2025屆河南省洛陽市偃師高中高二上數學期末教學質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列說法正確的個數有（）（ⅰ）命題“若，則”的否命題為：“若，則”；（ⅱ）“，”的否定為“，使得”；（ⅲ）命題“若，則有實根”為真命題；（ⅳ）命題“若，則”的否命題為真命題；A.1個 B.2個C.3個 D.4個2．函數f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.3．如果直線與直線垂直，那么的值為（）A. B.C. D.24．橢圓C：的焦點為，，點P在橢圓上，若，則的面積為（）A.48 B.40C.28 D.245．圓關于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.6．在等差數列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數的導函數滿足，則（）A. B.C.3 D.48．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為（）A. B.2C. D.39．經過點作圓的弦,使點為弦的中點，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.10．已知等比數列滿足，則q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－311．已知，為橢圓上關于短軸對稱的兩點，、分別為橢圓的上、下頂點，設，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.12．在長方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若是直線外一點，為線段的中點，，，則______14．已知拋物線C：，經過點P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且點P恰為AB的中點，F為拋物線的焦點，則______15．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點，則|的最小值是_________16．某校周五的課程表設計中，要求安排8節課（上午4節、下午4節），分別安排語文、數學、英語、物理、化學、生物、政治、歷史各一節，其中生物只能安排在第一節或最后一節，數學和英語在安排時必須相鄰（注：上午的最后一節與下午的第一節不記作相鄰），則周五的課程順序的編排方法共有______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線交點坐標；（2）若直線與直線垂直，求a的值.18．（12分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，點在橢圓上，過的直線交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求的面積的最大值.19．（12分）已知函數.（1）記函數，當時，討論函數的單調性；（2）設，若存在兩個不同的零點，證明：為自然對數的底數）.20．（12分）為了了解某工廠生產的產品情況，從該工廠生產的產品隨機抽取了一個容量為200的樣本，測量它們的尺寸（單位：），數據分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內的樣本數；（2）記產品尺寸在內為等品，每件可獲利6元；產品尺寸在內為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機器一個月共生產2000件產品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達到9000元，則需要對該工廠設備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設備實施升級改造.21．（12分）已知函數，為的導函數（1）求的定義域和導函數；（2）當時，求函數的單調區間；（3）若對，都有成立，且存在，使成立，求實數a的取值范圍22．（10分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論的零點個數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據四種命題的結構特征可判斷（ⅰ）（ⅳ）的正誤，根據全稱命題的否定形式可判斷（ⅱ）的正誤，根據判別式的正誤可判斷（ⅲ）的正誤.【詳解】命題“若，則”的否命題”為“若，則”，故（ⅰ）錯誤.“，”的否定為“，使得”，故（ⅱ）正確，當時，，故有實根，故（ⅲ）正確，“若，則”的否命題為“若，則”，取，則，故命題若，則為假命題，故（ⅳ）錯誤.故選：B2、B【解析】利用函數的奇偶性排除選項A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數的定義域為，關于原點對稱.所以函數是奇函數，排除選項A,C.當時，，排除選項D，故選：B3、A【解析】根據兩條直線垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A4、D【解析】根據給定條件結合橢圓定義求出，再判斷形狀計算作答.【詳解】橢圓C：的半焦距，長半軸長，由橢圓定義得，而，且，則有是直角三角形，，所以的面積為24.故選：D5、C【解析】先求出圓的圓心坐標，根據條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標準方程為，因為圓關于直線對稱，該直線經過圓心，即，，，當且僅當，即時取等號，故選：C.6、A【解析】根據題設可得關于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設公差為，因為，，所以，即，從而.故選：A.7、C【解析】先對函數求導，再由，可求出的關系式，然后求【詳解】由，得，因為，所以，所以，故選：C8、D【解析】設出直線方程，聯立拋物線方程，得到韋達定理，求得，利用拋物線定義，將目標式轉化為關于的代數式，消元后，利用基本不等式即可求得結果.【詳解】因為拋物線的焦點的坐標為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設直線的方程為聯立可得，其，設坐標為，顯然，則，，根據拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當且僅當，即時取得最小值.故選：D.【點睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關系，以及拋物線的定義轉化目標式，是解決問題的關鍵.9、A【解析】由題知為弦AB的中點，可得直線與過圓心和點的直線垂直，可求的斜率，然后用點斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，直線的斜率，直線的點斜式方程，屬于基礎題10、C【解析】根據已知條件，利用等比數列的基本量列出方程，即可求得結果.【詳解】因為，故可得；解得.故選：C.11、A【解析】設出點，的坐標，并表示出兩個斜率、，把代數式轉化成與點的坐標相關的代數式，再與橢圓有公共點解決即可.【詳解】橢圓中：，設則，則，，令，則它對應直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A12、C【解析】通過平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線與所成角為和所成角，通過解三角形即可得解.【詳解】根據長方體的對稱性可得體對角線過中心點，取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據題意得到，進而得到，求得的值，即可求解.【詳解】因為為線段的中點，所以，所以，又因為，所以，所以故答案為：.14、9【解析】過A、、作準線的垂線且分別交準線于點、、，根據拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質得出，進而可求出的結果.【詳解】由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點坐標為，如圖，過點A作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，由拋物線的定義可得，再根據為線段的中點，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故答案為：9.15、##【解析】由拋物線的定義可得，所以的最小值轉化為求的最小值，由圖可知的最小值為，從而可求得答案【詳解】拋物線y2＝2x焦點，準線為，由拋物線的定義可得，所以,因為，，所以，所以，當且僅當三點共線且在線段上時，取得最小值，所以的最小值為，故答案為：16、2400種【解析】分三步，第一步：根據題意從第一個位置和最后一個位置選一個位置安排生物，第二步：將數學和英語捆綁排列，第三步：將剩下的5節課全排列，最后利用分步乘法計數原理求解.【詳解】分步排列，第一步：因為由題意知生物只能出現在第一節或最后一節，所以從第一個位置和最后一個位置選一個位置安排生物，有（種）編排方法；第二步：因為數學和英語在安排時必須相鄰，注意數學和英語之間還有一個排列，所以有（種）編排方法；第三步：剩下的5節課安排5科課程，有（種）編排方法根據分步乘法計數原理知共有（種）編排方法故答案為：2400種三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）聯立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當時，直線，聯立，解得，即交點坐標為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.18、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的離心率、點在橢圓上以及得到的方程組，進而得到橢圓的標準方程；（2）設出直線方程，聯立直線和橢圓方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和三角形的面積公式得到三角形的面積，再利用基本不等式求其最值.【小問1詳解】解：由題可得，且，將點代入橢圓方程，得，解得，，即橢圓方程為；【小問2詳解】解：由（1）可得，，設：，聯立，消去，得，設，，則，則所以，當且僅當，即時取等號，故的面積的最大值為.19、（1）在和上單調遞增；在上單調遞減（2）證明見解析【解析】（1）先求導，然后對導數化簡整理后再解不等式即可得單調性；（2）要證明，通過求函數的極值可證明，要證，根據有兩個不同的零點，將問題轉化為證明成立，再通過換元從求函數的最值上證明.【小問1詳解】因為，所以，令，得或.所以時，或；時，.所以在和上單調遞增；在上單調遞減.【小問2詳解】因為，所以.當時，，可得在上單調遞減，此時不可能存在兩個不同的零點，不符合題意.當時，.令，得.當時，；當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減.而當時，，時，.所以要使存在兩個不同的零點，則，即，解得.因為存在兩個不同的零點，則，即.不妨設，則，則，要證，即證，即證，即，.即證，令，則，所以在上單調遞增，所以，即，所以成立.綜上有.【關鍵點點睛】解決本題的第（1）問的關鍵是對導函數的分子因式分解；解決第（2）問的關鍵一是分步證明，二是研究函數的單調性，三是轉化思想的運用，四是換元思想的運用.20、（1）件；（2）需要對該工廠設備實施升級改造.【解析】（1）根據評論分布直方圖面積之和為1列等式計算得，用200乘以內頻率即可得出答案；（2）根據題意計算等品件，不合格品有件，進而得合格品有件，根據題意計算其利潤與9000比較判定需要對該工廠設備實施升級改造.【詳解】解：（1）因為，解得，所以200件樣本中尺寸在內的樣本數為（件）.（2）由題意可得，這批產品中優等品有件，這批產品中不合格品有件，這批產品中合格品有件，元.所以該工廠生產的產品一個月所獲得的利潤為8960元，因為，所以需要對該工廠設備實施升級改造.【點睛】頻率分布直方圖中的常見結論（1）眾數的估計值為最高矩形的中點對應的橫坐標；（2）平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和；（3）中位數的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.21、（1），（2）在單減，也單減，無增區間（3）【解析】（1）根據分母不等于0，對數的真數大于零即可求得函數的定義域，根據基本初等函數的求導公式及商的導數公式即可求出函數的導函數；（2）求出函數的導函數，再根據導函數的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導數求出函數的最小值即可求出的范圍，，，求出函數的值域，根據存在，使成立，則0在函數的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域為，；【小問2詳解】解：當時，，恒成立，所以在和上遞減；【小問3詳解】解：若對，都有成立，即，即，令，，則，對于函數，，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以，當時，，所以，所以，故恒成立，在為減函數，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域為，因為存在，使成立，所以，，所以，綜上，【點睛】本題考查了函數的定義域及導數的四則運算，考查了利用導數求函數的單調區間，考查了不等式恒成立問題，考查了計算能力及數據分析能力，對不等式恒成立合理變形轉化為求最值是解題關鍵.22、（1）單調遞增區間是和，單調遞減區間是（2