專題08數列求和（奇偶項討論求和）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求的前項和 2題型二：求的前項和 4題型三：通項含有的類型；例如： 6題型四：已知條件明確的奇偶項或含有三角函數問題 7三、專題08數列求和（奇偶項討論求和）專項訓練 9一、必備秘籍有關數列奇偶項的問題是高考中經常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數列奇數項和偶數項的首項、項數、公差(比)等．本專題主要研究與數列奇偶項有關的問題，并在解決問題中讓學生感悟分類討論等思想在解題中的有效運用.因此，在數列綜合問題中有許多可通過構造函數來解決．類型一：通項公式分奇、偶項有不同表達式；例如：角度1：求的前項和角度2：求的前項和類型二：通項含有的類型；例如：類型三：已知條件明確的奇偶項或含有三角函數問題二、典型題型題型一：求的前項和1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比數列的首項，公比為，的項和為且，，成等差數列.(1)求的通項：(2)若，，求的前項和.2．（2024·湖南·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且.等比數列是正項遞增數列，且.(1)求數列的通項和數列的通項；(2)若，求數列的前項和.3．（2024·江西上饒·一模）設為正項數列的前項和，若，，成等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前2024項和．4．（23-24高三上·河北·期末）在數列中，，且.(1)求的通項公式；(2)若，數列的前項和為，求5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知正項數列的前項和為，且滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若，的前項和為，求.題型二：求的前項和1．（23-24高二上·江蘇常州·期末）在數列中，，且對任意的，都有.(1)證明：是等比數列，并求出的通項公式；(2)若，求數列的前項和.2．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．3．（2023·湖南岳陽·三模）已知等比數列的前n項和為，其公比，，且．(1)求數列的通項公式；(2)已知，求數列的前n項和．4．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知數列滿足.(1)求的通項公式；(2)設數列滿足求的前項和.5．（22-23高二下·廣東佛山·期中）已知數列滿足，.(1)記，寫出、，并求數列的通項公式；(2)求的前項和.題型三：通項含有的類型；例如：1．（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知公差為3的等差數列的前項和為，且．(1)求：(2)若，記，求的值．2．（23-24高三上·山西晉城·期末）已知數列是各項為正數的數列，前n項和記為，，()，(1)求數列的通項公式；(2)設，，求數列的前n項和．3．（23-24高二上·河南·階段練習）已知數列，滿足，，.(1)證明：為等差數列.(2)設數列的前項和為，求.4．（2024·貴州安順·模擬預測）在等比數列中，已知，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．5．（2024·山東·模擬預測）已知是各項均為正數的數列，為的前n項和，且，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)已知，求數列的前n項和．題型四：已知條件明確的奇偶項或含有三角函數問題1．（23-24高三上·山東濟寧·期末）已知數列為公差大于0的等差數列，其前項和為，，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前100項和.2．（2024·吉林長春·一模）已知各項均為正數的數列滿足：，．(1)求數列的通項公式；(2)若，記數列的前項和為，求．3．（2023·江蘇蘇州·三模）已知數列是公差不為0的等差數列，，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前2023項和.4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）設數列滿足，且.(1)求證：數列為等差數列，并求的通項公式；(2)設，求數列的前項和.三、專題08數列求和（奇偶項討論求和）專項訓練1．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知數列的前n項和為，，等比數列的公比為3，．(1)求數列，的通項公式；(2)令求數列的前7項和．2．（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前項和，，.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.3．（23-24高三上·江蘇蘇州·期末）已知等差數列的公差為，且，設為的前項和，數列滿足.(1)若，且，求；(2)若數列也是公差為的等差數列，求數列的前項和.7．（23-24高三上·遼寧·期末）在等比數列中(1)求的通項公式；(2)設，求的前n項和．8．（23-24高三上·江蘇蘇州·期中）已知為數列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，，求數列的前項和．9．（2024高三·全國·專題練習）設是首項為1，公差不為0的等差數列，且，，成等比數列.(1)求的通項公式；(2)令，求數列的前項和.10．（2024·廣東汕頭·模擬預測）已知數列的前n項和為，，且.(1)求的通項公式；(2)已知，求數列的前n項和.11．（23-24高二下·山東德州·階段練習）已知正項數列的前n項和，且，數列為單調遞增的等比數列，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求.專題08數列求和（奇偶項討論求和）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求的前項和 2題型二：求的前項和 7題型三：通項含有的類型；例如： 13題型四：已知條件明確的奇偶項或含有三角函數問題 17三、專題08數列求和（奇偶項討論求和）專項訓練 21一、必備秘籍有關數列奇偶項的問題是高考中經常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數列奇數項和偶數項的首項、項數、公差(比)等．本專題主要研究與數列奇偶項有關的問題，并在解決問題中讓學生感悟分類討論等思想在解題中的有效運用.因此，在數列綜合問題中有許多可通過構造函數來解決．類型一：通項公式分奇、偶項有不同表達式；例如：角度1：求的前項和角度2：求的前項和類型二：通項含有的類型；例如：類型三：已知條件明確的奇偶項或含有三角函數問題二、典型題型題型一：求的前項和1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比數列的首項，公比為，的項和為且，，成等差數列.(1)求的通項：(2)若，，求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，先驗證不符合要求，然后再由列出方程，即可求得，從而得到通項公式；（2）根據題意，可得，其奇數次項依次構成一個首項為1，公比為4的等比數列，而偶數次項依次構成一個首項為，公差為的等差數列，然后結合數列求和的公式，代入計算即可得到結果．【詳解】（1）由題意，若，由首項，可知，，此時，不符合題意，故，則由，可得化簡整理，得，解得（舍去），或，，．（2）由（1），可得，故數列的奇數項是以1為首項，4為公比的等比數列，偶數項是以為首項，為公差的等差數列，．2．（2024·湖南·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且.等比數列是正項遞增數列，且.(1)求數列的通項和數列的通項；(2)若，求數列的前項和.【答案】(1)，(2)（或）【分析】（1）根據題意分別求出數列的首項和公差，以及數列的首項和公比，進而可得出答案；（2）利用并項求和法求解即可.【詳解】（1）由題意，設等差數列的首項為，公差為，又，所以解得，故，因為數列為各項為正的遞增數列，設公比為，且，因為，所以，得，又，所以，即，又，解得，從而，所以；（2）由（1）得，所以，所以數列的前項和為（或）.3．（2024·江西上饒·一模）設為正項數列的前項和，若，，成等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前2024項和．【答案】(1)（）(2)【分析】（1）利用，得，兩式作差，整理得是等差數列即可求解；（2）利用裂項相消和分組求和求解.【詳解】（1）由已知得：，當時，，．當時，得．，數列是以2為首項2為公差的等差數列（）（2）由已知得：．．4．（23-24高三上·河北·期末）在數列中，，且.(1)求的通項公式；(2)若，數列的前項和為，求【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，，當時，得到，從而得到從第2項起成等比數列，即可得到答案.（2）根據（1）得到，當為大于1的奇數時，，當為偶數時，.再利用分組求和、錯位相減求和即可得到答案.【詳解】（1）當時，，則.當時，由，得，則，則.因為，所以從第2項起成等比數列，.（2），當為大于1的奇數時，，當為偶數時，..，則，則，，則，則.5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知正項數列的前項和為，且滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若，的前項和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據與的關系化簡求解即可；（2）采用分組求和的方式計算即可.【詳解】（1）①②①-②整理得數列是正項數列，當時，數列是以2為首項，4為公差的等差數列，；（2）由題意知，，故.題型二：求的前項和1．（23-24高二上·江蘇常州·期末）在數列中，，且對任意的，都有.(1)證明：是等比數列，并求出的通項公式；(2)若，求數列的前項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據題意可得，可知等比數列，結合等比數列通項公式可得，可知是等差數列，結合等差數列通項公式運算求解；（2）由（1）可得，分類討論的奇偶性，利用分組求和法結合等差、等比數列的求和公式運算求解.【詳解】（1）因為，所以，又因為，則，且，可知，可得，則是以為首項，為公比的等比數列，所以，整理得，且，可知是以2為首項，2為公差的等差數列，所以，即.（2）由（1）可知，可知的奇數項為以為首項，4為公比的等比數列；偶數項是以，為公差的等差數列.當為偶數，；當為奇數，；綜上所述：.2．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數時，，，當時，，因此，當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數時，，當時，，因此，當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.3．（2023·湖南岳陽·三模）已知等比數列的前n項和為，其公比，，且．(1)求數列的通項公式；(2)已知，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數列的通項公式即可；（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.【詳解】（1）因為是等比數列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數列的通項公式為．（2）由（1）得，當n為偶數時，；當n為奇數時；綜上所述：.4．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知數列滿足.(1)求的通項公式；(2)設數列滿足求的前項和.【答案】(1),；(2).【分析】（1）先求出再對分奇偶兩種情況討論得解；（2）先求出時，的前項和；再討論當時，且為奇數時，當時，且為偶數時，的前項和，即得解.【詳解】（1）根據題意可知，所以當為奇數時，，即，所以當為偶數時，；當為偶數時，，即，所以當為奇數時，.綜上，,.（2）由（1）可知當為奇數時，若，即，解得，當為偶數時，若，即，解得，所以，當時，，所以.當時，且為奇數時，當時，且為偶數時，.綜上，5．（22-23高二下·廣東佛山·期中）已知數列滿足，.(1)記，寫出、，并求數列的通項公式；(2)求的前項和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用數列的遞推公式以及可寫出、的值，推導出數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，即可求得數列的通項公式；（2）對分偶數和奇數兩種情況討論，在為偶數時，設，計算出的表達式，結合等差數列的求和公式可求得的表達式；在為奇數時，設，由可求得的表達式.綜合可得出的表達式.【詳解】（1）解：因為數列滿足，，所以，，，，即，

所以，數列是公差為，首項為的等差數列，因此，.（2）當為偶數時，設，則，，所以，，此時，；當為奇數時，設，則，則.綜上所述，.題型三：通項含有的類型；例如：1．（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知公差為3的等差數列的前項和為，且．(1)求：(2)若，記，求的值．【答案】(1)(2)30【分析】（1）直接根據等差數列及其前項和的基本量的計算得首項，由此即可得解.（2）由題意得，由分組求和法即可得解.【詳解】（1）因為公差為3的等差數列的前項和為，且，所以，解得，所以.（2）由題意，所以.2．（23-24高三上·山西晉城·期末）已知數列是各項為正數的數列，前n項和記為，，()，(1)求數列的通項公式；(2)設，，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關系，以取代構造等式，兩式作差得遞推關系，再變形可證明數列是等差數列，進而求出通項；（2）分奇偶討論，利用并項求和法求解前n項和.【詳解】（1）由題意得①，且，當時，，解得或(舍去)，當時，②·∴①②得，∴，∵，∴，∴數列是首項為，公差為的等差數列，∴.所以數列的通項公式為；（2）由（1）得，則當，且時，，n為偶數時，，n為奇數時，則為偶數，由上式可知，，所以.所以，.3．（23-24高二上·河南·階段練習）已知數列，滿足，，.(1)證明：為等差數列.(2)設數列的前項和為，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據已知代入化簡得出，即可證明；（2）根據（1）得出數列的通項，當為偶數時，利用并項求和法得出，當為奇數時，為偶數，由得出，即可綜合得出答案.【詳解】（1）由題意得，，則，所以是首項，公差為1的等差數列.（2）由（1）得，則，當為偶數時，.當為奇數時，為偶數，則.綜上，.4．（2024·貴州安順·模擬預測）在等比數列中，已知，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數列的通項公式得到關于的方程組，解之即可；（2）先由（1）得，再分類討論為奇數與為偶數兩種情況，利用并項求和法即可得解.【詳解】（1）因為在等比數列中，，設其公比為，所以，解得，所以數列的通項公式.（2）由（1）得，所以數列的前項和，當為奇數時，；當為偶數時，；所以.5．（2024·山東·模擬預測）已知是各項均為正數的數列，為的前n項和，且，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)已知，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，成等差數列，得，時得；時求得，可知是首項為2，公差為1的等差數列，利用等差數列的通項公式可求得，進而求得；（2）由（1）知，分是奇數、偶數可得.【詳解】（1）由，，成等差數列，得，①當時，，∴，得（舍去），當時，，②①－②得，，∴，又，∴，∴是首項為2，公差為1的等差數列，∴，故；（2）由（1）知，當是奇數時，，當是偶數時，，綜上.題型四：已知條件明確的奇偶項或含有三角函數問題1．（23-24高三上·山東濟寧·期末）已知數列為公差大于0的等差數列，其前項和為，，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前100項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設等差數列的公差為，根據題意，列出方程求得的值，即可求解；（2）由（1）得，分別求得，，和時，的取值，結合等比數列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）解：設等差數列的公差為，因為，，可得，解得或（舍去），所以，即數列的通項公式為.（2）解：由（1）得，當，時，，所以；當，時，，所以；當，時，，所以；當，時，，所以；所以.2．（2024·吉林長春·一模）已知各項均為正數的數列滿足：，．(1)求數列的通項公式；(2)若，記數列的前項和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，兩邊同除從而得到，則得到其通項；（2）根據正弦型函數的周期性，再進行分組求和，最后利用等比數列前項和公式即可.【詳解】（1）因為各項為正數，，所以上式兩邊同時除以，得，令，則，即，解得（負值舍去），所以，又，所以是以，的等比數列，故.（2），當時，，當時，，當時，，當時，，根據三角函數周期性知的周期為4，則3．（2023·江蘇蘇州·三模）已知數列是公差不為0的等差數列，，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前2023項和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）根據等差數列的通項公式以及給定的條件求出公差d和；（2）根據數列的周期性求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由題意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，對于任意，有，所以，故數列的前2023項和為.4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）設數列滿足，且.(1)求證：數列為等差數列，并求的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)證明見解析，;(2).【分析】（1）根據遞推式，變形為，由等差數列定義可證明結論；利用累加法求得；（2）根據，討論n的奇偶性，分類求解，利用并項求和法，可得答案.【詳解】（1）由已知得，即，是以4為首項，2為公差的等差數列.，當時，,當時，也滿足上式，所以;（2）,當為偶數時，當為奇數時，,所以.三、專題08數列求和（奇偶項討論求和）專項訓練1．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知數列的前n項和為，，等比數列的公比為3，．(1)求數列，的通項公式；(2)令求數列的前7項和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先求，即可求數列的通項公式，再利用公式，即可求數列的通項公式，利用數列，，即可求數列的項公式；（2）根據（1）的結果，即可求.【詳解】（1）當時，，即，由，得，又等比數列的公比為3，所以；由，①，當時，②，①②，，因為，所以，即，即數列是常數列，即，得，當時，，當時，成立，所以；（2），，，2．（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前項和，，.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求解即可；（2）利用分組求和即可.【詳解】（1）當時，，當時，，也滿足，故數列的通項公式為.（2）由（1）可知，當為偶數時，；當為奇數時，，所以.3．（23-24高三上·江蘇蘇州·期末）已知等差數列的公差為，且，設為的前項和，數列滿足.(1)若，且，求；(2)若數列也是公差為的等差數列，求數列的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據給定條件，依次求出，列出不等式求解即得.（2）設，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分類并結合分組求和法求解即得.【詳解】（1）依題意，，，則，由，得，解得，而，所以.（2）由是公差為的等差數列，設，又，于是對任意恒成立，即對任意恒成立，則，又，解得，從而，，當為偶數時，；當為奇數時，，所以.4．（2023·廣東·二模）在等差數列中，.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列基本量的計算即可求解，（2）根據等差數列以及等比求和公式，結合分組求和即可求解，或者分奇偶，又等差求和公式以及并項求和求解.【詳解】（1）設的公差為，則解得所以.（2）（方法一）.（方法二）當為偶數時，當為奇數時，.綜上，5．（23-24高三上·福建莆田·階段練習）已知數列的前項和為，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前100項的和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據與之間的關系，結合等比數列的定義進行求解即可；（2）根據特殊角余弦值的特點，結合等比數列的前項和公式進行求解即可.【詳解】（1）當時，，整理得，又，得則數列是以-2為首項，-2為公比的等比數列.則（2）當時，當時，，當時，，當時，，則6．（2024·浙江·二模）如圖，已知的面積為1，點D，E，F分別為線段，，的中點，記的面積為；點G，H，I分別為線段，，的中點，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點后，得到的三角形面積記為．(1)求，，并求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據相鄰兩個三角形的面積關系可得，即可求解通項，（2）先利用并項求和法求得為偶數的情況的和，再利用所得結論求得奇數的情況的和，然后寫成分段形式.【詳解】（1）由題意可知,，...，由此可知，故是以公比為的等比數列，所以.（2）由得，，當為偶數時，，當為奇數時，，故.7．（23-24高三上·遼寧·期末）在等比數列中(1)求的通項公式；(2)設，求的前n項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據等比數列的通項公式列式運算求解；（2）根據題意可得：，利用并項求和運算求解.【詳解】（1）由題意可得：，∵，則，解得或（舍去），∴的通項公式；