數字周期：

【經典例題1】觀察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,

解答下面問題：2+22+23+24+...+22015-1的末位數字是（）

A.OB.3C.4D.8

【解析】B

練習1-1觀察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,,

根據其中的規律可得70+7'+72+...+72019的結果的個位數字是（）

A.0B.1C.7D.8

【解析】A

練習1-2觀察下列等才=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,■■■.

解答下列問題：3+32+33+3”+...+3202。的末尾數字是（）

A.OB.2C.3D.9

【解析】D

【經典例題2】如圖，點。為正六邊形的中心，P,Q分別從點A（l,0）同時出發，

沿正六邊形的邊按圖示方向運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點。的速

度為每秒2個單位長度，則第2020次相遇地點的坐標為（）

A.（一2，2）B.（1,0）C.（一2，-2JD.（-1,0）

【解析】由題意可得：OA^OB=AB=1

正六邊形的周長為1x6=6

???點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度

二第一次相遇的時間為6+（1+2）=2S

此時點P的路程為1x2=2,點P，Q第一次相遇的地點為點C

依次類推，得出：

點P,Q第二次相遇的地點為點E,

點P,Q第三次相遇的地點為點A,

點P,Q第四次相遇的地點為點C,

???點P，Q兩點的相遇是3次一循環,

2020=3x673+1

.?.第2020次相遇的地點為點C

...OC=OA=1,4coM=30°

/.CM==—OC=—

2222

c(-g,

故選：A.

練習2-1如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為4-2,0),8(1,

2),C(l,-2).已知M—1，0),作點N關于點A的對稱點M,點、Ni關于點B

的對稱點M，點N2關于點C的對稱點點M關于點A的對稱點M,點M

關于點6的對稱點M，……，依此類推，則點心020的坐標為

［解析］(T,8)

練習2-2如圖，已知菱形ABC。的頂點為4（一小，0）,ZDAB=60°,若動點P

從點A出發，沿A>B>C>D>A>B>…的路徑，在菱形的邊上

以每秒0.5個單位長度的速度移動，則第2020秒時，點P的坐標為

［解析］（0，-1）

練習2-3已知：如圖，等邊三角形0A8的邊長為2小，邊OA在x軸正半軸上,

現將等邊三角形OAB繞點。逆時針旋轉，每次旋轉60°,則第2020次旋轉結束

后，等邊三角形中心的坐標為.

口I3

1-11_____

［解析］（0，—2）

練習2-4如圖，將正六邊形ABCDEF放置在平面直角坐標系內，A（-2,0）,點3在

原點，把正六邊形ABCDE/沿x軸正半軸作無滑動的連密翻轉，每次翻轉60。,

經過2020次翻轉之后，點。的坐標是

\.（4038,0）B.（4038,243）

C.14037幣）D.（4040,2不）

【解析】B

練習2-5如圖，在平面直角坐標系中，四邊形Q4BC關于x軸對稱，

ZAOC=60°,ZABC=90。，=2,將四邊形OABC繞點。逆時針旋轉90°后得到

四邊形OA^iG，依此方式，繞點。連續旋轉71次得到四邊形。4田7c71，那么點

瑪|的坐標是（）

A.（0,V3+l）B.（3,0）C.e6-1）D.（-3,0）

【解析】連接AC交x軸于F點，

已知NABC=90°,ZAOC=60°,OA=2

???四邊形OABC關于％軸對稱，

...AC垂直于OB,ZCBO=ZABO=45°,FB=AF,ZAOF=ZCOF=30°,

.?.OF=G，FB=1,

，。8=百+1

???將四邊形。鉆。繞點。逆時針旋轉90。，旋轉71次

四邊形。鉆C最后會旋轉到y軸的負半軸上，

?,?點勒的坐標是僅，-6-1）.

練習2-6如圖，矩形04BC的頂點。（0,0）,8（-2,2g）,若矩形繞點。

逆時針旋轉，每秒旋轉60。,則第2017秒時，矩形的對角線交點D的坐標為（）

A.(-1,G)B.(-1,-3)C.(-2,0)D.(1,-3)

【解析】???四邊形OABC是矩形，AC、OB是對角線

BD=OD

?矩形0ABe的頂點。(0,0),5(-2,26),

：.D(-1,6),

過。作軸于點E,

,：D(-1,百)，。門"由

,DE=6,OE=I,

tanZZ)OE=—=6,

OE

...NOOE=60。，

V60°x2017-?360°=336-,

6

；-X360°=60°,

6

又.旋轉336周時，。點剛好回到起始位置，

第2017秒時，矩形繞點。逆時針旋轉3369周，此時。點在x軸負半軸上,

6

?/DO=ylOE2+DE2=可=2

,此時。點坐標為（-2,0）,

練習2-7如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°

后得到正方形依此方式，繞點O連續旋轉2018次得到正方形

04201832018c2018,如果點A的坐標為（1,0）,那么點歷018的坐標為（）

A.(1,1)B.(0,應)C.(_a,0)D.(-1,1)

【解析】???四邊形0ABe是正方形，04=1,

：.B(1,1),

連接OB,在RtXOAB中，由勾股定理得：OB=夜，

由旋轉性質得：OB=OBI=OB2=OB3=,

ABi(0,夜)，&(-1,1),83(-夜，0),...?

360+45=8,每8次一循環，20184-8=252...2,

，點&018的坐標為(7,1).

故答案為：D.

練習2-8將直角三角形紙板0A8按如圖所示方式放置在平面直角坐標系中，OB

在X軸上，0B=4,0A=26將三角形紙板繞原點。逆時針旋轉，每秒旋轉

60。，則第2019秒時，點A的對應點4的坐標為()

(3,-百)C.(-3,73)D.(0,2

叢)

【解析】360-60=6,

即每6秒一循環，

2019-6=336...3,

即2019秒時，點A與其對應點4關于原點O對稱，

?.?04=4,ZAOB=30°,

可得：43,G),

.?.第2019秒時，點A的對應點4的坐標為(-3,一6),

故答案為：A.

練習2-9如圖，在AQ鉆中，頂點。(0,0),A(-3,4),B(3,4),將AOAB與正方

形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉,每次旋轉90°，則第70次旋轉結束時,

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3))D.(3,-10)

【解析】???A(-3,4),5(3,4),

AB=3+3=6,

???四邊形ABCD為正方形，

AD-AB-6,

.,.0(—3,10),

?.?70=4x17+2,

...每4次一個循環，第70次旋轉結束時，相當于AOAB與正方形ABCD組成的

圖形繞點O順時針旋轉2次，每次旋轉90°,

...點D的坐標為(3,-10).

故選D.

練習2-10如圖,在平面直角坐標系中，將正方形0ABe繞點。逆時針旋轉45°

后得到正方形OAiBICl,稱為一次旋轉，依此方式，……,繞點。連續旋轉2

019次得到正方形QA2019B2019c2019,如果點A的坐標為(1,0),那么點

82019的坐標為.

【解析】由旋轉及正方形性質可得：

51(0,a),&(-1,1),&(一及,0),&(-1,-1),85(0,一⑸,氏(1,

T),&(夜，0),……

，360+45=8,

2019-8=252....3,

二點&019落在X軸負半軸上,

即民019（—V2,0）,

故答案為：（一下,0）.

練習2-11平面直角坐標系中，菱形ABC。如圖所示，Q4=3,點。在線段

的垂直平分線上，若菱形A8CD繞點O逆時針旋轉，旋轉速度為每秒45。，則第

70秒時點。的對應坐標為（）

A.(20,3)B.(-273,-3)C.(3,-2@D.卜3,2⑹

?四邊形A8CO是菱形,

?AB=AD9

?點D在線段AB的垂直平分線上,

?AD=BD，

?43=4）=,即△A3。為等邊三角形,

.ZDAB=ZABO=^)°,

在RtAAOB中,

nA

Vsin60°=—,

AB

AB=AD=―—=—T=-=2-\/3

，sin60°yj3,

2

?.?360+45=8（秒），70+8=8……6,

45°X6=270°,

...第70秒時點。的位置與第6秒時點。的位置相同，設點。此時的對應點為

連接OD,ED',

ZDOD'=360°-270°=90°,

二易證:△AODQAED,O,

：.D'E=OA=3,OE=DA=2yfi,

：.。'（3,-2月，即第70秒時點D的對應坐標為（3,-2月）.

二故選：C.

練習2-12如圖，點3為*軸上一點，以。8為邊作等腰三角形。區4,且

45=08=2,ZAB（9=150°.現將△084繞點。逆時針旋轉，第1次旋轉30。,

第2次旋轉60。，第3次旋轉30。，第4次旋轉60。……依此進行下去，則第60

次旋轉結束后點A的坐標為（）

A.(2+>/^,-1)B.卜2-61)C.^0,—\/6—>/2jD.(>/6+V2,oj

【解析】如圖，由題意可得：△084旋轉8次回到原位置，

過4作49,08于2

\AB=OB^2,430=150°,

：.ZAOB=ZBAO=\50,

...ZAB。=30°,

AD=1,BD=V22-l2=g,

OD=2+\[?>,

A（2+6,l）,

由60+8=7…4,

所以，與A4重合，

而4與A關于原點成中心對稱,

，》（-2-6

練習2-13已知：如圖，等邊三角形。出的邊長為2百，邊Q4在x軸正半軸上，

現將等邊三角形。鉆繞點。逆時針旋轉,每次旋轉60。,則第2020次旋轉結束后,

等邊三角形中心的坐標為（）

A.B.(0,-1)C.\/3,—ljD.(0,-2)

【解析】過點B作BD±OA于D,過點0作OFLAB于F,BD與OF相交于點

E,則點E是等邊三角形的中心.

???等邊三角形OAB的邊長為26

/.0D=6，NAOF=30°

.?.DE=tan30°OD

OE=2

依題意可知：OE每次逆時針旋轉60。，那么每6次又回到原位置.

2020+6=336…4

￡4（0,-2）

故選：D

練習2-14如圖，將邊長為1的正方形Q4PB沿x軸正方向連續翻轉8次，點P依

次落在點片，鳥，鳥，外…，則點尸9的橫坐標是（）

A.5B.6C.7D.9

y

I4

/P---BC----P■=-r-*-P-----**

''、；''、；'、、；'、、;

XI\I\IX?

\?\|X?\????

_____________:「Ss-丫

練習2-15如圖，矩形A3CD的兩邊BC、8分別在x軸、V軸上，點C與原點重

合,點A（-l,2）,將矩形ABCD沿x軸向右翻滾,經過一次翻滾點A對應點記為A,,

經過第二次翻滾點A對應點記為為…以次類推，經過2020次翻滾后點A對應點

A2020的坐標為（）

A;------Dr---------

-8（Q-0''x

A.（2524,2）B,（2524,1）

C.（3029,2）D.（3029,1）

【解析】觀察圖形可得經過4次翻滾后點A對應點一循環，

2020+4=505,

?.?點A（-1,2）,矩形的周長為：2（1+2）=6,

,經過2020次翻滾后點A對應點A2020的坐標為（6x505-1,2）,即（3029,2）.

故選C.

練習2-16如圖所示，矩形43CO的兩邊BC、CD分別在x軸、V軸上，點。與

原點重合，點A的坐標為G1,2）,將矩形ABCD沿x軸向右翻滾，經過第1次翻

滾點A對應點記為4,經過第2次翻滾點A對應點記為人……依此類推，經過

第5次翻滾后點A對應點記為人的坐標為（）

K

A,—D……

B0(C)X

A.(5,2)B.(6,0)C.(8,1)D.(8,0)

【解析】如下圖所示:

小

AL

/I：1；1A5

一——:,***?r---

f1__。1bWAi■I_____0、X

由題意可得上圖，經過5次翻滾后點A對應點A5的坐標對應上圖中的坐標，故

A5的坐標為：（8,1）.

故選：C.

練習2-17如圖，線段。4,08分別從與％軸和丁軸重合的位置出發，繞著原點。

順時針轉動，已知04每秒轉動45。，08的轉動速度是每秒轉動30。，則第2020

秒時，與0B之間的夾角的度數為（）

B'

-o'AX

A.90°B.145°C.150°D.165°

［解析】第2020秒時，線段OA旋轉度數=2020x45°=909000,

線段OB旋轉度數=2020x30。=60600。，

9090()°^360°=252……180°,60600°^360°=168……120°,

此時OA、OB位置如圖所示，

OA與OB之間的夾角度數=270°-120。=150°.

故選：C.

練習2-18在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形。45c繞點。順時針旋轉

45。后得到正方形04AG，依此方式，繞點。連續旋轉202()次得到正方形

%02o3202oGo20,那么點A2020的坐標是()

''I22)L22J

【解析】???四邊形OABC是正方形，且OA=1,

AA(0,1),

???將正方形OABC繞點O順時針旋轉45。后得到正方形OAIBIC”

發現是8次一循環，所以2020+8=252…余4,

故點AO2O~A,即4()20坐標是(°，-1),

故選:A.

【經典例題31在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到的指令是：從原點。

出發，按“向上一向右一向下一向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長

度，其移動路線如圖所示，第一次移動到點4,第二次移動到點4……第〃次

移動到點4,則點A2019的坐標是()

A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)

y

(4iA2AiAtAg

OJ4JA4AyAgA12X

【解析】4(0,1),A2(1,1),A3(1,0),4(2,0),4(2,1),4

(3,1)，…，

由智能機器人移動的規律看出：每移動4次將在x軸上向右前進2個單位長度,

V2019-4=504...3,

；?完成504次移動后，機器人回到x軸，離坐標原點的距離為：504X2=1008個

單位長度，

接下來機器人還需繼續按規律移動3次，再次到達x軸，水平前進了1個單位長

度，此時離坐標原點的距離為：1008+1=1009個單位長度，

???A2019的坐標是(1009,0).

故選C

練習3-1如圖，連接在一起的兩個正方形的邊長都為1cm,一個微型機器人由點

A開始按ABCDE/CG4…的順序沿正方形的邊循環移動，當微型機器人移動了

2021c加時，它停在點.

GD

【解析】???兩個正方形的邊長都為1cm,

，從A開始移動%cm后回到點A,

,.?2021+8=252…5,

移動2021cm時停在點尸處.

故答案為：F.

練習3-2如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2,1),8(-1,1),C(-

1,-3),。(2,-3),點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿4-

8-C-。-A…的規律在圖邊形A8CD的邊上循環運動，則第2019秒時點尸的

A.(1,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(2,

-1)

【解析】由點A(2,1),B(-1,1),C(-1,-3),D(2,-3),

可知ABCD是長方形，

，AB=CD=3,CB=AD=4,

點P從點A出發沿著A-B-C-D回到點A所走路程是：3+3+4+4=14,

?.?2019+14=144余3,

.?.第2019秒時P點在B處，

.,.P(-1,1)

故選C.

練習3-3根據下圖中箭頭指向的規律，從2018到2019再到2020,箭頭的方向是

()

練習3-4如圖所示，一動點從半徑為2的。。上的A0點出發，沿著射線A0。

方向運動到上的點A］處，再向左沿著與射線A1。夾角為60。的方向運動

到。。上的點A2處；接著又從A2點出發，沿著射線A2O方向運動到。。上

的點A3處，再向左沿著與射線A3。夾角為60。的方向運動到。。上的點A4

處；……按此規律運動到點A2017處，則點A2017與點A0間的距離是一

【解析】由圖分析可知，4點與A)點重合，

2017-6=336.......1,

即點A2017與4重合，

的半徑為2,

...點A2017與點A0間的距離是4.

練習3-5如圖，動點P從(0,3)出發，沿如圖所示的方向(看圖中的編號)運動，

每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第2020次碰到矩

形的邊時，點P的坐標為()

A.(1,4)B.(5,0)C.(6,4)D.(8,3)

y

練習3-6如圖I,彈性小球從點P(0,1)出發，沿所示方向運動，每當小球碰到正

方形。ABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到正方形

的邊時的點為PG2,0),第2次碰到正方形的邊時的點為P2,……，第〃次

碰到正方形的邊時的點為Pn,則點「2019的坐標是()

A.(0,1)B.(-4,1)C.(-2,0)D.(0,3)

【解析】根據圖象可得：Pi(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,l),

PI(-2,0)

2019-6=336....3,

即P2019(0,3),

故答案為：D.

練習3-7如下面的圖，在平面直角坐標系中，將4"O繞點A順時針旋轉到4

AB/C/的位置，點8、O分別落在坊、G處，點為在x軸上；再將』AB/G繞著點為

順時針旋轉到4A/BQ2的位置，點。2在x軸上；再將/A/B/G繞著點C2順時針旋

轉到4位2c2的位置，點為在x軸上；…；依次進行下去.若點哈以0,4),則

^2020的坐標為.

練習3-8如圖，在平面直角坐標系中，A4O3的頂點A為。1),8為(1,0).第1次

變換：先將AAOB關于x軸對稱，再向右平移1個單位長度，得到冉；第2次

變換：先將AA。聲關于x軸對稱，再向右平移1個單位長度，得到兇2。2員

依此規律，得到△4020°2020/nt).則點4()20的坐標是()

A.(2019,-1)B.(2020,-1)C.(4040,1)D.(2020,1)

【解析】VA(0,1),B(l,0),

，OA=1,OB=1,

/.OiAi=l,A,(1,-1),

OBi=OB+BBi=2,

:.A?(2,1),同理可得A3(3,-1)……,

An(n,(-1)n)

所以A2020(2020,1),

故選：D

練習3-9如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動并且

按一定規律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形.第一次滾動后點

4(0,2)變換到點4(6,0),得到等腰直角三角形②；第二次滾動后點4變換到

點4(6,0),得到等腰直角三角形③；第三次滾動后點A3變換到點4(10,46)，

得到等腰直角三角形④；第四次滾動后點4變換到點A5(10+12，L0),得到等

腰直角三角形⑤；依此規律…，則第20三個等腰直角三角形的面積是.22。2。.

練習3-10如圖，在平面直角坐標系中，將△AB。繞點A順指針旋轉到△AeG

的位置，點8、。分別落在點5、G處，點自在x軸上，再將△ABiG繞點囪

順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點。2在4軸上，將443c2繞點Q順時針旋轉

到△A282c2的位置，點A2在光軸上，依次進行下去...，若點A6，0),B(0,

'：OA=-,。3=4,ZAOB=9Q°,

3

13

在放△BO4中，由勾股定理得：AB=y,

可得：Bi(10,4),84(20,4),&(30,4),...

.,?點B2016橫坐標為10080.

故答案為：D.

練習3-11如圖，在直角坐標系中，已知點A(-3,0),B(0,4),對AOAB

連續作旋轉變換，依次得到△1,△2,△3,A4,則△2019的直角頂點的

【解析】???點A(-3,0)>B(0,4),

由勾股定理得：AB=5,

由圖可知，三個三角形為一個循環，經歷一次循環前進的水平距離為：12,

2019+3=673,直角頂點在x軸上，

673x12=8076,

...△2019的直角頂點的坐標為(8076,0).

故答案為：A.

【經典例題4】如圖，一段拋物線>=-x(x-1)(OWxW/)記為啊，它與x軸的

交點為。，4,頂點為P/；將四繞點為旋轉180。得到加2,交x軸于點為42,頂點

為舄；將加2繞點A2旋轉180。得到啊，交X軸于點為為，頂點為舄；……，如此

進行下去，直至到叫2,頂點為匕，則頂點小的坐標為.

練習4-1在平面直角坐標系中，若干個半徑為1個單位長度，圓心角為60。的扇

形組成一條連續的曲線，點尸從原點O出發，沿這條曲線向右上下起伏運動，

點在直線上的速度為1個單位長度/秒，點在弧線上的速度為？個單位長度/秒，

A.（2021,百）B.喈1,乎）

C.（2021,2^）D.（2021,0）

22

【解析】設第〃秒運動到P”（〃為自然數）點，

觀察，發現規律：

P1（二，@）,22（1,0）,23（2，-立），24（2,0）,05（2,立），…，

222222

尸4"+1（一,），24"+2（—>0），P4n+3（一，-——），尸4"+4（一,0），

222222

V2021=4x505+l,

故選：B.

練習4-2如圖，函數尸「,一?￡,二?的圖象記為C1,它與龍軸交于點

-2x+8（2<x<4）

。和點Al,將Cl繞點Al選擇180。得。,交x軸于點A2……，如此進行下去，

若點尸（103,加）在圖象上，則根的值是（）

A.-2B.2C.-3D.4

【解析】由圖可知：橫坐標每間隔8個單位，函數值相同，即函數圖象重復

周期為8,103-8=12.......5,當45時，y=~2,

BfJm=—2,

故答案為：A.

【經典例題4】如圖，已知點Ai的坐標為(0,1),點A2在x軸的正半軸上，且NAN2。

=30°,過點4作A2A3L4p42,交y軸于點4；過點4作A3A4，AM3，交x軸

于點A4；過點A4作A4A5_LA3A4,交y軸于點A5；.......；按此規律進行下去，則

點A2021的坐標為()

A.(0,31011)B.(-31011,0)C.(0,31010)D.(-31010,0)

【解析】通過解直角三角形可得出點A2的坐標，同理可得出點A3,A4,A5,A6,

4,…的坐標，

根據坐標的變化可得出變化規律"點4"+1的坐標為(0,32?)(?為正整數)”，

再結合2021=505x4+1即可得出點A2021的坐標，此題得解.

所以本題選C.

練習4-1如圖，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與x軸或y軸平行.從

內到外，它們的邊長依次為2,4,6,8,頂點依次用Ai,Az,A3,A4,...

表示，則頂點A55的坐標是()

A.(13,13)B.(-13,-13)C.(14,14)D.(-14,-14)

yk

練習4-2如圖，在一單位為1的方格紙上，的44，AA3A4A，A&44…，都

是斜邊在X軸上，斜邊長分別為2,4,6,…的等腰直角三角形，若AAA24的頂

點坐標分別為4(2,0),4(1,-1),4(0,0),則依圖中所示規律，4020的坐標為

A(1010,0)B.(1012,0)C.(2,1012)D.(2,1010)

【解析】???各三角形都是等腰直角三角形，

，直角頂點的縱坐標的長度為斜邊的一半，

A2(1,-1)，A4(2,2),A6(1,-3),A8(2,4),A10(1,-5),A12(2,

6),...,

?.?2020+4=505,

二點A2020在第一象限，橫坐標是2,縱坐標是2020+2=1010,

???A2020的坐標為(2,1010).

故選：D.

練習4-3如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形。4兇2的直角邊04在y

軸的正半軸上，且QAI=AIA2=1,以04為直角邊作第二個等腰直角三角形QAM3,

以為直角邊作第三個等腰直角三角形QAM4,…，依此規律，得到等腰直角

三角形0^2()17^2018＞則點^2017的坐標為

【解析】由題意知：4(0,1),4(1,1),。42=4必3=上，043=2,

???4(2,0),

同理，AQ—2),4(0,—4),4(一4,一4),4(一8,0),4(一8,8),4(0,16)……

每隔8個點恰好處于同一坐標系或象限內，2017+8=252……1,

即點Azo”在y軸正半軸上，橫坐標為0,

各點縱坐標的絕對值為：2。,2。⑵⑵2,22,23,23,……

2017-2=1008...1,

可得點A20I7的縱坐標為：2回8,

故答案為(0,21。。8).

練習4-4如圖，邊長為1的菱形ABCO中，ZDAB=60°.連接對角線AC,以AC

為邊作第二個菱形ACGOi,使NOiAC=60。；連接AG,再以AG為邊作第三個

菱形AGQ02,使N￡MG=60。；…，按此規律所作的第〃個菱形的邊長

為

【解析】???四邊形ABC。是菱形ZDAB=60°,

：.AB=BC=1,NACB=NC4B=30。,

:.AC=坦AB=M,

同理可得：ACi=j3AC=(6)2,AC三幣AC\=30=(Q)3,……

第〃個菱形的邊長為：(由廣，

故答案為：(石廣.

練習4-5如圖，在一個單位為1的方格紙上，2\44243,44以以5,4454/17,...,

是斜邊在%軸上、斜邊長分別為2,4,6,…的等腰直角三角形.若△4A2A3

的頂點坐標分別為4(2,0),A2(l,-1),4(0,0),則依圖中所示規律，A2019的

橫坐標為()

【解析】觀察圖形可知，奇數點在x軸上，偶數點在象限內，

所以A2019在x軸上，

Ai,4,49,43……，4"_3在x正半軸，4〃-3=2019,“=505.5,所以A2019

不在x正半軸上；

A3(0,0),\i(-2,0),Ai(-4,0),A15(-8,0)...,

3=4x0+3,7=4xl+3,11=4x2+3,15=4x3+3,....,2019=4x504+3,

/.-2x504=-1008,

即A2019的坐標為(—1008,0),

故答案為：A.

練習4-6如圖所示,把多塊大小不同的30。角三角板,擺放在平面直角坐標系中，

第一塊三角板AOB的一條直角邊與x軸重合且點A的坐標為（2,0）,ZABO

=30°,第二塊三角板的斜邊BBi與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交x軸于點

Bi,第三塊三角板的斜邊B\B.與第二塊三角板的斜邊BB\垂直且交y軸于點&,

第四塊三角板斜邊以氏與第三塊三角板的斜邊以&垂直且交x軸于點按此

規律繼續下去，則線段052020的長為（）

A.2x(V3)2020B.2x(V3)2021C.(73)2020D.(?)2021

【解答】解：由題意可得，

*/OB=OA?tan60°=2x?=2?,

：.B(0,273)，

VOB]=6)B?tan60°=2>/3xV3=2x(^3)2>

：.Bi(-2x(V3)2,0),

V6)B2=OBi4an60o=2x(5/3)3,

：.B2(0,-2x(V3)3),

4

V<?B3=OB2*tan60°=2x(V3),

.?.&(2x(V3)4,0),

二線段O&02。的長為2x（?）2021

故選：B.

練習4-7如圖，一動點在第一象限及x軸、y軸上運動，且每秒移動一個單位長

度，在第1秒，它從原點運動到(0,1),然后接著按圖中箭頭所示方向運動[即(0,

0)—(0,1)一(1,1)-(1,0)一…],那么第35秒時該點的坐標是()

A.(5,1)B.(0,5)C.(5,0)D.(5,5)

/口=

'LJI____

【解析】C

練習4-8如圖，正方形ABCD的四個頂點均在坐標軸上，且A(-2,0),E(-3,0),

點尸從點A出發，在正方形ABCO的邊上沿上A-3-C-。-A的方向以每秒及

個單位長度的速度運動，在總的上方作等腰直角三角形且PE=EF,則

第2019秒時，點尸的坐標為()

A.(-2,4)B.(-2,2)C.(-4,2)D.(-4,4)

【解析】在正方形ABCD中，A點坐標(-2,0),

正方形ABCD邊長AB=2也，

又二?點P沿著A-B-C-D-A的方向，以每秒行個單位長度運動2019秒，

，點P所經過路程為20198，此時P點運動到BC中點，

...點P坐標為(1,1),點E坐標為G3,0),且APEF為等腰直角三角形，

???點F坐標為(-4,4),

故選：D.

練習4-9如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形。4A2的直角邊04在y軸

的正半軸上，且。4/=442=/,以。42作第二個等腰直角三角形OA2A3,以。A3作

第二個等腰直角三角形。43A4,……，依此規律，得到等腰直角三角形OA20"A2020,

則4020的坐標.

練習4-10如圖，四邊形ABC。是正方形，曲線D4囚…是由一段段90度

的弧組成的.其中：［