別是運用同角三角函數平方關系式求值時，一定要弄清角的范圍，準確判斷三角函數值的符號．教師可提醒學生注意這點,養成良好的學習習慣。變式訓練已知sinα＝eq\f（4，5）,α∈（0,π），cosβ＝－eq\f(5,13）,β是第三象限角，求cos（α－β)的值．解：①當α∈[eq\f(π，2）,π）時，由sinα＝eq\f（4,5),得cosα＝－eq\r（1－sin2α)＝－eq\r（1－\f（4，5）2)＝－eq\f（3，5），又由cosβ＝－eq\f(5，13）,β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f(5,13)2）＝－eq\f（12,13).所以cos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝（－eq\f（3，5））×（－eq\f（5，13))＋eq\f（4,5)×（－eq\f(12，13)）＝－eq\f（33,65).②當α∈(0,eq\f（π，2)）時，由sinα＝eq\f（4，5），得cosα＝eq\r（1－sin2α)＝eq\r（1－\f（4，5）2）＝eq\f（3，5)，又由cosβ＝－eq\f(5，13），β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β）＝－eq\r（1－－\f（5,13）2)＝－eq\f(12，13)。所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f（3,5)×（－eq\f(5,13）)＋eq\f(4,5）×(－eq\f(12,13））＝－eq\f（63，65)。點評：本題與例2的顯著的不同點就是角α的范圍不同．由于α∈（0,π），這樣cosα的符號可正、可負，需討論，教師引導學生運用分類討論的思想，對角α進行分類討論，從而培養學生思維的嚴密性和邏輯的條理性．教師強調分類時要不重不漏.思路2例1計算：(1)cos（－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；（3)sinxsin（x＋y)＋cosxcos(x＋y)．活動：教師可以大膽放給學生自己探究，點撥學生分析題目中的角－15°，思考它可以拆分為哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°,然后套用公式求值即可．也可化cos（－15°）＝cos15°再求值．讓學生細心觀察(2)（3）可知，其形式與公式C(α－β）的右邊一致,從而化為特殊角的余弦函數．解：（1)原式＝cos15°＝cos（45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r（2），2)×eq\f（\r(3),2)＋eq\f(\r(2)，2)×eq\f（1，2)＝eq\f(\r（6)＋\r(2）,4)。（2)原式＝cos(15°－105°）＝cos(－90°)＝cos90°＝0.(3)原式＝cos［x－(x＋y）]＝cos(－y）＝cosy.點評：本例重點是訓練學生靈活運用兩角差的余弦公式進行計算求值，從不同角度培養學生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力，為后面公式的學習打下牢固的基礎．例2已知cosα＝eq\f（1,7)，cos(α＋β）＝－eq\f(11,14)，且α、β∈(0，eq\f(π，2)）,求cosβ的值．活動：教師引導學生觀察題目中的條件與所求，讓學生探究α、α＋β、β之間的關系,也就是尋找已知條件中的角與所求角的關系．學生通過探究、討論不難得到β＝（α＋β)－α的關系式，然后利用公式C（α－β)求值即可．但還應提醒學生注意由α、β的取值范圍求出α＋β的取值范圍，這是很關鍵的一點，從而判斷sin（α＋β）的符號進而求出cosβ.解：∵α、β∈（0，eq\f(π，2）），∴α＋β∈(0，π）．又∵cosα＝eq\f(1，7），cos（α＋β）＝－eq\f(11,14)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α）＝eq\f（4\r(3),7），sin(α＋β）＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(5\r(3）,14).又∵β＝(α＋β）－α，∴cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β)sinα＝(－eq\f(11,14）)×eq\f（1，7）＋eq\f(5\r（3），14)×eq\f(4\r(3),7）＝eq\f（1，2)。點評：本題相對于例1難度大有提高，但是只要引導適當，學生不難得到β＝(α＋β)－α的關系式,繼而運用公式解決．但值得注意的是α＋β的取值范圍確定,也是很關鍵的,這是我們以后解題當中常見的問題。變式訓練1．求值：cos15°＋sin15°。解：原式＝eq\r(2)（eq\f（\r(2）,2)cos15°＋eq\f（\r(2），2)sin15°）＝eq\r(2）(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝eq\r（2)cos(45°－15°)＝eq\r（2）cos30°＝eq\f(\r（6），2）.2．已知sinα＋sinβ＝eq\f(3,5)，cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，求cos(α－β)的值．解：∵（sinα＋sinβ）2＝（eq\f（3,5)）2，(cosα＋cosβ)2＝(eq\f(4,5))2，以上兩式展開兩邊分別相加，得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos（α－β）＝－eq\f（1，2）.點評：本題又是公式C(α－β)的典型應用,解決問題的關鍵就是將已知中的兩個和式兩邊平方，從而得到公式C(α－β）中cosαcosβ和sinαsinβ的值，即可求得cos(α－β）的值，本題培養了學生綜合運用三角函數公式解決問題的能力．3．已知銳角α、β滿足cosα＝eq\f（4,5）,tan(α－β）＝－eq\f(1,3），求cosβ.解：∵α為銳角，且cosα＝eq\f(4,5)，得sinα＝eq\f（3，5）。又∵0<α<eq\f（π，2)，0〈β〈eq\f（π，2）,∴－eq\f（π，2)<α－β〈eq\f（π，2).又∵tan(α－β)＝－eq\f（1,3)〈0，∴cos（α－β）＝eq\f(3,\r(10））。從而sin(α－β)＝tan（α－β）cos（α－β)＝－eq\f(1,\r(10)）。∴cosβ＝cos［α－（α－β)]＝cosαcos（α－β)＋sinαsin(α－β）＝eq\f（4，5)×eq\f(3,\r（10))＋eq\f(3，5)×(－eq\f(1，\r(10）））＝eq\f（9\r(10),50）。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓練))課本本節練習．解答:1．（1）cos（eq\f（π,2)－α）＝coseq\f(π,2）cosα＋sineq\f(π，2）sinα＝sinα。(2)cos（2π－α)＝cos2πcosα＋sin2πsinα＝cosα.2.eq\f(\r（2)，10）。3。eq\f(15\r（3）－8，34）.4。eq\f（2\r(7)－3\r(5)，12）。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結))1．先由學生自己思考、回顧公式的推導過程，觀察公式的特征，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變形用及掌握變角和拆角的思想方法解決問題．然后教師引導學生圍繞以下知識點小結：（1）怎么聯系有關知識進行新知識的探究？（2）利用差角余弦公式方面:對公式結構和功能的認識;三角變換的特點．2．教師畫龍點睛:本節課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導，要正確熟練地運用公式進行解題,在解題時要注意分析三角函數名稱、角的關系，準確判斷三角函數值的符號．多對題目進行一題多解，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到優化解題過程，規范解題步驟，領悟變換思路，強化數學思想方法之目的．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業））課本習題3.1A組2、3、4、5.eq\o(\s\up7（），\s\do5(設計感想））1．本節課是典型的公式教學模式，因此本節課的設計流程為“實際問題→猜想→探索推導→記憶→應用”．它充分展示了公式教學中以學生為主體,進行主動探索數學知識發生、發展的過程．同時充分發揮教師的主導作用，引導學生利用舊知識推導、證明新知識，并學會記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題，從而培養學生獨立探索數學知識的能力，增強學生的應用意識，激發學生學習的積極性．2．3．教學矛盾的主要方面是學生的學，學是中心,會學是目的，根據高中三角函數的推理特點，本節主要是教給學生“研究問題、猜想探索公式、驗證特殊情形、推導公式、學習應用"的探索創新式學習方法．這樣做增強了學生的參與意識，教給了學生發現規律、探索推導，獲取新知的途徑，讓學生真正嘗到探索的喜悅，真正成為教學的主體．學生體會到數學的美，產生一種成功感，從而提高了學習數學的興趣．eq\o（\s\up7()，\s\do5（備課資料）)一、當α、β為銳角時，cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ的向量證明方法．證明：如圖3所示，在直角坐標系中作單位圓O，并作角α與－β，設角α的終邊與單位圓交于點P1，－β角的終邊與單位圓交于點P2,則圖3eq\o(OP1，\s\up6(→)）＝(cosα,sinα)，eq\o（OP2，\s\up6（→))＝(cos（－β),sin(－β)），eq\o(OP1，\s\up6（→）)與eq\o(OP2，\s\up6(→）)的夾角為α＋β，∵eq\o(OP1，\s\up6(→））·eq\o（OP2,\s\up6（→)）＝｜eq\o（OP1，\s\up6(→）)|｜eq\o(OP2,\s\up6（→））|cos(α＋β），cosαcos(－β）＋sinαsin（－β）＝1·1·cos（α＋β)，cos（α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。二、備用習題1．若－eq\f（π，2）〈α<β<eq\f(π，2）,則α－β一定不屬于的區間是（）A．(－π，π)B．(－eq\f(π，2)，eq\f（π，2））C．(－π,0）D．(0,π)答案：D