導數的應用單選題1、（2024年高考全國Ⅰ卷理數）函數的圖像在點處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B．2、若函數在處的切線方程為，則，的值為（）A．2,1 B．-2，-1 C．3,1 D．-3，-1【答案】C【解析】將代入切線，得到切點坐標為，將代入到函數解析式中，得到，所以，求導得，代入得，所以，得.故選：C.3、直線經過點，且與直線平行，假如直線與曲線相切，那么等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線經過點，且與直線平行，則直線方程為：直線與曲線相切，，切點為代入直線方程解得：故選：A4、（2024·浙江溫州中學3月高考模擬）函數的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，當時，，選項B,C都不滿意這兩個條件.又當時，，則，當時單調遞增，當時單調遞減，則選項D不符合這個條件，因此A正確.故選：A5、（2024年高考全國Ⅲ卷理數）已知曲線在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則（）A． B．a=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵∴切線的斜率，，將代入，得.故選D．6、（2024年高考全國Ⅰ卷理數）設函數.若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數f(x)是奇函數，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f'(0)x，化簡可得y=x.故選D.7、（2025屆山東師范高校附中高三月考）已知在區間上有極值點，實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,由于函數在上有極值點，所以在上有零點.所以，解得.故選：D.8、若函數在上單調遞減，則的最小值是（）A． B．-1 C． D．【答案】A【解析】由，又在上單調遞減，則在上恒成立，即在上恒成立.又當時，，故，所以的最小值為.故答案選A9、（2024年高考全國III卷理數）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】設直線在曲線上的切點為，則，函數的導數為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D．10、（2025屆浙江省溫麗聯盟高三第一次聯考）若函數的極大值是，微小值是，則（）A．與有關，且與有關 B．與有關，且與無關C．與無關，且與無關 D．與無關，且與有關【答案】C【解析】∵，∴，令，得，或，當改變時，、的改變如下表：遞增極大值遞減微小值遞增∴，，∴，故選：C．11、（2024年高考江蘇）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線的距離的最小值是.【答案】4【解析】由，得，設斜率為的直線與曲線切于，由得（舍去），∴曲線上，點到直線的距離最小，最小值為.故答案為．12、（2024·山東省淄博試驗中學高三上期末）已知、、、，從這四個數中任取一個數，使函數有極值點的概率為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，若函數f（x）有極值點，則f′（x）有2個不相等的實數根，故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，滿意條件的有2個，分別是a，c，故滿意條件的概率p，故選：B．13、（2025屆山東師范高校附中高三月考）已知偶函數的定義域為，其導函數為，當時，有成立，則關于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】依據題意設，則，又當時，，則有，所以在上單調遞減，又在上是偶函數，所以，所以是偶函數，所以，又為偶函數，且在上為減函數，且定義域為，則有，解得或，即不等式的解集為，故選：B.14、（2025屆山東省濰坊市高三上學期統考）當直線和曲線E：交于三點時，曲線E在點A，點C處的切線總是平行的，則過點可作曲線E的切線的條數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】直線過定點由題意可知：定點是曲線的對稱中心，，解得，所以曲線，f′（x）=，設切點M（x0，y0），則M縱坐標y0=，又f′（x0）=，∴切線的方程為：又直線過定點，得﹣-2=0，，即解得：故可做兩條切線故選C多選題15、已知函數的定義域為且導函數為，如圖是函數的圖象，則下列說法正確的是A．函數的增區間是， B．函數的增區間是， C．是函數的微小值點 D．是函數的微小值點【答案】【解析】：依據題意，由函數的圖象可知：當時，，，此時為增函數，當時，，，此時為減函數，當時，，，此時為減函數，當時，，，此時為增函數；據此分析選項：函數的增區間是，，則正確，錯誤；是函數的極大值點，是函數的微小值點，則正確，錯誤；故選：．16、已知函數，其導函數為，下列命題中真命題的為A．的單調減區間是 B．的微小值是 C．當時，對隨意的且，恒有（a）（a） D．函數有且只有一個零點【答案】【解析】：，其導函數為．令，解得，，當時，即，或時，函數單調遞增，當時，即時，函數單調遞減；故當時，函數有微小值，微小值為（2），當時，函數有極大值，極大值為，故函數只有一個零點，錯誤，正確；，且，（a）（a），恒有（a）（a），故正確；故選：．17、（2025屆山東師范高校附中高三月考）已知函數，是函數的極值點，以下幾個結論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】函數,,∵是函數的極值點，∴，即，

,

,,即A選項正確,B選項不正確;

,即C正確,D不正確.

故答案為:AC.18、（2024秋?煙臺期中）已知函數，若，則下列結論正確的是A． B． C． D．當時，【答案】【解析】：．正確；因為令，在上是增函數，當時，，即．．錯誤；因為令，，時，，單調遞增，時，，單調遞減．與無法比較大小．．錯誤；因為令，，時，，在單調遞減，時，，在單調遞增，當時，，，，．當時，，，．．正確；因為時，單調遞增，又正確，故選：．填空題19、（江蘇省如皋市2024-2025學年高三上學期10月調研）已知，設函數的圖象在點（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為________.【答案】1【解析】函數f(x)=ax?lnx,可得,切線的斜率為：，切點坐標(1,a),切線方程l為：y?a=(a?1)(x?1)，l在y軸上的截距為：a+(a?1)(?1)=1.故答案為1.20、（江蘇省南通市西亭高級中學2024-2025學年高三下學期學情調研）若曲線在處的切線斜率為-1，則___________.【答案】【解析】，.故答案為:-2.21、（2025屆江蘇省南通市海安高級中學高三其次次模擬）設點P在函數的圖象上，點Q在函數的圖象上，則線段PQ長度的最小值為_________【答案】【解析】由題,因為與互為反函數,則圖象關于對稱,設點為,則到直線的距離為,設,則,令,即,所以當時,,即單調遞減；當時,,即單調遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:22、（江蘇省南通市通州區2024-2025學年高三第一次調研抽測）函數有兩個零點，則k的取值范圍是_______.【答案】【解析】令，因為函數有兩個零點，所以的圖像與直線有兩個交點，作出函數的圖像如下：因為，由圖像可得：或.故答案為23、（2025屆浙江省十校聯盟高三下學期開學）已知函數，若函數有三個互不相同的零點0，，，其中，若對隨意的，都有成立，則實數的最小值為______.【答案】【解析】因為，由題意可知：，是的根，則，，△，，，當時，，則存在的極大值點，，且，由題意，，將代入得，解可得．又因為，結合二次函數的性質可知，，得即的最小值．故答案為：.解答題24、（2025屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數處有微小值，求函數在區間上的最大值．【解析】（1）當時，，，所以，又，所以曲線在點處切線方程為，即.（2）因為，因為函數處有微小值，所以，所以由，得或，當或時，，當時，，所以在，上是增函數，在上是減函數，因為，，所以的最大值為.25、（2024·夏津第一中學高三月考）已知函數．當時，探討的單調性；【解析】函數的定義域為.，因為，所以，①當，即時，由得或，由得，所以在，上是增函數，在上是減函數；②當，即時，所以在上是增函數；③當，即時，由得或，由得，所以在，.上是增函數，在.上是減函綜上可知：當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減；當時，在.上是單調遞增；26、（2024年高考天津）已知函數，為的導函數．（Ⅰ）當時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）求函數的單調區間和極值；（Ⅱ）當時，求證：對隨意的，且，有．【解析】（Ⅰ）（i）當時，，故．可得，，所以曲線在點處的切線方程為，即．（ii）依題意，．從而可得，整理可得．令，解得．當改變時，的改變狀況如下表：1-0+↘微小值↗所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；的微小值為，無極大值．（Ⅱ）證明：由，得．對隨意的，且，令，則．①令．當時，，由此可得在單調遞增，所以當時，，即．因為，，所以，．②由（Ⅰ）（ii）可知，當時，，即，故．③由①②③可得．所以，當時，對隨意的，且，有．27、（2024年高考全國Ⅲ卷理數）設函數，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個肯定值不大于1的零點，證明：全部零點的肯定值都不大于1．【解析】（1）．依題意得，即.故．（2）由（1）知，.令，解得或.與的狀況為：x+0–0+因為，所以當時，只有大于1的零點.因為，所以當時，f（x）只有小于–1的零點．由題設可知，當時，只有兩個零點和1.當時，只有兩個零點–1和.當時，有三個等點x1，x2，x3，且，，．綜上，若有一個肯定值不大于1的零點，則全部零點的肯定值都不大于1.28、（2024年高考全國Ⅰ卷理數）已知函數.（1）當a=1時，探討f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【解析】（1）當a=1時，f（x）=ex+x2–x，則=ex+2x–1．故當x∈（–∞，0）時，<0；當x∈（0，+∞）時，>0．所以f（x）在（–∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．（2）等價于.設函數，則.（i）若2a+1≤0，即，則當x∈（0，2）時，>0.所以g（x）在（0，2）單調遞增，而g（0）=1，故當x∈（0，2）時，g（x）>1，不合題意.（ii）若0<2a+1<2，即，則當x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)時，g'(x)<0；當x∈(2a+1，2)時，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)單調遞減，在(2a+1，2)單調遞增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1當且僅當g(2)=(7?4a)e?2≤1，即a≥.所以當時，g(x)≤1.（iii）若2a+1≥2，即，則g(x)≤.由于，故由（ii）可得≤1.故當時，g(x)≤1.綜上，a的取值范圍是.29、（2024·浙江溫州中學3月高考模擬）已知.（1）求的單調區間；（2）當時，求證：對于，恒成立；（3）若存在，使得當時，恒有成立，試求的取值范圍.【解析】（1），當時，.解得．當時，解得．所以單調減區間為，單調增區間為．（2）設，當時，由題意，當時，恒成立．，∴當時，恒成立，單調遞減．又，∴當時，恒成立，即．∴對于，恒成立．（3）因為．由（2）知，當時，恒成立，即對于，，不存在滿意條件的；當時，對于，，此時．∴，即恒成立，不存在滿意條件的；當時，令，可