1/13.3.2簡單的線性規劃問題(第2課時)(名師：陳庚生)【核心素養】通過學習簡單的線性規劃問題，提升學生的數學抽象、數學建模與數據處理的能力．【學習目標】理解線性規劃問題中的某些幾何意義，進而解決相應的非線性問題及含參問題．【學習重點】簡單的二元線性規劃問題．【學習難點】準確而快速的得到線性規劃可行域，并進行最優解的求解．二、教學設計（一）課前設計1．預習任務任務1思考：非線性目標函數如何求解？含參問題如何解決？2．預習自測1.若不等式組表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是()A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)【知識點：簡單的線性規劃；數學思想;數形結合】解：C畫出可行域，知當直線y＝a在x－y＋5＝0與y軸的交點(0,5)和x－y＋5＝0與x＝2的交點(2,7)之間移動時平面區域是三角形．故5≤a<7.2.已知變量滿足約束條件若目標函數的最大值為1，則.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想；數形結合】解：33.已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A．B．C．1D．2【知識點：簡單的線性規劃；數學思想;數形結合】解：A根據約束條件畫出可行域，如圖，由圖可知當直線z＝2x＋y經過點B時，z最小，由解得所以zmin＝2×1－2a＝1，解得a＝.故選A.（二）課堂設計1．知識回顧圖解法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區域和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)平移——將l平行移動，以確定最優解的對應點的位置；(3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優解)，代入目標函數，即可求出最值．2．課堂講解一、直線的斜率型例1.已知實數x、y滿足不等式組,求函數的值域.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：所給的不等式組表示圓的右半圓(含邊界)，-2-22Oxy（-1，-3）-2可理解為過定點，斜率為的直線族．則問題的幾何意義為：求過半圓域上任一點與點的直線斜率的最大、最小值．由圖知，過點和點的直線斜率最大，．過點所作半圓的切線的斜率最?。O切點為，則過B點的切線方程為．又B在半圓周上，P在切線上，則有解得因此.綜上可知函數的值域為.練習1：設實數滿足，則的最大值是__________.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：畫出不等式組所確定的三角形區域ABC（如圖2），表示兩點確定的直線的斜率，求z的最大值，即求可行域內的點與原點連線的斜率的最大值．由圖2可以看出直線OP的斜率最大，故P為與的交點，即A點．∴．故答案為．注：解決本題的關鍵是理解目標函數的幾何意義，當然本題也可設，則，即為求的斜率的最大值．由圖可知，過點A時，t最大．代入，求出，即得到的最大值是．練習2：若實數x，y滿足則不等式組表示區域的面積為________，的取值范圍是________．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：如圖所示，不等式組表示區域面積為×1×3＝，理解為區域上的點P(x，y)與點Q(1，－2)連線所在直線斜率的變化范圍，kAQ＝＝1，kOQ＝＝－2，結合圖形分析知的取值范圍為(－∞，－2]∪[1，＋∞)．二、平面內兩點間的距離型（或距離的平方型）例2.已知實數x、y滿足，則的最值為________.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：目標函數，其含義是點(2,2)與可行域內的點的距離的平方.由實數x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示：可行域為圖中內部（包括邊界），易求B（-2，-1），結合圖形知，點(2,2)到點B的距離為其到可行域內點的最大值，；點(2,2)到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內點的最小值，.例3.已知實數x、y滿足的最小值.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：目標函數，其含義是點(-2,1)與可行域內的點的最小距離的平方減5.由實數x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示（直線右上方）：點(-2,1)到可行域內的點的最小距離為其到直線2x+y=1的距離，由點到直線的距離公式可求得，故練習3.已知，求的最小值．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：作出可行域如圖3，并求出頂點的坐標A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域內任一點（x，y）到定點M（0，5）的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足Ｎ在線段上，故z的最小值是．注：充分理解目標函數的幾何意義，如兩點間的距離（或平方）、點到直線的距離等．三．變換問題研究目標函數（含參問題）例4.已知，且的最大值是最小值的3倍，則a等于（）A．或3B．C．或2D．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：求解有關線性規劃的最大值和最小值問題，準確畫圖找到可行域是關鍵.如圖所示，點和B點分別取得最小值和最大值.由，由得B(1，1).∴.由題意得故答案B.四．求代數式范圍問題例5.已知函數f(x)＝ax2－c滿足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：這是一類流傳很廣的題目，其常見的錯誤解法是由f(1)、f(2)的范圍，去求a，c的范圍，連續多次運用同向不等式相加這一性質，導致范圍擴大．實際上，可以看做關于a、c的線性規劃問題．由－4≤f(1)≤－1，得－4≤a－c≤－1.問題轉化為在約束條件(－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5)下目標函數z＝9a－c的最優解，由圖可知，在A，解方程組及得A(0,1)，C(3,7)．∴zmax＝9×3－7＝20，zmin＝9×0－1＝－1.∴－1≤f(3)≤20.依題設條件，將問題視作典范的線性規劃問題，數形結合，簡化了解題過程．練習3:已知求z＝4x＋y的最值．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】方法一：仿例5.方法二：∵4x＋y＝(x－y)＋(x＋y)，又1≤x－y≤2,2≤x＋y≤4，∴≤(x－y)＋(x＋y)≤13，即z∈[，13]．所以z的最大值為13，最小值為.3．課堂總結【知識梳理】1．求解目標函數不是直線形式的最值的思維程序是：2．常見代數式的幾何意義主要有以下幾點：(1)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；表示點(x，y)與點(a，b)的距離．(2)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．4．隨堂檢測1.已知不等式組，則目標函數z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．4【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：A2.若滿足約束條件，QUOTEx-1?0,x-y≤0,x+y-4≤0,則QUOTExy的最大值為（）A．1B．C．3D．4【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：C3.若x，y滿足且z＝y－x的最小值為－4，則k的值為()A．2B．－2C．D．－【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：D4.實數滿足，若恒成立，則實數的取值范圍是.A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：A5.已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A．B．C．1D．2【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：A根據約束條件畫出可行域，如圖，由圖可知當直線z＝2x＋y經過點B時，z最小，由解得所以zmin＝2×1－2a＝1，解得a＝.故選A.（三）課后作業基礎型自主突破1.已知變量x,y滿足約束條件則的取值范圍是()A．B．C．D．(3,6]【知識點：簡單的線性規劃，直線的斜率；數學思想：數形結合】解：A提示：可理解為可行域中一點到原點的直線的斜率2.已知滿足，的最大值為，若正數滿足，則的最小值為（）A.3B.C.2D.【知識點：簡單的線性規劃，基本不等式；數學思想：數形結合】解：B3.若實數滿足約束條件，則目標函數的最大值為.【知識點：簡單的線性規劃，直線的斜率；數學思想：數形結合】解：4.已知變量滿足約束條件若目標函數的最大值為1，則.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：35.已知當取何值時，取得最大值是，最小值是.【知識點：簡單的線性規劃，兩點間距離公式；數學思想：數形結合】解：當x=2,y=3時，最大值為13；當x=45,y=25時，提示：可表示可行域內的點到原點距離的平方6.已知是坐標原點，點，若點為平面區域上的一個動點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規劃，向量的數量積；數學思想：數形結合】解：B提示：=-2x+y.能力型師生共研7．實數滿足，若恒成立，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：A8.在約束條件下，當時，目標函數的最大值的變化范圍是（）A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：D9.設滿足不等式組，若的最大值為，最小值為，則實數的取值范圍為()A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：B探究型多維突破11．已知點在由不等式確定的平面區域內，則點所在的平面區域面積是.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：412.定義，設實數，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合，函數思想】解：B由條件，當4x＋3y≥3x－y，即x＋2y≥0時，問題等價于在下求目標函數z＝4x＋y的值域，可得z∈[－7，10]，同理當x＋2y＜0時，z∈(－7，8]，綜上，z∈[－7，10]．自助餐1.已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A．B．C．1D．2【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：B由題意作出所表示的區域如圖陰影部分所示，作直線2x＋y＝1，因為直線2x＋y＝1與直線x＝1的交點坐標為(1，－1)，結合題意知直線y＝a(x－3)過點(1，－1)，代入得a＝，所以a＝.2.若實數x，y滿足不等式組且x＋y的最大值為9，則實數m＝()A．－2B．－1C．1D．2【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：C如圖，設x＋y＝9，顯然只有在x＋y＝9與直線2x－y－3＝0的交點處滿足要求，解得此時x＝4，y＝5，即點(4,5)在直線x－my＋1＝0上，代入得m＝1.3.若實數x、y滿足則的取值范圍是()A．(0,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)【知識點：簡單的線性規劃，直線的斜率；數學思想：數形結合】解：C在平面內作出x、y滿足的可行域，設P(x，y)為可行域內任一點，則直線PO的斜率kPO＝，由數形結合得，kPO>1，故的取值范圍是(1，＋∞).4.已知x、y滿足則的最值是()A．最大值是2，最小值是1B．最大值是1，最小值是0C．最大值是2，最小值是0D．有最大值無最小值【知識點：簡單的線性規劃，直線的斜率；數學思想：數形結合】解：C5．若不等式組所表示的平面區域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是A.B.C.D.【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：A6.實數x，y滿足若目標函數z＝x＋y取得最大值4，則實數a的值為()A．4B．3C．2D．【知識點：簡單的線性規劃；數學思想：數形結合】解：C作出可行域，由題意可知可行域為△ABC內部及邊界，y＝－x＋z，則z的幾何意義為直線在y軸上的截距，將目標函數平移可知當直線經過點A時，目標函數取得最大值4，此時A點坐標為(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a7.設變量x，y滿足若直線kx－y＋2＝0經過該可行域，則k的最大值為_______．【知識點：簡單的線性規劃；