PAGE課后素養落實(十五)直線的一般式方程(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若直線2x－y－4＝0在x軸和y軸上的截距分別為a和b，則a－b的值為()A．6B．2C．－2D．－6A[令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4，則a＝2，b＝－4，所以a－b＝6.]2．直線l：xsin30°－ycos30°＋1＝0的斜率是()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－eq\f(\r(3),3)A[由直線l的方程xsin30°－ycos30°＋1＝0，得斜率為eq\f(sin30°,cos30°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，故選A．]3．過點M(－3,2)，且與直線x＋2y－9＝0平行的直線方程是()A．2x－y＋8＝0 B．x－2y＋7＝0C．x＋2y＋4＝0 D．x＋2y－1＝0D[直線x＋2y－9＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，則所求直線的斜率k1＝－eq\f(1,2)，所求直線的點斜式方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x＋3)，即x＋2y－1＝0，故選D．]4．已知直線Ax＋By＋C＝0的斜率為5，且A－2B＋3CA．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0A[法一：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)＝5，,A－2B＋3C＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－5B，,C＝\f(7,3)B，))所以直線方程為－5x＋y＋eq\f(7,3)＝0，即15x－3y－7＝0.法二：由A－2B＋3C＝0得eq\f(1,3)A－eq\f(2,3)B＋C＝0，則直線Ax＋By＋C＝0過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)))，其方程為y＋eq\f(2,3)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))，即15x－3y－7＝0.故選A．]5．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)經過其次、三、四象限，則A，B，C需滿意條件()A．C＝0，AB<0B．AC<0，BC<0C．A，B，C同號D．A＝0，BC<0C[由題可知B≠0，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B).∵直線Ax＋By＋C＝0經過其次、三、四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)<0，,－\f(C,B)<0，))∴A，B，C同號．故選C．]二、填空題6．已知直線(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x軸上的截距為3，則該直線在－eq\f(4,15)[由題意知a＋2≠0，即a≠－2，令y＝0得x＝eq\f(2a,a＋2)，則eq\f(2a,a＋2)＝3，解得a＝－6，則直線方程為－4x＋45y＋12＝0，即4x－45y－12＝0，令x＝0得y＝－eq\f(4,15).]7．已知直線l的斜率是直線2x－3y＋12＝0的斜率的eq\f(1,2)，l在y軸上的截距是直線2x－3y＋12＝0在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為________．x－3y＋24＝0[由2x－3y＋12＝0知，斜率為eq\f(2,3)，在y軸上截距為4.依據題意，直線l的斜率為eq\f(1,3)，在y軸上截距為8，所以直線l的方程為x－3y＋24＝0.]8．若直線y＝2x與直線(a2－a)x－y＋a＋1＝0平行，則a＝________.2[方程(a2－a)x－y＋a＋1＝0可化為y＝(a2－a)x＋a＋1，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＝2,a＋1≠0))，解得a＝2.]三、解答題9．直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值．(2)若l不經過其次象限，求實數a的取值范圍．[解](1)由題意知a＋1≠0，即a≠－1，令x＝0得y＝a－2，令y＝0得x＝eq\f(a－2,a＋1)，則eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，解得a＝2或a＝0.(2)方程(a＋1)x＋y＋2－a＝0可化為y＝－(a＋1)x＋a－2.直線l不經過其次象限，則滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1，即a的取值范圍是(－∞，－1]．10.如圖，某地長途汽車客運公司規定旅客可隨身攜帶肯定質量的行李，假如超過規定，則須要購買行李票，行李票費用y(元)與行李質量x(千克)的關系用直線AB的方程表示．(1)求直線AB的方程；(2)問旅客最多可免費攜帶多少千克的行李？[解](1)由題圖可知A(60,6)，B(80,10)，則直線AB的兩點式方程為eq\f(y－6,10－6)＝eq\f(x－60,80－60)，即x－5y－30＝0.(2)依題意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免費攜帶30千克的行李．1．已知點P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點，則方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A．過點P且與l垂直的直線B．過點P且與l平行的直線C．不過點P且與l垂直的直線D．不過點P且與l平行的直線D[∵點P(x0，y0)不在直線Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不經過點P.又直線Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0與直線l：Ax＋By＋C＝0平行．故選D．]2．已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A(2,1)，則過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程是()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0A[因為點A(2,1)在直線a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知點P1(a1，b1)在直線2x＋y＋1＝0上．因為點A(2,1)在直線a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知點P2(a2，b2)在直線2x＋y＋1＝0上，所以過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程是2x＋3．已知直線l的傾斜角為α，sinα＝eq\f(3,5)，且這條直線l經過點P(3,5)，則直線l的一般式方程為________．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0[因為sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝±eq\r(1－sin2α)＝±eq\f(4,5)，所以直線l的斜率為k＝tanα＝±eq\f(3,4)，又因為直線l經過點P(3,5)，所以直線l的方程為y－5＝eq\f(3,4)(x－3)或y－5＝－eq\f(3,4)(x－3)，所以直線l的一般式方程為3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0.]4．設A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2且|PA|＝|PB|，若直線PA的斜率為eq\f(1,2)，那么直線PB的斜率為________；若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程為________．－eq\f(1,2)x＋y－5＝0[由條件可知PA與PB兩直線的傾斜角互補，故kPB＝－kPA＝－eq\f(1,2)；又因為PA的直線為x－y＋1＝0，∴kPB＝－1，由x＝2時，y＝3，即直線PB過(2,3)，故PB的方程為y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.]已知在△ABC中，點A的坐標為(1,3)，AB，AC邊上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各邊所在直線的方程．[解]設AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，其中D，E分別為AB，AC的中點，∵點B在中線y－1＝0上，∴設B點坐標為(x,1)．又∵A點坐標為(1,3)，D為AB的中點，∴由中點坐標公式得D點