17/173.2簡單的三角恒等變換3.2.1積化和差與和差化積(卓忠越)一、教學目標(一)核心素養 通過本節的學習，讓學生自己導出“積化和差”及“和差化積”公式，領會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣；增強學生靈活運用數學知識解決實際問題的能力．(二)學習目標 1．能夠推導“和差化積”及“積化和差”公式； 2．能較熟練地運用公式進行化簡、求值、探索和證明一些恒等關系，進一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題； 3．揭示知識背景，培養學生的應用意識與建模意識．(三)學習重點 1．推導“和差化積”及“積化和差”公式； 2．運用公式進行化簡、求值、探索和證明一些恒等關系，進一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題．(四)學習難點運用公式進行化簡、求值、探索和證明一些恒等關系，進一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題．二、教學設計(一)課前設計1．預習任務(1)強化鞏固前一節所學的三角公式，并填空：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；；；；二倍角的正弦、余弦、正切公式；；(2)閱讀教材P140例2，熟悉公式的推導，并填空：；2．預習自測(1)下列等式錯誤的是（）A．B．C．D．【知識點】兩角和與差的正、余弦公式【解題過程】由兩角和與差的正、余弦公式展開左邊即可【思路點撥】cos(A+B)=cosAcosB－sinAcosB,cos(A－B)=cosAcosB＋sinAcosB,sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB．A項正確，B項正確，C項正確．D項，cos(A+B)－cos(A－B)=cosAcosB－sinAcosB-(cosAcosB＋sinAcosB)=－2sinAcosB．【答案】D(2)根據預習所學，嘗試證明：Ⅰ．；Ⅱ．．【知識點】積化和差、和差化積公式推導【數學思想】類比思想、方程思想、換元思想【解題過程】Ⅰ．∵；①；②將①②得：∴Ⅱ．由第一問的結論，設，，則，∴【思路點撥】類比例2，用解方程的思想表示，用換元的思想表示．【答案】見解題過程(3)（）A．B．C．D．1【知識點】積化和差【數學思想】化歸思想，將非特殊角化為特殊角【解題過程】【思路點撥】正確使用積化和差公式即可得解【答案】B(4)函數的值域是（）A．B．C．D．【知識點】和差化積【數學思想】化歸思想，統一角度【解題過程】∵∴∴【思路點撥】正確使用和差化積公式即可得解【答案】B(二)課堂設計1．知識回顧(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；；；；(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式；；(3)半角公式；；2．問題探究探究一推導“和差化積”及“積化和差”公式●活動①運用解方程的思想，推導積化和差公式 這組公式有何特點？應注意些什么？這組公式稱為三角函數積化和差公式，熟悉結構，它的優點在于將“積式”化為“和差”，且實現了“降次”，有利于簡化計算．【設計意圖】用解方程的思想，由已有知識自然過渡引出新知識，便于學生接受．例1求的值【知識點】積化和差公式應用【解題過程】【思路點撥】直接運用公式將角轉換為特殊角即可．【答案】同類訓練：求的值【知識點】積化和差公式應用【解題過程】【思路點撥】直接運用公式將角轉換為特殊角即可．【答案】●活動②運用換元的思想，推導和差化積公式在積化和差公式中，若令，，則，將其依次代入，可得什么？觀察這組公式的特點：這組公式稱為和差化積公式，其特點是同名的正(余)弦之和(差)可以化為積的形式，它與積化和差公式相輔相成，配合使用．例2已知，求的值【知識點】和差化積公式應用【解題過程】∵①②又∵∴∴∴【思路點撥】由和差化積先得，再由二倍角公式得【答案】同類訓練sin105°＋sin15°等于（）A．B．C． D．【知識點】和差化積公式應用【解題過程】sin105°＋sin15°＝2＝2sin60°cos45°＝【思路點撥】由和差化積將角化為特殊角求值【答案】C【設計意圖】從正弦、余弦的和(差)角公式出發，逐步推導出積化和差、和差化積公式，再簡單應用，增強學生對公式掌握的熟練度．探究二兩組公式在三角函數變形中的應用三角函數的積化和差與和差化積，這兩種互化，對于求三角函數的值、化簡三角函數式及三角函數式的恒等變形，都有重要的作用，它們的作用和地位在三角函數的變形中是十分重要的．例3求sin75°·cos15°的值【知識點】積化和差公式應用【數學思想】化歸思想【解題過程】(法一)考慮到75°±15°都是特殊角，所以想到使用積化和差公式解決之．(法二)由于75°與15°互為余角，可以統一角度(法三)由于75°與15°可以由45°與30°組合而成，所以可用和差角的三角函數公式來解決∴【思路點撥】三角函數求值或恒等變換，往往可以從不同角度考慮，進而使用不同的三角公式，獲得問題的解決，可謂殊途同歸，但是我們考慮問題時，一定要根據條件及結論、選擇適當的方法，以求問題的解決．【答案】【設計意圖】從不同角度使用不同的三角公式，都殊途同歸使得問題解決，有利于鍛煉學生從多角度思考問題并解決問題．同類訓練求sin37.5°cos7.5°＝________．【知識點】積化和差公式應用【數學思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】利用積化和差公式化非特殊角為特殊角即可【答案】例4求=___________；【知識點】積化和差公式應用【數學思想】化歸思想【解題過程】∵，∴【思路點撥】利用積化和差公式化化積為和差，將非特殊角化為特殊角【答案】同類訓練求的值．【知識點】積化和差公式應用【數學思想】化歸思想【解題過程】(法一)(法二)【思路點撥】法一利用積化和差公式化化積為和差，將非特殊角化為特殊角；法二是配湊法構造正弦二倍角公式，是化簡形如的三角函數式的常用辦法．【答案】例5求的值【知識點】和差化積公式應用【數學思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】三個三角函數的和差形式，自然想到要使用和差化積公式．由于有現成的同名角函數為，因此考慮將這二個函數做和差化積．但本題若采用此法則無后續手段，問題的解決將十分困難．不妨將轉化為，使得能出現特殊角，問題迎刃而解．【答案】同類訓練求的值【知識點】和差化積公式應用【數學思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】由于本題三個函數都是余弦，而任兩角的和、差都不為特殊角，所以可任選其中的兩個先作和差化積．采用同樣的方法也可以對1、3兩項或2、3兩項先使用和差化積公式，再利用余弦的倍角進一步完成本題．【答案】例6求證：【知識點】積化和差與和差化積公式綜合應用【解題過程】左邊==右邊∴原式得證【思路點撥】使用積化和差公式降次，同時朝著統一角度為的方向變形【答案】詳見解題過程同類訓練化簡【知識點】積化和差與和差化積公式綜合應用【解題過程】原式【思路點撥】使用和差化積公式統一角從而使式子化簡【答案】3．課堂總結知識梳理(1)積化和差公式(2)和差化積公式重難點歸納(1)和差化積公式的左邊全是同名函數的和或差，只有系數絕對值相同的同名函數的和與差才能直接運用公式化成積的形式，如果是一個正弦與一余弦的和或差必須先用誘導公式化成同名函數后，再運用積化和差公式化成積的形式；(2)三角函數的恒等變換常用的規則是：化繁為簡、化高為低(降次)，化復合角為單角(和差角公式)，化切割為弦，化大角為小角，和差化積，積化和差．(三)課后作業基礎型自主突破1．sin20°·cos70°+sin10°·sin50°=_________；【知識點】積化和差公式的應用【數學思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】運用積化和差公式將非特殊角化為特殊角，方便求值【答案】2．cos72°－cos36°的值為（）A．3－2eq\r(3)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．3＋2eq\r(3)【知識點】和差化積公式的應用【數學思想】化歸思想【解題過程】原式＝－2cos36°cos72°＝－2·eq\f(sin36°cos36°cos72°,sin36°)＝－eq\f(sin72°cos72°,sin36°)＝－eq\f(sin144°,2sin36°)＝－eq\f(1,2)【思路點撥】化差為積，觀察到分別與互余，且為二倍角關系，變形方向就比較明確了．【答案】C3．若，則等于（）A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)【知識點】積化和差公式的應用【數學思想】化歸思想【解題過程】原式∴【思路點撥】化積為差，并用二倍角公式化簡得【答案】C4．已知，且，則等于________．【知識點】和差化積公式的應用【數學思想】化歸思想【解題過程】∴【思路點撥】化和為積，結合得，再由二倍角公式得【答案】5．函數的最大值為（）A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．1D．eq\f(\r(2),2)【知識點】積化和差輔助求三角函數的最值【數學思想】化歸思想【解題過程】∴【思路點撥】化積為和，將三角函數化為的形式是最值的常用方法【答案】B6．求證【知識點】積化和差輔助三角恒等證明【數學思想】化歸思想【解題過程】左邊右邊∴左邊=右邊∴原等式得證【思路點撥】積化和差統計角【答案】詳見解題過程能力型師生共研7．求的值【知識點】三角恒等變形【數學思想】化歸思想【解題過程】原式【思路點撥】余切函數與余弦函數共存，首先應化切為弦，接著進行通分，最后再考慮分子的化簡，由于分子的三角函數的系數不同，一拆為二就是必然的了．【答案】8．求的值【知識點】三角恒等變形【數學思想】化歸思想【解題過程】原式【思路點撥】本題若只是簡單直接進行切割化弦，后續處理會很棘手，很難得到正確結果，但注意到分別與互為余角，且為二倍角關系，便于統一角度．【答案】探究型多維突破9．=__________；【知識點】二倍角公式與和差化積的綜合應用【數學思想】化歸思想【解題過程】(法一)原式(法二)原式當然，也可以這樣配方，原式【思路點撥】法一：本題有兩個平方式，遇到三角函數的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次處理；法二：在一起自然想到完全平方式，再進行和差化積、積化和差化角為特殊角．【答案】10．已知，求(1)；(2)【知識點】二倍角公式與和差化積的綜合應用【數學思想】化歸思想【解題過程】(法一)∵∴………①∵∴………②∴①+②得：②-①得：即：∴(法二)∵∴………③∵∴………④③２＋④２得：，即∴③÷④得：∴【思路點撥】求利用方法一簡單，求利用方法二簡單．一般地，已知兩角的正余弦的和與差，求兩角和與差的正余弦，往往采用和差化積或者平方后求和與差【答案】；自助餐1．求cos37.5°·cos22.5°=_________；【知識點】積化和差公式的應用【數學思想】化歸思想【解題過程】【思路點撥】運用積化和差公式將非特殊角化為特殊角，方便求值【答案】2．在△ABC中，若，則△ABC是（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．不等邊三角形D．直角三角形【知識點】積化和差公式的應用【解題過程】∵，又∴∴又∵∴即∴△ABC為等腰三角形【思路點撥】解三角形中常用，借助誘導公式減少角的數量．【答案】B3．函數的最大值是______．【知識點】積化和差公式的應用【解題過程】∵∵∴【思路點撥】通過