專題03三角函數的圖象與性質（零點或根的問題）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：已知根（零點）的個數求參數 1題型二：零點（根）的代數和問題 4三、專項訓練 7一、必備秘籍實根問題，換元法令將函數化簡為，在利用正弦函數的圖象來解決交點（根，零點）的問題.二、典型題型題型一：已知根（零點）的個數求參數1．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知函數，將函數向右平移個單位得到的圖像關于軸對稱且當時，取得最大值.(1)求函數的解析式：(2)將函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若，且，求的值.(3)方程在上有4個不相等的實數根，求實數的取值范圍.2．（23-24高一下·湖南邵陽·階段練習）已知函數，其中，，.(1)求函數的最小正周期和對稱軸；(2)求函數在上的單調遞減區間；(3)已知函數在上存在零點，求實數的取值范圍.3．（23-24高一下·廣東中山·階段練習）已知函數.(1)求函數的對稱中心與對稱軸；(2)當時，求函數的單調遞增區間；(3)將函數的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數為.若關于的方程在區間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.4．（23-24高一下·河北張家口·階段練習）已知函數．(1)求函數的最大值及取最大值時x的取值集合；(2)求函數的單調遞增區間；(3)已知函數在上存在零點，求實數a的取值范圍．5．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）已知函數．(1)求函數的最小正周期；(2)若，求的最值及取最值時的值；(3)若函數在內有且只有一個零點，求實數的取值范圍．6．（2024·上海金山·二模）已知函數，記，，，.(1)若函數的最小正周期為，當時，求和的值；(2)若，，函數有零點，求實數的取值范圍.題型二：零點（根）的代數和問題1．（23-24高一下·湖北·階段練習）函數（，，）的部分圖像如圖所示.(1)求函數的解析式；(2)求函數的單調遞增區間；(3)將函數的圖像上的各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖像，若時，的圖像與直線恰有三個公共點，記三個公共點的橫坐標分別為，，且，求的值.2．（23-24高一下·湖北咸寧·階段練習）已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．(1)當時，求的單調遞減區間；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標變），得到函數的圖象，當時，求函數的值域．(3)對于第（2）問中的函數，記方程在上的根從小到依次為，，……，，試確定的值，并求的值．3．（23-24高一下·江西撫州·階段練習）函數的部分圖象如圖所示，

(1)求函數的解析式和單調遞增區間；(2)將函數的圖象上的各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，若時，的圖象與直線恰有三個公共點，記三個公共點的橫坐標分別為且，求的值4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.(1)求函數的解析式及其單調遞增區間；(2)將函數的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.若方程在上有三個不相等的實數根，求的值.5．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知函數，把函數的圖像先向右平移個單位長度，再向下平移個單位，得到函數的圖像.(1)求的單調遞增區間及對稱軸方程；(2)當時，若方程恰好有兩個不同的根，求的取值范圍及的值.6．（23-24高一下·江西·階段練習）函數（，，）的部分圖象如圖.(1)求函數的解析式；(2)將函數上的每個點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.已知函數若函數的零點從左到右依次為，，…，，求的值，并求的值.三、專項訓練1．（23-24高一下·河南·階段練習）已知函數．(1)若，的最小值為，求的對稱中心；(2)已知，函數圖象向右平移個單位得到函數的圖象，是的一個零點，若函數在（且）上恰好有12個零點，求的最小值．2．（23-24高一下·四川內江·階段練習）已知函數．(1)求的周期和對稱中心；(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍后所得到的圖象對應的函數是，求在上的零點個數．3．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）函數，若的圖象向左平移個單位得到.(1)求不等式的解集；(2)若函數的最大值為9，求的值；(3)若，方程在內有一個解，求實數的取值范圍.4．（23-24高一下·廣東江門·階段練習）已知函數的圖象相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖象向右移個單位，所得函數為奇函數．(1)求的解析式；(2)若函數的零點為，求；(3)若對任意，有解，求a的取值范圍．5．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）某同學用“五點法”畫函數（，，）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：00200(1)根據以上表格中的數據求函數的解析式；(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到函數的圖象．當時，關于的方程恰有兩個實數根，求實數的取值范圍．8．（23-24高一上·山西·期末）如圖，已知函數的圖象與軸相交于點，圖象的一個最高點為．(1)求的解析式；(2)將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數的所有零點之和．9．（23-24高一上·云南德宏·期末）函數（，，）的部分圖象如圖所示．(1)求函數的解析式；(2)將函數的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，若關于的方程在上有兩個不等實根，，求實數的取值范圍，并求的值．10．（23-24高一上·安徽·期末）已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的最小值.(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，記方程在上的根從小到依次為試確定的值，并求的值.專題03三角函數的圖象與性質（零點或根的問題）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：已知根（零點）的個數求參數 1題型二：零點（根）的代數和問題 10三、專項訓練 20一、必備秘籍實根問題，換元法令將函數化簡為，在利用正弦函數的圖象來解決交點（根，零點）的問題.二、典型題型題型一：已知根（零點）的個數求參數1．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知函數，將函數向右平移個單位得到的圖像關于軸對稱且當時，取得最大值.(1)求函數的解析式：(2)將函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若，且，求的值.(3)方程在上有4個不相等的實數根，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）求出平移后的函數解析式，結合正弦函數的圖象得到，求出的值并檢驗即得；（2）依題求出解析式，將看成整體角，結合正弦函數的圖象發現在區間上的單調性和對稱性，利用其得出，代入求解即得；（3）設，依題求得，結合在上的圖象，將“方程在上有4個不相等的實數根”轉化成“關于的方程在上有兩個不等的實根”，最后利用二次函數的圖象列出關于參數的不等式組，求解即得.【詳解】（1）因，依題意的圖像關于軸對稱，則有，即，而，即有或.當時，，符合要求；當時，，不符合要求，故函數的解析式是.（2）由圖象平移可得，若，則，而在區間上遞減，在區間上遞增，顯然兩側關于直線對稱，若且，則，可得，故.（3）由（1），令，由可得則，由題意，關于的方程有兩個不等的實根，且與在上均有兩個不等的實根，當時，的圖象如圖所示，故，此時關于的方程在上有兩個不等的實根，令，則即解得故實數的取值范圍.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查正弦型函數的圖象性質在零點上的應用,屬于難題.解題的關鍵在于要有整體角換元思想，運用好數形結合的方法，有效將方程的根的問題轉化為函數圖象的交點問題，充分發揮三角函數圖象在對稱性，單調性等方面的作用.2．（23-24高一下·湖南邵陽·階段練習）已知函數，其中，，.(1)求函數的最小正周期和對稱軸；(2)求函數在上的單調遞減區間；(3)已知函數在上存在零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為：；對稱軸為：，(2)(3)【分析】（1）先根據數量積的坐標公式及三角恒等變換化一，再根據正弦函數的周期性和對稱性即可得解；（2）根據正弦函數的單調性求解即可；（3）函數在上存在零點，分離參數可得在上有解，令，再結合二次函數的性質即可得解.【詳解】（1），由，則的最小正周期為，令，，解得，，即對稱軸為，；（2）由（1）知，設，，所以，又在的單調遞減區間是，由，得，所以在上的單調遞減區間是；（3）由（2）知，所以，函數在上存在零點，即在上有解，因為，所以，所以，令，，則，所以，解得，所以實數的取值范圍為.【點睛】方法點睛：求函數在區間上值域的一般步驟：第一步：三角函數式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數的值域（或最值）.3．（23-24高一下·廣東中山·階段練習）已知函數.(1)求函數的對稱中心與對稱軸；(2)當時，求函數的單調遞增區間；(3)將函數的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數為.若關于的方程在區間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.【答案】(1)對稱中心為；對稱軸為；(2)和；(3)或.【分析】（1）將原函數恒等變換化簡后再利用正弦函數的對稱軸和對稱中心解出即可；（2）利用正弦函數的對稱區間解出即可；（3）先將函數平移變換后再結合正弦函數的對稱性把問題轉化為方程在上僅有一個實根，然后令結合二次函數的性質解出即可.【詳解】（1）∵，令，解得，所以對稱軸為；令，解得，所以對稱中心為.（2）由（1）得，令，得，又因為，所以的單調遞增區間為和.（3）將的圖象向左平移個單位后，得，又因為，則，的函數值從0遞增到1，又從1遞減回0.令，則，依題意得在上僅有一個實根.令，因為，則需或，解得或.4．（23-24高一下·河北張家口·階段練習）已知函數．(1)求函數的最大值及取最大值時x的取值集合；(2)求函數的單調遞增區間；(3)已知函數在上存在零點，求實數a的取值范圍．【答案】(1)最大值，(2)(3)【分析】（1）（2）先利用三角公式化簡，然后利用正弦函數的性質求解；（3）構造方程，求出的范圍，即為的范圍，進而可得實數a的取值范圍．【詳解】（1）由已知，令，得，即，所以函數的最大值為，且取最大值時x的集合為（2）令，解得，即函數的單調遞增區間為；（3）當，，此時，即，令，得在上存在零點，令，即在上存在零點，又當時，所以，解得.5．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）已知函數．(1)求函數的最小正周期；(2)若，求的最值及取最值時的值；(3)若函數在內有且只有一個零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)；(2)最小值為0，此時；最大值為3，此時；(3)．【分析】（1）由三角恒等變換化簡后，由正弦型函數的周期公式求解；（2）根據自變量取值范圍，整體換元后利用正弦函數的圖象與性質求最值；（3）轉化為函數交點只有一個，根據正弦函數圖象與性質確定范圍.【詳解】（1），故函數的最小正周期為．（2）由（1）知，因為，所以，令，則，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以，即時，函數有最小值，最小值為．當，即，函數有最大值，最大值為．綜上的最小值為0，此時；最大值為3，此時．（3）因為函數在內有且只有一個零點，所以在只有一個實根，即，即，即函數在的圖象在與直線只有一個交點，當時，，令，則在區間的圖象與直線只有一個交點時，即，解得．6．（2024·上海金山·二模）已知函數，記，，，.(1)若函數的最小正周期為，當時，求和的值；(2)若，，函數有零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用三角函數的周期公式求得，再利用三角函數的值域與周期性求得，從而得解；（2）根據題意，利用換元法將問題轉化為在有解，從而利用參變分離法或二次函數根的布分即可得解.【詳解】（1）因為函數的最小正周期，所以，則當時，，所以，得，因為，所以取得，（2）解法一：當，時，，，設，由題意得，在有解，化簡得，又在上單調遞減，所以，則.解法二：當，時，，，設，由題意得，在有解，記，對稱軸為，則由根的分布可得，即，解得，所以.題型二：零點（根）的代數和問題1．（23-24高一下·湖北·階段練習）函數（，，）的部分圖像如圖所示.(1)求函數的解析式；(2)求函數的單調遞增區間；(3)將函數的圖像上的各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖像，若時，的圖像與直線恰有三個公共點，記三個公共點的橫坐標分別為，，且，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據函數的最低點求得的值，根據圖象得到函數的周期，并求得的值，代入點求得的值.由此求得函數的解析式；（2）利用余弦函數的性質，即可求出函數的單調增區間；（3）令，則，利用的圖象可得，，又，從而得到，再利用，即可求得結果.【詳解】（1）由圖象可得，，，，則，，又圖象過點，所以，解得，又，，所以函數的解析式為.（2）由余弦函數可知，，，，所以函數的單調遞增區間為.（3）由題可得，，又因為，所以，令，則，設直線與的圖象交點橫坐標自左向右依次為，由的圖象可知，，，且，，又由圖象知，所以，又，，所以，又，.2．（23-24高一下·湖北咸寧·階段練習）已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．(1)當時，求的單調遞減區間；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標變），得到函數的圖象，當時，求函數的值域．(3)對于第（2）問中的函數，記方程在上的根從小到依次為，，……，，試確定的值，并求的值．【答案】(1)(2)(3)6；【分析】（1）結合二倍角公式和輔助角公式將函數化簡為，再根據正弦函數的周期性和奇偶性，分別求出和，然后利用正弦函數的單調性，得解；（2）易得，根據正弦函數的圖象與性質，可得解；（3）令，原問題可轉化為方程在區間上解的個數，由解的個數確定，由，確定的值.【詳解】（1）由題意，函數因為函數圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得，又由函數為奇函數，可得，所以，因為，所以，所以函數，令，解得，可得函數的遞減區間為，再結合，可得函數的減區間為（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再把橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖象，當時，，當時，函數取得最小值，最小值為，當時，函數取得最大值，最大值為，故函數的值域（3）由方程，即，即，因為，可得，設，其中，即，結合正弦函數的圖象，可得方程在區間有6個解，即其中，即，解得所以．3．（23-24高一下·江西撫州·階段練習）函數的部分圖象如圖所示，

(1)求函數的解析式和單調遞增區間；(2)將函數的圖象上的各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，若時，的圖象與直線恰有三個公共點，記三個公共點的橫坐標分別為且，求的值【答案】(1)，單調遞增區間為；(2).【分析】（1）根據給定的圖象，利用五點法作圖思想求出的解析式，再求出遞增區間.（2）由（1）求出的解析式，利用換元法結合余弦函數圖象的對稱性求解即得.【詳解】（1）觀察圖象知，，函數的周期，則，由，得，而，則，因此函數的解析式為，令，解得，所以函數的單調遞增區間為.（2）由（1）及已知得，依題意，，令，由，得，令，則，其中，由對稱性知，兩式相加得，顯然，因此，所以.4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.(1)求函數的解析式及其單調遞增區間；(2)將函數的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.若方程在上有三個不相等的實數根，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據圖示，即可確定和的值，再由周期確定，最后將點代入求出，即可求出答案；由正弦函數的單調性求出遞增區間；（2）先根據題意寫出，再由函數圖像的交點確定根的性質，最后根據正弦函數的對稱性和正切函數值求出答案.【詳解】（1）由圖可得，，又，所以，所以，所以，又因為過點，所以，又，所以，所以.因為，所以遞增區間為.（2）將函數的圖象上所有的點向右平移個單位得到，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，則，當時，，令，則，令，則函數的函數圖像如下，且，由圖像可知有三個不同的實數根，則，所以，即，所以，所以5．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知函數，把函數的圖像先向右平移個單位長度，再向下平移個單位，得到函數的圖像.(1)求的單調遞增區間及對稱軸方程；(2)當時，若方程恰好有兩個不同的根，求的取值范圍及的值.【答案】(1)單調遞增區間為，，對稱軸方程為，.(2)答案見解析【分析】（1）先利用兩角和的余弦公式和輔助角公式化簡，再利用正弦函數的圖象和性質求解即可；（2）根據平移得到的解析式，由的取值范圍求出的單調區間和值域，進而得到函數圖象，根據圖象求解即可.【詳解】（1）由題意可得，令，，解得，，令，，解得，，所以的單調遞增區間為，，對稱軸方程為，.（2）根據題意及（1）中結論可得，當時，，令得，令得，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，時，單調遞增，且，，，，大致圖像如圖所示，方程恰好有兩個不同的根，所以的取值范圍為，又因為的對稱軸為和，所以當時，當時.6．（23-24高一下·江西·階段練習）函數（，，）的部分圖象如圖.(1)求函數的解析式；(2)將函數上的每個點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.已知函數若函數的零點從左到右依次為，，…，，求的值，并求的值.【答案】(1)(2)，.【分析】（1）根據函數圖象，由最值求，由和求與，可得函數的解析式；（2）由圖象變換得的解析式，可作出的圖象，由圖象與函數圖象的交點，確定的零點個數及位置關系.【詳解】（1）由函數圖象可知，，，得，由，得，結合圖象可得，，由五點法作圖可得，解得，所以.（2）函數上的每個點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，得函數的圖象，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，函數則的圖象如圖所示，函數的零點，即函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標，由圖象可知，函數的零點有6個，從左到右依次為，，…，，，由余弦函數的性質結合圖象可知，關于對稱，關于對稱，關于對稱，.三、專項訓練1．（23-24高一下·河南·階段練習）已知函數．(1)若，的最小值為，求的對稱中心；(2)已知，函數圖象向右平移個單位得到函數的圖象，是的一個零點，若函數在（且）上恰好有12個零點，求的最小值．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）由題意，利用正弦函數的性質可求出的最小正周期為，從而可求出，則可求得解析式，然后可求出其對稱中心；（2）先利用三角函數圖象變換規律求出，再根據是的一個零點和可求出，從而可求出的解析式，則可求出的最小正周期，再利用正弦函數的零點和周期性可求得結果.【詳解】（1）的最小正周期為，又，的最小值為，的最小正周期是，故，解得，當時，，由，的對稱中心為；當時，，由，的對稱中心為，綜上所述，的對稱中心為或.（2）函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，，又是的一個零點，，即，，，，，，最小正周期，令，則，即或，解得或．若函數在（且）上恰好有12個零點，則，要使最小，須m，n恰好為的零點，故．可得的最小值為．2．（23-24高一下·四川內江·階段練習）已知函數．(1)求的周期和對稱中心；(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍后所得到的圖象對應的函數是，求在上的零點個數．【答案】(1)；(2)11個【分析】（1）根據公式即可求出周期，設即可求出對稱中心.（2）根據圖象變換求出，換元畫出圖象即可求解.【詳解】（1）因為，所以最小正周期，令，所以，的對稱中心為.（2）由題意得，，所以，令，所以求出在的零點個數即可.所以令，解得，所以求在與和的交點個數，由下圖可知有11個交點.所以在上的零點個數為11個.3．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）函數，若的圖象向左平移個單位得到.(1)求不等式的解集；(2)若函數的最大值為9，求的值；(3)若，方程在內有一個解，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)或(3)或或且【分析】（1）首先得到解析式，即可得到，再根據正弦函數的性質計算可得；（2）利用平方關系得到，令，結合二次函數的性質分類討論，分別計算可得；（3）先求得，再令，分析在上的值域，結合零點存在性定理與二次函數的性質，分類討論的范圍判斷即可；【詳解】（1）將的圖象向左平移個單位得到：，則，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集為.（2）因為，所以，則，令，則，令，，依題意，當，即時在上單調遞增，則，解得，符合題意；當，即時在上單調遞減，則，解得，符合題意；當，即時，即，不符合題意；綜上可得或.（3）因為，所以，當時，因為在上單調遞增，值域為；在上單調遞減，值域為.令，，則由的圖象知，考慮在上的解，若，則或，當時，方程的解為，舍去；當時，方程的解為，此時僅有一解，故在內有一個解，符合題意；若，則或，此時在上有兩個不同的實數根，，令，則，由韋達定理，.當時，則，，要使得方程在內有一個解，則，.當時，此時解得或，不符合題意，舍去．所以要使符合題意，只需，即，解得；當時，則，，要使得方程在內有一個解，當時，此時解得或，不符合題意，舍去.則，且，所以要使符合題意，只需，即，解得且；綜上，的取值范圍是或或且.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問關鍵是換元轉化為二次函數最值求出參數的值，第三問關鍵是將問題轉化為在上的解.4．（23-24高一下·廣東江門·階段練習）已知函數的圖象相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖象向右移個單位，所得函數為奇函數．(1)求的解析式；(2)若函數的零點為，求；(3)若對任意，有解，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）本題首先可通過相鄰對稱軸之間的距離是得出，然后通過圖象的平移即可得出，最后根據函數為奇函數即可求出的值；（2）首先可通過題意得出，然后通過三角函數的誘導公式即可得出結果；（3）本題可令，然后根據得出，最后通過求出的取值范圍即可得出的取值范圍.【詳解】（1）因為相鄰對稱軸之間的距離是，所以，，所以，解得，，將的圖像向右移個單位，可得函數，因為函數為奇函數，所以，，因為，所以，所以，（2）因為函數的零點為，所以，，因為，所以.（3）令，因為，所以，，則有解，即有解，當時，無解，當時，即有解，因為在上單調遞增，所以當時，，因為有解，所以的取值范圍為.5．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）某同學用“五點法”畫函數（，，）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：00200(1)根據以上表格中的數據求函數的解析式；(2)將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到函數的圖象．當時，關于的方程恰有兩個實數根，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據表格數據得到，由周期求出，再求出，即可得解；（2）根據三角函數的變換規則得到的解析式，得到函數的單調區間，等價于函數，的圖象與直線有兩個交點，數形結合即可得解.【詳解】（1）表中數據可得，，因為，所以，又，則，當時，，即，解得，所以．（2）將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到，再將圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則，又在上單調遞增，在上單調遞減，且，，，如圖，當時，方程恰有兩個實數根，等價于函數，的圖象與直線有兩個交點，所以，即．6．（23-24高一下·四川綿陽·階段練習）已知函數．(1)求函數的最小正周期；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若關于的方程在上恰有一解，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據二倍角的正弦公式及誘導公式，利用輔助角公式及三角函數的周期公式即可求解；（2）根據（1）的結論及三角函數的平移邊換，將關于的方程在上恰有一解轉化為在上恰有一解，利用三角函數的性質即可求解.【詳解】（1）依題可知，，所以函數的最小正周期為.（2）由（1）知，，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，因為關于的方程在上恰有一解，所以在上恰有一解，即在上恰有一解，因為，所以，令，，則，由三角函數的性質知，函數在上單調遞增，在上單調遞減；而，所以或解得或，故實數的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角恒等變換及三角函數的周期公式，將關于的方程在上恰有一解轉化為在上恰有一解，再利用三角函數的性質即可.7．（23-24高一下·安徽·階段練習）給出以下三個條件：①直線，是函數圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，②，③對任意的，．請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整，并求解．已知函數，，______．(1)求的表達式；(2)將函數的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若關于的方程在區間上有且只有一個實數解，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先進行三角恒等變換求出，再分別選