專題10比例性質、黃金分割、平行線分線段成比例壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一比例的性質之等比性質】 1【考點二利用黃金分割求線段的長】 3【考點三與黃金分割有關的證明】 5【考點四由平行判斷成比例的線段】 9【考點五由平行截線求相關線段的長或比值】 11【考點六構造平行線截線求相關線段的長或比值】 14【過關檢測】 17【典型例題】【考點一比例的性質之等比性質】例題：（2023·全國·九年級假期作業）若，求的值．【變式訓練】1．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統考期末）已知，則．2．（2023·湖南株洲·統考一模）已知，且，若，則．3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學校考期中）已知，求的值．【考點二利用黃金分割求線段的長】例題：（2023·全國·九年級假期作業）點P是長度為10的線段上的黃金分割點，則較短線段的長度為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級統考階段練習）在長度為1的線段上有一點P．滿足，則長為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級假期作業）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點．如圖（2），點分別是線段的黃金分割點，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【考點三與黃金分割有關的證明】例題：（2023·全國·九年級假期作業）中，D是上一點，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點；(2)若，求的面積．（結果保留根號）【變式訓練】1．（2022秋·九年級單元測試）如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點P，連接，在的延長線上取點F，使，以AF為邊作正方形，點M在上．(1)求的長；(2)點M是的黃金分割點嗎？為什么？2．（2023秋·山西運城·九年級統考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：黃金分割：兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發現：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫做線段PB，AB的比例中項），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點P叫做線段AB的黃金分割點．采用如下方法可以得到黃金分割點：如圖2，設AB是已知線段，經過點B作BD⊥AB于點B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點．任務：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則BC的長為．【考點四由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級統考開學考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結論錯誤的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·廣東佛山·九年級統考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【考點五由平行截線求相關線段的長或比值】例題：（2023春·吉林長春·九年級統考階段練習）如圖，、相交于點，點、分別在、上，，如果，，，，那么．【變式訓練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學校校考三模）如圖，已知直線，如果，，那么線段的長是．

2．（2023秋·河南周口·九年級統考期末）如圖，點分別在的邊上，且，過點作，分別交、的平分線于點．若，平分線段，則．【考點六構造平行線截線求相關線段的長或比值】例題：（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，D為邊的中點，點E在線段上，的延長線交邊于點F，若，，則線段的長為．

【變式訓練】1．（2023·四川成都·一模）如圖，點D、E是邊上的點，，連接，交點為F，，那么的值是．2．（2021春·遼寧沈陽·八年級東北育才雙語學校校考期中）如圖，在中，，，與相交于點，則.【過關檢測】一、單選題1．（2023春·山東煙臺·八年級統考期末）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（

）

A． B．2 C． D．52．（2023·浙江·一模）如圖，菱形中，點是的中點，垂直交延長線于點，若，，則菱形的邊長是（

）

A． B． C．5 D．63．（2023·浙江衢州·統考二模）如圖，在中，是的中點，點在上，連接并延長交于點，若，，則的長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．4．（2023春·山東威海·八年級統考期末）古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的一段的比例中項，把點稱為線段的“黃金分割”點，如圖，在中，已知，,若，是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為（

）

A． B． C． D．二、填空題5．（2023·安徽安慶·統考二模）如圖，在中，平分，交于點，若，，則為．

6．（2023·山西晉中·山西省平遙中學校校考模擬預測）如圖，在平行四邊形中，連接，的平分線交于點，交于點，交的延長線于．若，，則為．7．（2023·陜西渭南·統考一模）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即），可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雕像，則該雕像的下部高度應設計為．（結果保留根號）8．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在中，平分，過點作交于點，且是的中點．若，，則的長為．

三、解答題9．（2023·上海·九年級假期作業）如圖，在中，點D在線段上，，，，，求的長．

10．（2023·江蘇·九年級專題練習）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．11．（2023·山西太原·山西大附中校考二模）已知是等邊三角形，D是直線上的一點．(1)問題背景：如圖1，點D，E分別在邊，上，且，與交于點，求證：；(2)點G，H分別在邊，上，與交于點，且．①嘗試運用：如圖2，點D在邊上，且，求的值；②類比拓展：如圖3，點D在的延長線上，且，直接寫出的值．12．（2023·浙江紹興·統考三模）小明在學習角平分線知識的過程中，做了進一步探究：如圖，在中，的平分線交于點，發現．小明想通過證明來驗證這個結論．

證明：延長至，使得，請你完成上述證明過程：結論應用：已知在中，，，邊上有一動點，連接，點關于的對稱點為點，連接交于點．(1)如圖2，當，，求的值．(2)如圖3，當，與的邊垂直時，求的值．

13．（2022春·江蘇·九年級專題練習）（1）數學活動一寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．世界各國許多著名的建筑，都采用了黃金矩形的設計．在數學活動課上，小紅按如下步驟折疊出一個矩形：第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABCD，然后把紙片展平；第二步，如圖②，把這個正方形ABCD對折成兩個完全重合的矩形，再把紙片展平；第三步，如圖③，折出內側矩形EFBC的對角線CF，并把CF折到圖中所示FN處；第四步，如圖④，展平紙片，按照點N折出NM，得到矩形BNMC．若，請證明矩形BNMC是黃金矩形．（2）數學活動二如圖⑤，點C在線段AB上，且滿足，即，此時，我們說點C是線段AB的黃金分割點，且通過計算可得．小紅發現還可以從活動一的第三步開始修改折疊方式，如圖⑥，折出右側矩形EFBC的對角線EB，把AB邊沿BG折疊，使得A點落在對角線BE上的K點處，若，請通過計算說明G點是AD的黃金分割點．

專題10比例性質、黃金分割、平行線分線段成比例壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一比例的性質之等比性質】 1【考點二利用黃金分割求線段的長】 3【考點三與黃金分割有關的證明】 5【考點四由平行判斷成比例的線段】 9【考點五由平行截線求相關線段的長或比值】 11【考點六構造平行線截線求相關線段的長或比值】 14【過關檢測】 17【典型例題】【考點一比例的性質之等比性質】例題：（2023·全國·九年級假期作業）若，求的值．【答案】6或【分析】分兩種情況：當時，當時，分別求出m的值即可．【詳解】解：當時，根據比例的等比性可得：；當時，可得，∴．【點睛】本題主要考查比例的等比性質，但需要注意對式子用等比性時一定要注意根據分母是否為0進行分類討論．【變式訓練】1．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統考期末）已知，則．【答案】【分析】根據比例的性質，設，進而得出，代入代數式即可求解．【詳解】解：設，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．2．（2023·湖南株洲·統考一模）已知，且，若，則．【答案】5【分析】根據已知條件求出，根據得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，等式兩邊都除以2，得，故答案為：5【點睛】本題考查了比例的性質，能選擇適當的方法求解是解此題的關鍵．3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學校考期中）已知，求的值．【答案】8或【分析】觀察與發現，后者是通過前者相乘得來，那么只要找出的值解出，因此設通過變換化為那么可能是或對這兩種情況分別討論；【詳解】設則即所以或當時，則同理所以當時，所以故答案為8或-1【點睛】做好本題的關鍵是找出a、b、c三個變量間的關系，因而假設做到這步已經成功了一半，因而同學們在解題中一定要仔細觀察已知與結論找出其存在或隱含的關系【考點二利用黃金分割求線段的長】例題：（2023·全國·九年級假期作業）點P是長度為10的線段上的黃金分割點，則較短線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據黃金分割的定義即把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，分別進行計算即可．【詳解】解：點P是長度為10的線段上的黃金分割點，∴較長的線段的長度為，則較短的線段的長度為：；故選C．【點睛】此題考查了黃金分割，熟記黃金分割的公式：較短的線段原線段的，較長的線段原線段的是本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級統考階段練習）在長度為1的線段上有一點P．滿足，則長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據黃金分割點的定義，知是較長線段，代入數據即可得出的長，進而求出的長度．【詳解】解：是線段上的一點，且滿足，為線段的黃金分割點，且是較長線段，，．故選A．【點睛】本題考查了黃金分割的概念：如果一個點把一條線段分成兩條線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點．2．（2023·全國·九年級假期作業）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點．如圖（2），點分別是線段的黃金分割點，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題中黃金分割點定義，在圖（1）中令，設，，即，解得，從而，得到黃金分割比由點分別是線段的黃金分割點，可知，，，則，，，根據，代入求解即可得到，，．【詳解】解：如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點，令，設，則，則由，代值得，解得，，，點分別是線段的黃金分割點，，，，，，，將，代入求解即可得到，，，故選：A．【點睛】本題查處黃金分割點定義，涉及黃金分割比求解及利用黃金分割比求線段長，讀懂題意，理解黃金分割點定義得到比例是解決問題的關鍵．【考點三與黃金分割有關的證明】例題：（2023·全國·九年級假期作業）中，D是上一點，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點；(2)若，求的面積．（結果保留根號）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先由等高的兩個三角形面積之比等于底之比，可得，，又因為，等量代換得出，根據黃金分割點的定義即可證明D是的黃金分割點；（2）由（1）知，那么，，又等高的兩個三角形面積之比等于底之比，將代入，即可求出的面積．【詳解】（1）證明：∵，，又∵，∴，∴D是的黃金分割點；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．也考查了三角形的面積．【變式訓練】1．（2022秋·九年級單元測試）如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點P，連接，在的延長線上取點F，使，以AF為邊作正方形，點M在上．(1)求的長；(2)點M是的黃金分割點嗎？為什么？【答案】(1)的長為，的長為；(2)點M是的黃金分割點，理由見解析【分析】（1）要求AM的長，只需求得AF的長，又，，則；（2）根據（1）中的數據得：，根據黃金分割點的概念，則點M是AD的黃金分割點．【詳解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的長為，的長為；（2）點M是AD的黃金分割點．∵，∴點M是的黃金分割點．【點睛】此題綜合考查了正方形的性質、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段的長，然后求得線段和之間的比，根據黃金分割的概念進行判斷．2．（2023秋·山西運城·九年級統考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：黃金分割：兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發現：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫做線段PB，AB的比例中項），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點P叫做線段AB的黃金分割點．采用如下方法可以得到黃金分割點：如圖2，設AB是已知線段，經過點B作BD⊥AB于點B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點．任務：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則BC的長為．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中設則，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結論；（2）若BD＝1，則，把AB代入到即可求出AC，進而可求出BC．【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴設則，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則，由（1）知，∴，∴，∴．【點睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識，解題關鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．【考點四由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級統考開學考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線分線段成比例判斷各項即可．【詳解】解：A．由，得，故A選項錯誤；B．由，得，又由，得，則，故B選項錯誤，D選項正確；C．由，得，故C選項錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例．【變式訓練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結論錯誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行四邊形的性質得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是靈活運用平行線分線段成比例定理．2．（2023秋·廣東佛山·九年級統考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【詳解】解：，，，，；∴選項A、C、D正確，故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運用平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．【考點五由平行截線求相關線段的長或比值】例題：（2023春·吉林長春·九年級統考階段練習）如圖，、相交于點，點、分別在、上，，如果，，，，那么．【答案】10【分析】利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【詳解】解：，，，，，，，，．故答案為：10．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式訓練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學校校考三模）如圖，已知直線，如果，，那么線段的長是．

【答案】6【分析】由平行線所截線段對應成比例可知，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查平行線所截線段對應成比例，熟練掌握比例線段的計算是解決本題的關鍵．2．（2023秋·河南周口·九年級統考期末）如圖，點分別在的邊上，且，過點作，分別交、的平分線于點．若，平分線段，則．【答案】//【分析】設、交于點，結合可得；由平行線分線段成比例定理可得，即有，再證明，進一步可得，易知，可得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設、交于點，∵，平分線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定、角平分線的定義等知識，熟練運用平行線分線段定理是解題關鍵．【考點六構造平行線截線求相關線段的長或比值】例題：（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，D為邊的中點，點E在線段上，的延長線交邊于點F，若，，則線段的長為．

【答案】【分析】過點作于點,由平行線分線段成比例定理得，求得，再結合中點進一步可得，從而得到答案．【詳解】解：如圖，過點作于點；則；而，，；為邊的中點，，，故答案為：．

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構造平行線是解決此題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·四川成都·一模）如圖，點D、E是邊上的點，，連接，交點為F，，那么的值是．【答案】/【分析】過作，交于，依據平行線分線段成比例定理，即可得到，，進而可得的值．【詳解】解：如圖所示，過作，交于，則，即：，，，即：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．2．（2021春·遼寧沈陽·八年級東北育才雙語學校校考期中）如圖，在中，，，與相交于點，則.【答案】【分析】先過E作，交于G，再作交于H，由平行線分線段成比例定理的推論，再結合已知條件，可分別求出和的值，相加即可．【詳解】解：作交于，作交于，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關鍵是熟練的掌握平行線分線段成比例定理．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·山東煙臺·八年級統考期末）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（

）

A． B．2 C． D．5【答案】D【分析】過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在平行橫線于E，根據平行線分線段成比例定理，列出比例式，計算即可得解．【詳解】解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在平行橫線于E，

，五線譜是由等距離的五條平行橫線組成的，，，解得，故選：D．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握并靈活運用該定理、找準對應線段是解答此題的關鍵．2．（2023·浙江·一模）如圖，菱形中，點是的中點，垂直交延長線于點，若，，則菱形的邊長是（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】過C作延長線于M，根據，設，由菱形的性質表示出，由平行線分線段成比例表示出，根據勾股定理列方程計算即可．【詳解】解：過C作延長線于M，

∵，∴設，∴，∵點E是邊的中點，∴，∵菱形，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴．故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質、矩形的判定與性質、勾股定理，關鍵在于熟悉各個知識點在本題的靈活運用．屬于拔高題．3．（2023·浙江衢州·統考二模）如圖，在中，是的中點，點在上，連接并延長交于點，若，，則的長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】過點D作交于H，根據平行線分線段成比例定理得到計算即可.【詳解】過點D作交于H,

則，，∵,∴,故選:.【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.4．（2023春·山東威海·八年級統考期末）古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的一段的比例中項，把點稱為線段的“黃金分割”點，如圖，在中，已知，,若，是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于，如圖，根據等腰三角形的性質得到，則根據勾股定理可計算出，接著根據線段的“黃金分割”點的定義求得，然后根據三角形面積公式計算即可．【詳解】解：作于，如圖：

∵，∴，在中，，∵，是邊的兩個“黃金分割”點，∴，故，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了“黃金分割比”的定義，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的面積公式，求出和的長是解題的關鍵．二、填空題5．（2023·安徽安慶·統考二模）如圖，在中，平分，交于點，若，，則為．

【答案】【分析】根據角平分線的定義及平行線的性質得到，再根據平行線分線段成比例得到即可解答．【詳解】解：∵平分，∴，∵交于點，∴，∴，∵交于點，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．6．（2023·山西晉中·山西省平遙中學校校考模擬預測）如圖，在平行四邊形中，連接，的平分線交于點，交于點，交的延長線于．若，，則為．【答案】【分析】可求，設，，從而可求，，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，設，，，，，，，，，，，．故答案：．【點睛】本題考查了平行四邊行的性質，平行線分線段成比例定理，用輔助未知數解決問題，掌握性質，會用輔助未知數是解題的關鍵．7．（2023·陜西渭南·統考一模）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即），可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雕像，則該雕像的下部高度應設計為．（結果保留根號）【答案】【分析】雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即），，設，根據比例即可求解．【詳解】解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比，∴設，則，∴，解分式方程得，（舍去）或，檢驗，當時，原分式方程有意義，∴，即，∴，∴該雕像的下部設計高度為，故答案為：．【點睛】本題主要考查比例，解比例方程，理解題意，掌握比例的性質，解比例方程是解題的關鍵．8．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在中，平分，過點作交于點，且是的中點．若，，則的長為．

【答案】【分析】作交于點，由平行線分線段成比例定理可證，根據勾股定理求出的長，進而可求出的長．【詳解】解：作交于點，

，．是的中點，，，．，．平分，．，在與中，，，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識，證明是解答本題的關鍵．三、解答題9．（2023·上海·九年級假期作業）如圖，在中，點D在線段上，，，，，求的長．

【答案】3【分析】過點作交于點．由平行線的性質可得，進而可得，由等邊對等角的性質可得，由平行線等分線段定理可得，再結合可得，最后將代入即可解答．【詳解】證明：過點作交于點．

，；又，，

，

．，

．又，

．．【點睛】本題主要考查了平行線的性質、等腰三角形的性質、平行線等分線段定理等知識點，掌握平行線等分線段定理是解答本題的關鍵．10．（2023·江蘇·九年級專題練習）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）設，將x、y、z都用k表示，再將其代入即可解答；（2）根據比例得基本性質可得，，，聯立相加后進行分類討論即可．【詳解】解（1）設，則，，，．（2）∵，∴，，，聯立得：，∴當時，，當時，∴或．【點睛】本題主要考查了比例得基本性質，解題的關鍵是熟練掌握比例的各個基本性質：內項之積等于外項之積，合比性質，分比性質以及等比性質．11．（2023·山西太原·山西大附中校考二模）已知是等邊三角形，D是直線上的一點．(1)問題背景：如圖1，點D，E分別在邊，上，且，與交于點，求證：；(2)點G，H分別在邊，上，與交于點，且．①嘗試運用：如圖2，點D在邊上，且，求的值；②類比拓展：如圖3，點D在的延長線上，且，直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)①3；②或【分析】（1）利用證明，再由等量代換證明；（2）①在上截取，連接交于點，過點作交于點，由（1）可知，則，再由平行線的性質可得，即設，，則，由，可得，，從而得到等式，求出，即可求；②延長至，使，連接交于點，過點作交于點，由（1）可知，則，可得，設，，則，可知，再由，分別得到，，從而得到方程，求出或，即可求或．【詳解】（1）解：證明：是等邊三角形，，，，，，；（2）①在上截取，連接交于點，過點作交于點，由（1）可知，，，，，，，，設，，則，，，即，，，，，解得或（舍），；②延長至，使，連接交于點，過點作交于點，由（1）可知，，，設，，則，，，，，，，，解得或，或．【點睛】本題考查了等邊三角