銅梁中學高2018級高三下期開學考試數學試題（理科）一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）（1）若復數，其中為虛數單位，則復數的虛部是（）（A） （B） （C） （D）（2）已知集合，，則（）（A） （B） （C） （D）（3）若等差數列的公差為，且是與的等比中項，則該數列的前項和取最小值時，的值等于（）（A）7 （B）6 （C）5 （D）4（4）已知上的奇函數滿足：當時，，則（）（A）1 （B） （C）2 （D）（5）已知的展開式中，含項的系數為80，則實數的值為（）（A）1 （B） （C）2 （D）（6）已知函數，則下列結論中錯誤的是（）（A）函數的最小正周期為（B）函數的圖像關于直線對稱（C）函數在區間上是增函數（D）函數的圖像可由的圖像向右平移個單位得到（7）某幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的體積等于（）（A） （B）（C） （D）（8）在銳角中，角所對的邊分別為，若，，，則的值為（）（A） （B）（C） （D）（9）元朝著名數學家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當原多少酒？”用程序框圖表達如圖所示，即最終輸出的，則一開始輸入的的值為（）（A） （B） （C） （D）（10）公元前世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發現了黃金分割約為，這一數值也可以表示為，若，則（）（A）8 （B）4 （C）2 （D）1（11）已知直線與雙曲線：交于、兩點，且中點的橫坐標為，過點且與垂直的直線過雙曲線的右焦點，則雙曲線的離心率為（）（A） （B） （C） （D）（12）已知函數，若對任意的，在上總有唯一的零點，則的取值范圍是（）（A） （B） （C） （D）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）（13）設平面向量，，若∥，則等于.（14）已知直線和圓交于、兩點，則.（15）已知滿足的最大值為，若正數滿足，則的最小值為.（16）正三角形的邊長為2，將它沿高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為.三、解答題（共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17——21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答）（一）必考題：共60分（17）（本小題滿分12分）已知數列為公差不為0的等差數列，其前項和為，，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若數列滿足，且，求數列的前項和.（18）（本小題滿分12分）某品牌的專賣店采用分期付款方式經銷，從參與購活動的100名顧客中進行統計，統計結果如下表所示，已知分3期付款的頻率為0.2，若顧客采用一次付清，其利潤為200元，采用2期或3期付款，其利潤為250元，采用4期或5期付款，其利潤為300元．付款期數12345頻數4020ab10（Ⅰ）若以上表計算出的頻率近似代替概率，從購買的顧客(數量較多)中隨機抽取3位顧客，求事件“至多有1位采用分3期付款”的概率；（Ⅱ）按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽取5人，再從抽出的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量，求的分布列及數學期望.(19）（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，平面交于點，且∥平面.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若四邊形是正方形，且,求直線與平面所成角的正弦值.（20）（本小題滿分12分）已知、是橢圓：的右焦點、上頂點，過原點的直線交橢圓于、，，.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）已知為直線上一點，過作的垂線交橢圓于點，，當最小時，求點的坐標.（21）（本小題滿分12分）已知函數，其中為常數，為自然對數的底數.（Ⅰ）若在區間上的最大值為，求的值；（Ⅱ）當時，判斷方程是否有實根？若無實根請說明理由；若有實數根，請給出實數根的個數.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．在答題卡上將自己所選做的題號對應的方框涂黑．（22）（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數方程在直角坐標系中，曲線：，曲線：（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求曲線，的極坐標方程；（Ⅱ）若射線：（）分別交，于兩點，求的最大值.（23）（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知不等式對任意實數恒成立.（Ⅰ）求實數的最小值；（Ⅱ）若，且滿足，求的最小值.銅梁中學高2018級高三下學期開學測試題數學試題（理科）參考答案一、選擇題1～6DABBCD 7～12CADCAC二、填空題（13） （14） （15） （16）三、解答題（17）解：（Ⅰ）設等差數列的公差為（），由，，成等比數列可知：，又，解得，所以；……4分（Ⅱ）由得（），當時，……，………………8分對上式也成立，∴，∴，∴.…………12分（18）解：（Ⅰ）由題意，，，…2分則分3期付款的概率為，………………4分∴；…………6分（Ⅱ）按分層抽樣的方式抽取的人中，有位一次性付清，有位分2期或3期付款，有位分4期或5期付款．隨機變量可能的取值為650，700，750，800，，，，．所以隨機變量的分布列為∴（元）．………………12分（19）（Ⅰ）證明：連接，設與相交于點，連接，則為的中點，………………2分∵∥平面，面∩面，∴∥，…………4分∴為的中點，……5分又∵為正三角形，∴⊥；……………6分（Ⅱ）∵，∴，又,∥，∴⊥，……………7分又，∴⊥面，…8分設的中點為，的中點為，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間坐標系，………………9分則，，∴，………10分平面的一個法向量為，∴，……………11分∴直線與平面所成角的正弦值為；…………12分（20）解：（Ⅰ）設橢圓的左焦點為，連接，，由題意知四邊形為平行四邊形，∴，由橢圓的定義可知，∴，由橢圓的幾何性質知，，∴，∴，∴，∴橢圓的標準方程為；……………4分（Ⅱ）設，，，∵，故直線的方程為，代入，整理得，∴，，，……………7分∴，=，……9分∴，令（），則≥=，當且僅當，即，即，即或時，=，此時點的坐標為或．……………12分（21）解：（Ⅰ），，，①當時，≥0，從而在上單調遞增，∴舍；②當時，在上遞增，在上遞減，，令，得；（Ⅱ）當時，，，當時，>0；當時。，∴是在定義域上唯一的極（大）值點，則，∴||≥1，又令，，，∴方程無解．………………………12分（22）解：（Ⅰ）：，的普通方程為，∴；……………