2024-2025學年度第一學期高二數學期中模擬試卷（一）總分：150分考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線，，則“”是“”的（）條件A.必要不充分 B.充分不必要C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根據直線平行求得，結合充分、必要條件的知識求得正確答案.【詳解】若，則，解得或，當時，和的方程都是，兩直線重合，不符合題意.經驗證可知，符合.所以“”是“”的充要條件.故選：C2.拋物線的焦點到其準線的距離為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】將拋物線方程化為標準式，即可得到，再根據的幾何意義得解；【詳解】解：拋物線，即，則，所以，所以拋物線的焦點到其準線的距離為.故選：C3.已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸長為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，則的周長為A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義，結合，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，橢圓的短軸長為，離心率為，所以，，則，所以，所以的周長為，故選C．4.設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意得到，，進而得到，求出漸近線方程.【詳解】由題意得，，解得，，故，故雙曲線漸近線方程為.故選：C5.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為6，則實數等于（）A. B. C.12 D.【答案】C【解析】【分析】根據橢圓的標準方程建立方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以，即實數的值為12.故選：C6.點在曲線上，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，問題轉化為半圓上的點到定直線的距離的5倍，進而求出結果.【詳解】如圖，曲線為圓上半圓，圓心，半徑為2，，表示點到直線距離的5倍，點到直線的距離，即直線與圓相離，點到直線的距離，最小值為，最大值為，則的取值范圍為.故選：B7.焦距為，并且截直線所得弦的中點的橫坐標是的橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】設橢圓方程為，且，及交點，將兩點代入橢圓方程可得，根據弦中點坐標關系可得，結合直線方程得，再由橢圓的焦距求得的值，即可得橢圓標準方程.【詳解】解：設橢圓方程為，且設直線與橢圓相交的兩點坐標為，由題意可知，即，所以，又在橢圓上，可得：，兩式相減得，整理得：，則，所以，又直線的斜率為，所以，即，所以橢圓的焦距為，所以，則，故可得：解得，故橢圓的標準方程為：.故選：A.8.已知圓，直線，若直線與軸交于點，過直線上一點作圓的切線，切點為，且，則的取值范圍是（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出軌跡方程，再根據直線與圓有交點，結合點到直線距離公式即可求解.【詳解】設，根據直線解析式，直線與軸交點，因為，圓心，半徑；根據題意，，又因為，則有：，化簡整理得，，故的軌跡為，是圓心為，半徑為的圓；因為存在，則直線與圓有交點，則圓心到直線的距離小于等于半徑，所以，即，整理得：，解得；故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.曲線，下列結論正確的有（）A.若曲線表示橢圓，則且不等于0 B.若曲線表示雙曲線，則焦距是定值C.若，則短軸長為2 D.若，則漸近線為【答案】AC【解析】【分析】根據橢圓雙曲線簡單幾何性質逐項判斷即可.【詳解】對于:表示橢圓,則,即,故正確;對于:表示雙曲線,則,即,當時,,焦距不是定值,故錯誤;對于:時,為橢圓,短軸長,故正確;對于:時,為雙曲線,漸近線方程為,故錯誤;故選:.10.已知直線和圓，則下列選項正確的是（）A.直線恒過點B.圓與圓有三條公切線C.直線被圓截得的最短弦長為D.當時，圓上存在無數對關于直線對稱的點【答案】ACD【解析】【分析】根據定點的特征即可求解A，根據兩圓的位置關系即可求解B，根據垂直時即可結合圓的弦長公式求解C，根據直線經過圓心即可求解D.【詳解】對于A，由直線的方程，可知直線恒經過定點，故A正確；對于B，由圓的方程，可得圓心，半徑，又由，由于，所以圓與圓相交，圓與圓有兩條公切線，故B錯誤；對于C，由，根據圓的性質，可得當直線和直線垂直時，此時截得的弦長最短，最短弦長為，故C正確；對于D，當k=1時，直線，將圓心代入直線的方程，可得，所以圓上存在無數對關于直線對稱的點，故D正確，故選:ACD.11.設橢圓的右焦點為，點為左頂點，點為上頂點，直線過原點且與橢圓交于，兩點（在第一象限），則以下命題正確的有（）A.B.時，三角形面積為C.直線與直線斜率之積是定值D.當與平行時，四邊形的面積最大【答案】ABD【解析】【分析】根據題意和橢圓的性質，結合直線的特點，可較易判斷A選項；對于B選項我們可以巧妙利用橢圓的對稱性，將所求三角形轉化為面積相同且較易求面積的三角形，利用三角形相關的性質，即可判斷；對于C選項，按照選項內容建立起直線和直線的斜率的積的關系式，通過對式子的變形整理，看式子中是否含有變量，如果有變量，則不是定值，如果沒有變量，則是定值；對于D選項，我們可以將四邊形的面積分解為幾個易于計算的小三角形的面積，這樣有利于我們更好的建立四邊形面積的表達式，從而根據表達式得出面積最大時，和的位置關系.【詳解】設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，焦距為，則由題意可知，，，，，∴，，，直線過原點，且在第一象限，∴設直線的方程為：，，∵經過原點，∴，即：，∴，即：，故A正確；如圖所示：設橢圓的左焦點為，連接，，，，由對稱性可知：四邊形是平行四邊形，又：，，設，，，由余弦定理可知：，即：，即：，解得：，∴，又：，∴，，∴，∴，故B正確；設：，點在第一象限，∴，由對稱性知：，∴，，∴，又：在橢圓上，∴，∴，即有：，直線與直線的斜率之積與直線的斜率有關，不是定值，故C錯誤；如圖所示：，當且僅當：，即：，，時等號成立，而，此時，∴當與平行時，四邊形的面積最大，最大面積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓的方程是，則圓心的軌跡方程為________.【答案】【解析】【分析】將圓方程化成標準方程可得出圓心坐標為，再根據表示圓的條件消去參數即可得圓心的軌跡方程.【詳解】因為方程表示圓，即表示圓,所以，解得,易知圓心坐標為，且，設圓心坐標為，則有，消去，得即為所求圓心的軌跡方程.故答案為：13.已知為橢圓上的點，，則線段長度的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】記線段的長度為，表達的函數，利用,；，結合二次函數的性質即可求的最小值．【詳解】設，記線段的長度為，是橢圓上任意一點，設,,,所以：．由于，故時，有最小值，且的最小值，故答案為：14.直線與雙曲線有且只有一個公共點，則實數．【答案】或【分析】由消去y，對二次系數是否為0分類討論可得.【解析】由消去y，整理得，當時，由得；又注意到直線恒過點，且漸近線的斜率為時，直線與漸近線平行時也成立．故答案為：或

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓，直線過點.（1）當直線與圓相切時，求直線的斜率；（2）線段的端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解出即可；（2）建立點和點之間的關系式，再利用點的坐標滿足的關系式得到點的坐標滿足的條件，即可求出.【小問1詳解】已知的圓心是，半徑是，設直線斜率為則直線方程是，即，則圓心到直線距離為，解得直線的斜率.【小問2詳解】設點則，由點是的中點得，所以①因為在圓上運動，所以②①代入②得，化簡得點的軌跡方程是.16.已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C與直線相交于不同的兩點A、B，且AB中點橫坐標為2，求k的值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據拋物線上點到焦點的距離關于p的方程可求出得拋物線方程；（2）聯立直線方程與拋物線方程得一元二次方程，由韋達定理及中點坐標公式即可求解.小問1詳解】由題意設拋物線方程為，其準線方程為，∵到焦點的距離等于A到其準線的距離，∴∴∴拋物線C的方程為【小問2詳解】由消去y，得,∵直線與拋物線相交于不同兩點A、B，則有,解得且，又，解得，或（舍去）∴的值為．17.已知圓.（1）證明：圓過定點.（2）當時，求直線被圓截得的弦長.（3）當時，若直線與圓交于兩點，且，其中為坐標原點，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）對式子變形為，由于與無關，列方程求解即可得定點；（2）求出圓心到直線距離，再結合垂徑定理求解弦長即可；（3）聯立直線與圓的方程，韋達定理，利用數量積的坐標運算列不等式，求解即可.【小問1詳解】由，得，令，得，解得，所以圓過定點，且定點的坐標為.【小問2詳解】當時，圓的標準方程為，則圓的圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為.【小問3詳解】將代入，得.則恒成立，設，則，所以，整理得，則，所以的取值范圍是.18.已知橢圓C：的焦距為，離心率為.（1）求C的標準方程；（2）若，直線l：交橢圓C于E，F兩點，且的面積為，求t的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意得到，，即可得到答案.（2）首先設，，根據直線與橢圓聯立，結合根系關系得到，設直線l與x軸的交點為，再根據求解即可.【小問1詳解】由題意得，，，又，則，則，所以C的標準方程為.【小問2詳解】由題意設，，如圖所示：聯立，整理得，，則，，故.設直線l與x軸交點為，又，則，故，結合，解得.19.已知圓C：與圓的相交弦長為（1）求圓C的半徑R的值；（2）若對于的圓，已知點，點，在圓C上，直線不經過點，且直線，的斜率之和為2，求證：直線MN經過一定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）或（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）根據題意，聯立兩圓的方程，結合勾股定理代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，