1/12.3平面向量的基本定理及坐標2.3.2平面向量坐標運算及共線的坐標表示（李蓉）一、教學目標（一）核心素養(yǎng)通過這節(jié)課學習，在已掌握了平面向量基本定理的基礎上，將向量運算轉化為代數(shù)坐標運算，讓學生體會數(shù)形結合和化歸思想，認識其知識的價值和作用，培養(yǎng)學生探究能力和科學精神.（二）學習目標1.理解平面向量的坐標的概念.2.會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算.3.會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線.（三）學習重點1.平面向量的坐標運算.2.平面向量線性運算的坐標表示.3.平面向量共線的坐標形式，并能用公式解決問題.（四）學習難點1.向量的坐標表示的理解及運算的準確性.2.向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系.3.自主探究平面向量共線的坐標形式.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務（1）讀一讀：閱讀教材第96頁至第97頁例4之前的部分及98頁例6之前的部分，填空：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個相應坐標的和（差）.一個向量的坐標等于此向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標.設，其中，若共線，當且僅當存在實數(shù)，使得.（2）寫一寫:已知，，，，2.預習自測（1）已知點，向量=（）A. B.C.D.【答案】D（2）已知點，向量，則向量（）A.B.C.D.【答案】（3）已知向量，則（）A.B.C.D.【答案】D(二)課堂設計1.知識回顧（1）平面向量的坐標表示.分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得，把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，特別地，，，.（2）平面向量線性運算的結合律與分配律.設為實數(shù)，那么；（3）平面向量基本定理：若共線，其中，當且僅當存在唯一一個實數(shù)，使得.2.問題探究探究一探究平面向量的坐標運算已知，，你能得出，，的坐標嗎？●活動=1\*GB3①向量和與差及實數(shù)乘向量的坐標運算引導學生體會：知道向量坐標，就可以把向量用基底表示，進行運算后，把所得向量用基底表示，又可以得到相應坐標.即：由向量坐標的表示方法可得，再由向量的運算律有：即，按照相同的思路讓學生自主探究，同理可得：結論：兩個向量和與差的坐標分別于這兩個向量相應坐標的和（差）.你能得到的坐標嗎？已知和實數(shù)，則結論：實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.【設計意圖】運用向量線性運算及運算律讓學生自主探究平面向量的坐標運算，體會將向量運算轉化為代數(shù)坐標運算的轉化化歸思想.●活動=2\*GB3②向量的坐標計算公式：如圖，已知向量，且點，，求的坐標.＝－＝=（，）結論：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.你能在上圖中標出坐標為（，）的點嗎？【設計意圖】通過向量的坐標運算，及學生標出點后，建立了向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系，難點得到突破.探究二平面向量共線的坐標表示●活動①認識共線向量的特點請說出下列各組中兩向量的位置關系（共線或不共線），并指出它們的特點.=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶【設計意圖】通過學生觀察總結，既調動了學生的積極性，也為后面得出平面向量共線的坐標表示做好鋪墊.●活動②寫出與()共線的充要條件.思考:兩個向量共線的條件是什么？如何用坐標表示兩個共線向量設，，其中.由=得，消去，探究：（1）消去時不能兩式相除，∵，有可能為0，∵∴，中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成∵，有可能為0(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：//()【設計意圖】通過問題的形式調動學生積極思考、主動探索、歸納總結；從而得到用坐標表示兩個共線向量的結論；同時增加學生在學習中的獲取知識的快樂.活動③鞏固基礎，檢查反饋例1(1)已知平面向量，，則向量________.(2)設點N的坐標為(1,2)，點M的坐標為(3,2)，則向量的坐標為________.【知識點】向量的坐標運算【解題過程】(1)eq\f(1,2)(1,1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))－(eq\f(3,2)，－eq\f(3,2))＝(－1,2).(2)＝(3,2)－(1,2)＝(3－1,2－2)＝(2,0).【思路點撥】向量加減即相應橫、縱坐標相加減.【答案】(1)(－1,2).(2)(2,0).【設計意圖】通過平面向量運算的常規(guī)題，鞏固向量的坐標運算及點的坐標與向量坐標的關系，讓學生熟悉熟悉向量的坐標運算公式.同類訓練(1)若＝(－2,5)，B(1，－3)，則A點的坐標為________.(2)設，，則______.【知識點】向量的坐標運算及向量相等的條件【思路點撥】向量的加減即相應橫、縱坐標相加減.【解題過程】（1）設，則（2）【答案】例2已知，那么與是否共線？線段AB與線段AC是否共線？【知識點】共線向量的坐標運算.【數(shù)學思想】數(shù)學轉化化歸思想.【思路點撥】利用共線向量的坐標運算【解題過程】∵＝(2,4)，＝(3,6)，又∵2×6－3×4＝0，∴//.∴與共線.又∵直線AB與直線AC有公共點A，∴A、B、C三點共線，線段AB與線段AC也共線.【設計意圖】給出了判斷三點共線的一種常用方法，準確運用向量線性運算的坐標公式，，把平面幾何中判斷三點共線的方法進行移植.讓學生既鞏固新知，又感受到數(shù)學化歸思想的魅力，讓新知的掌握變得愉快而輕松.同類訓練(1)已知，若，則________.(2)若點在這兩點的連線上，則________.【知識點】共線向量的坐標運算及三點共線.【數(shù)學思想】數(shù)學轉化化歸思想.【思路點撥】利用共線向量的坐標運算及向量共線的條件【解題過程】(1)由有（2），由已知【答案】(1)－eq\f(1,3)或1(2)3活動4強化提升、靈活應用例3已知)，，，試用,表示.【知識點】平面向量基本定理及坐標運算【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】設＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則(10，－4)＝λ(3,1)＋μ(－2,3)＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ).依題設得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3λ－2μ＝10，,λ＋3μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝－2.))【思路點撥】關鍵是找到實數(shù)λ、μ，使得＝λ＋μ【答案】＝2-2.【設計意圖】把平面向量的基本定理與向量相等結合，既讓向量坐標運算公式得到落實，更對本章重點內容再次鞏固，從而更體現(xiàn)了向量坐標運算的優(yōu)越性.同類訓練已知，若.則λ、μ的值分別為()A.B.C.D.【知識點】平面向量基本定理及點坐標與向量坐標的關系【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】由,,則依題解得：解得：【思路點撥】先用點坐標求出相應向量，在利用向量相等的坐標表示建立方程組.【答案】C例4如圖，已知平面上三點坐標分別為A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求點D的坐標，使得這四個點構成平行四邊形的四個頂點.【知識點】平面向量坐標運算及向量相等.【數(shù)學思想】數(shù)形結合與分類討論的數(shù)學思想【思路點撥】結合圖形對D點的位置進行分類討論，再利用向量相等的條件建立方程組求解.【解題過程】(1)以AC為對角線作平行四邊形ABCD1，設頂點D1的坐標為(x1，y1).∵＝(1,2)，＝(3－x1,4－y1)，由＝，得(1,2)＝(3－x1,4－y1).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3－x1，,2＝4－y1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2，,y1＝2.))∴頂點D1坐標為(2,2).(2)以BC為對角線作平行四邊形ACD2B，設頂點D2(x2，y2).∵＝(5,3)，＝(x2＋1，y2－3)，由＝，得(5,3)＝(x2＋1，y2－3).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝x2＋1，,3＝y(tǒng)2－3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4，,y2＝6.))∴頂點D2的坐標為(4,6).(3)以AB為對角線作平行四邊形D3ACB，設頂點D3(x3，y3)，則由＝，可解得D3(－6,0).【答案】D點坐標為(2,2)或(4,6)或(－6,0).【設計意圖】仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算，該題為課本例題的變式題，此題未指出頂點的順序怎樣，故需要討論.解題過程中既有方程的思想，關鍵是充分利用圖形中各線段的位置關系，數(shù)形結合的思考，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.3.課堂總結知識梳理（1）運用向量線性運算的交換律，結合律，分配律，推導兩個向量和的坐標，差的坐標，以及數(shù)乘的坐標運算.（2）把向量共線的條件轉化為坐標表示，運用向量相等的條件推導出向量共線的坐標表示重難點歸納兩個向量和的坐標，差的坐標，以及數(shù)乘的坐標運算是重點.向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系與區(qū)別（易混點）用點的坐標表示向量和向量差的坐標運算的計算順序問題（易錯點）（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1.若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝()A.B.C.(6,10) D.【知識點】向量的線性運算及坐標運算【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】由＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4).【思路點撥】根據(jù)＝＋可得.【答案】A2.已知，，，，其中的共線向量有()A.和；和 B.和；和C.和；和 D.以上都正確【知識點】向量共線的判斷【解題過程】因為中滿足，所以，同理可得【思路點撥】利用向量共線的坐標表示的等積式形式直接判斷，也可利用向量共線的充要條件進行判斷.【答案】C3.已知A(3，y)，B(－5,2)，C(6，－9)三點共線，則y＝()A.6B.-6C.5D.-5【知識點】向量的坐標計算公式及向量共線的條件應用【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】因為,由題意得【思路點撥】利用向量共線的坐標表示的等積式形式直接判斷.【答案】B4.已知＝(3,2)，＝(2，－1)，若λ＋與＋λ(λ∈R)平行，求λ=()A.1B.-1C.0D.【知識點】向量共線的坐標表示【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】λ＋＝(3λ＋2,2λ－1)，＋＝(3＋2λ，2－λ).∵λ＋與＋λ(λ∈R)平行，∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得λ＝±1.【思路點撥】利用向量共線的坐標表示的等積式形式即可求解.【答案】D5.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝eq\f(1,2)，則P點的坐標（)A.(－8,1)B.(－1，－eq\f(3,2))C.(1,eq\f(3,2))D.(8，－1)【知識點】向量的坐標計算公式及向量相等【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】設P點的坐標為(x，y).則＝(x，y)－(3，－2)＝(x－3，y＋2)，＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1).∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－8,1)＝(－4，eq\f(1,2)).又＝eq\f(1,2)，∴(x－3，y＋2)＝(－4，eq\f(1,2)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))【思路點撥】利用向量的坐標計算公式及向量相等建立方程組求解.【答案】B能力型師生共研6.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4【知識點】向量的坐標表示及向量共線的條件應用【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】因為,由題意得，再用答案檢驗該式.【思路點撥】利用向量共線的坐標表示的等積式形式直接判斷或把答案代入題目檢驗向量共線條件.【答案】B.7.已知平面直角坐標系內的兩個向量，，且平面內的任一向量都可以唯一的表示成（為實數(shù)），則的取值范圍是（）A.B.C.D.【知識點】平面向量基本定理及向量不共線【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】平面內的任一向量都可以唯一的表示成（為實數(shù)），則一定不共線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選D.【思路點撥】利用向量共線的坐標表示的等積式形式的否定建立不等式.【答案】D探究型多維突破8.已知點A(2,0)，B(2,2)，C(1,3)，O為坐標原點，求AC與OB的交點D的坐標.【知識點】平面向量基本定理及向量共線的坐標表示.【數(shù)學思想】轉化化歸的數(shù)學思想【解題過程】由題意知共線，故存在實數(shù)λ，使＝(2λ，2λ).又=(2λ－2,2λ)＝(－1,3)，又∵與共線，∴(2λ－2)×3－2λ×(－1)＝0,解得λ＝eq\f(3,4).【思路點撥】利用向量共線的充要條件及共線的坐標表示的等積式形式建立方程.【答案】點D的坐標為(eq\f(3,2)，eq\f(3,2))自助餐1.已知，,如果//，則實數(shù)的值等于（）A.B.C.D. 【知識點