清單03軸對稱（16個考點梳理+典型例題+核心素養提升+中考熱點聚焦）【知識導圖】【知識清單】考點一．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．1．（2022秋?遵義期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線ED交AB于點E，交BC于點D，若BC＝9，AC＝5，則△ACD的周長為．【分析】根據線段垂直平分線的性質得到AD＝BD，再根據等量代換和三角形周長公式計算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴△ACD的周長為AD+AC+CD＝BD+AC+CD＝BC+AC＝14．故答案為：14．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．2．（2022秋?東臺市期末）如圖，在△ABC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，DG⊥CE，垂足為G．（1）求證：AB＝2CD；（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度數．【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質和直角三角形的性質解答即可；（2）根據等腰三角形的性質等邊對等角解答即可．【解答】（1）證明：∵G是CE的中點，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分線，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中線，∴DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，∴，∴，∴AB＝2CD；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝69°，∴∠BCE＝23°．【點評】此題考查了直角三角形的性質等腰三角形的性質及線段垂直平分線的性質．此題難度適中，注意根據線段垂直平分線的性質和直角三角形的性質解答是解此題的關鍵．考點二．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．3．（2022秋?平泉市期末）等腰三角形的周長為16，其中腰為x，則x不可能為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據等腰三角形的周長和三角形的三邊關系逐項求解即可．【解答】解：A、當x＝4時，三邊分別為4，4，8，∵4+4＝8，∴不能圍成三角形，∴腰不能為4，故選項符合題意；B、當x＝5時，三邊分別為5，5，6，∵5+5＞6，∴能圍成三角形，∴腰能為5，故選項不符合題意；C、當x＝6時，三邊分別為6，6，4，∵4+6＞6，∴能圍成三角形，∴腰能為6，故選項不符合題意；D、當x＝7時，三邊分別為7，7，2，∵7+2＞7，∴能圍成三角形，∴腰能為7，故選項不符合題意；故選：A．【點評】考查等腰三角形的定義以及三角形的三邊關系，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關鍵．4．（2023春?江北區期末）等腰三角形的一個角是70°，它的底角的大小為（）A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°【分析】題中未指明已知的角是頂角還是底角，故應該分情況進行分析，從而求解．【解答】解：①當這個角是頂角時，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②當這個角是底角時，另一個底角為70°，頂角為40°．故選：D．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理的綜合運用．考點三．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．5．（2022秋?雙遼市期末）如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF＝EF，BD＝CE．求證：△ABC是等腰三角形．（過D作DG∥AC交BC于G）【分析】過點D作DG∥AC交BC于點G，根據平行線的性質可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，結合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可證出△GDF≌△CEF（ASA），根據全等三角形的性質可得出GD＝CE，結合BD＝CE可得出BD＝GD，進而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可證出△ABC是等腰三角形．【解答】證明：過點D作DG∥AC交BC于點G，如圖所示．∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD＝CE．∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【點評】本題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質以及全等三角形的判定與性質，根據△GDF≌△CEF找出GD＝CE＝BD是解題的關鍵．6．（2022秋?江北區校級期末）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．（1）如圖1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度數；（2）如圖2，若DF⊥AD交AB于F，求證：BF＝DF．【分析】（1）根據角平分線的定義和垂直的定義解答即可；（2）根據角平分線的定義和等腰三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，∴∠B＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，（2）證明：設∠B＝α，則∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵DF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，∵∠AFD＝∠B+∠BDF，∴∠BDF＝α＝∠B，∴BF＝DF．【點評】此題考查等腰三角形的判定，關鍵是根據角平分線的定義和垂直的定義解答．考點四．等腰三角形的判定與性質1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優先選擇簡便方法來解決．7．（2022秋?九臺區期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝AD，DE⊥AB．求證：CE＝DE．【分析】根據垂直定義求出∠ADE＝∠ACB，根據等腰三角形的性質得出∠ACD＝∠ADC，根據角的和差求出∠ECD＝∠EDC，根據等腰三角形的判定即可得解．【解答】證明：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE．【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質，熟記等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．8．（2022秋?河北區期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分線交CD的延長線于點E，F是BE的中點，連接CF并延長交AD于點G．（1）求證：BC＝EC．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度數．【分析】（1）根據角平分線的定義得到∠ABF＝∠CB．根據平行線的性質得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形，即可得到結論．（2）根據平行線的性質待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根據角平分線的定義即可得到結論．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC．∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝52°，∴∠BCD＝128°．∵F是BE的中點，BC＝CE，∴CG平分∠BCD，∴∠GCD＝∠BCD＝64°，∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，∴∠CGD＝110°﹣64°＝46°．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，判斷出△BCE是等腰三角形是解題的關鍵．9．（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線交AF于點G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數．【分析】（1）根據角平分線定義得到∠DAF＝∠CAF，根據平行線的性質得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到結論；（2）根據三角形的內角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性質得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根據角平分線定義得到ACE＝70°，根據平行線的性質即可得到結論．【解答】（1）證明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴ACE＝70°，∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關鍵．考點五．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．10．（2022秋?芝罘區期末）如圖，點P、Q是邊長為9cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A出發沿線段AB運動，點Q從頂點B出發沿線段BC運動，它們的速度都為1cm/s，其中一點到達終點后停止運動．在P、Q運動的過程中，設運動時間為t秒，若△PBQ為直角三角形，則t的值為（）A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6【分析】假設運動時間為t秒，則AP＝BQ＝tcm，AP＝BQ＝tcm，分當∠PQB＝90°和∠QPB＝90°時，兩種情況討論，利用含30度角的直角三角形的性質列出方程，解方程即可得出結論．【解答】解：假設運動時間為t秒，則AP＝BQ＝tcm，AP＝BQ＝tcm，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，當∠PQB＝90°時，則∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，即9﹣t＝2t，解得t＝3；當∠QPB＝90°時，則∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，得t＝2（9﹣t），解得t＝6，∴當t＝6秒或3秒時，△PBQ為直角三角形．故選：D．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質、直角三角形的性質，熟知直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．11．（2022秋?河西區期末）如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上一點，以AD為邊作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于點F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度數；（Ⅱ）求∠FDC的度數．【分析】（Ⅰ）根據等邊三角形的性質可得∠BAE＝60°，由于∠BAD＝15°，求得∠DAC的度數，進而求出∠CAE的度數；（Ⅱ）∠CAE即∠BAE與∠BAC之差，∠FDC可用∠ADC減去∠ADE得到．【解答】解：（Ⅰ）∵三角形ABC為等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，∵∠DAE＝80°，∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．【點評】本題考查了等邊三角形的性質及三角形內角和定理；利用三角形內角和求角度是解題的關鍵．12．（2022秋?海門市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足為點F．（1）求證：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周長．【分析】（1）根據等邊三角形的性質可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性質即可得出結論；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的長，進而可得出結論．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC為等邊三角形，BD是中線，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質，熟知邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°是解題的關鍵．13．（2022秋?建昌縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，在直線BC的下方有一點D，且DB＝DC，連接AD交BC于點E．（1）判斷AD與BC的位置關系，并說明理由；（2）過點D作DF∥AB，AC＝5，FC＝3，求DF的長．【分析】（1）根據等邊三角形的性質可得AB＝AC，由DB＝DC得點A，D在線段BC的垂直平分線上，即AD⊥BC且AD平分BC；（2）△ABC是等邊三角形，又由（1）知AD垂直平分BC，可得∠CAD的度數，由平行得，∠CFD＝∠BAC＝60°，從而可得∠ADF的度數，推出AF＝DF，即可得出答案．【解答】解：（1）AD⊥BC且AD平分BC，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC．∵DB＝DC，∴點A，D在線段BC的垂直平分線上，即AD⊥BC且AD平分BC．（2）∵△ABC是等邊三角形，又由（1）知AD垂直平分BC，∴．∵DF∥AB，∴∠CFD＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝∠CFD﹣∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴∠ADF＝∠CAD＝30°，∴AF＝DF，∵AF＝AC﹣FC＝5﹣3＝2，∴DF＝2．【點評】本題考查了等邊三角形的性質以及線段垂直平分線的判定、平行線的性質、三角形的外角性質、等腰三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相關知識的性質．考點六．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．14．（2022秋?南平期末）如圖，在△ABC中，BD是中線，延長BC到點E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求證：△ABC是等邊三角形．【分析】根據等腰三角形的性質，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根據線段垂直平分線的性質得到AB＝BC，從而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可證明．【解答】證明：∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠BDC＝90°，∵BD是中線，∴AB＝BC，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．【點評】本題考查了等邊三角形的判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形．也考查了等腰三角形的性質．15．（2022秋?叢臺區校級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．點D，E在BC邊上，且AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度數；（2）求證：△ADE是等邊三角形．【分析】（1）根據等邊對等角，以及三角形的內角和定理求解即可；（2）根據∠B＝∠C＝30°，再根據AD⊥AC，AE⊥AB，和三角形的內角和定理，證明∠ADE＝∠AED＝60°，得到∠DAE＝60°，即可證明△AED為等邊三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴，∴∠C＝30°；（2）證明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△AED為等邊三角形．【點評】本題考查等邊三角形的判定，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握等邊對等角，以及三角形的內角和是180°是解題的關鍵．考點七．等邊三角形的判定與性質（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當的判定方法，一般地，若從一般三角形出發可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發，則想法獲取一個60°的角判定．16．（2023春?開江縣校級期末）如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動．（1）當點P的運動速度是1cm/s，點Q的運動速度是2cm/s，當Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），當t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）當它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s），則當t為何值時，△PBQ是直角三角形？【分析】（1）先根據等邊三角形的性質得：AB＝6cm，∠B＝60°，當t＝2時，計算BP和BQ的長，根據等邊三角形的判定可得結論；（2）若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根據直角三角形含30度角的性質列方程可解答．【解答】解：（1）如圖，根據題意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，當t＝2時，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等邊三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①當∠BQP＝90°時，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②當∠BPQ＝90°時，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：當t＝2s或t＝4s時，△PBQ是直角三角形．【點評】本題主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質和判定，幾何動點問題，熟練掌握直角三角形含30度角的性質是關鍵．17．（2023春?揭東區期末）已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結論】如圖1，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發，解答題目】如圖2，當點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結論，設計新題】在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應圖形，并直接寫出結果）．【分析】（1）由E為等邊三角形AB邊的中點，利用三線合一得到CE垂直于AB，且CE為角平分線，由ED＝EC，利用等邊對等角及等腰三角形的性質得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；（2）AE＝DB，理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F，由三角形ABC為等邊三角形，得到三角形AEF為等邊三角形，進而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等，利用全等三角形對應邊相等得到DB＝EF，等量代換即可得證；（3）點E在AB延長線上時，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的長即可．【解答】解：（1）當E為AB的中點時，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F，證明：∵△ABC為等邊三角形，∴△AEF為等邊三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，則AE＝DB；（3）點E在AB延長線上時，作EF∥AC，則△EFB為等邊三角形，如圖所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，則CD＝BC+DB＝3．故答案為：（1）＝；（2）＝【點評】此題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．18．（2023春?東港市期末）如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．【分析】（1）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；（2）根據全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，結合（1）中的結論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；（3）根據題中所給的全等及∠AOB的度數可得∠AOD的度數，根據等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．【解答】證明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①當∠AOD＝∠ADO時，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②當∠AOD＝∠OAD時，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③當∠ADO＝∠OAD時，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．綜上所述：當α＝110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．【點評】綜合考查了全等三角形的性質及等腰三角形的判定；注意應分類探討三角形為等腰三角形的各種情況．考點八．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．19．（2022秋?靖西市期末）如圖，一條船上午8時從海島A出發，以20海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船繼續向正北航行，問上午幾時小船與燈塔C的距離最短？【分析】（1）根據三角形的外角的性質，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故AB＝BC＝40（海里）．（2）如圖，過點C作CP⊥AB于點P，根據垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離．欲確定什么時間小船與燈塔C的距離最短，求得AP．根據三角形內角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．根據含30度角的直角三角形的性質，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得PB＝BC＝20（海里），那么AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里），從而解決此題．【解答】解：（1）由題意得：AB＝20×2＝40（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝40（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為40海里．（2）如圖，過點C作CP⊥AB于點P．∴根據垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴PB＝BC＝20（海里），∴AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里）．∴航行的時間為60÷20＝3（時）．∴若這條船繼續向正北航行，上午11時小船與燈塔C的距離最短．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性質、含30°角的直角三角形的性質、垂線段最短，熟練掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性質、含30°角的直角三角形的性質、垂線段最短是解決本題的關鍵．20．（2023春?青島期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點D，E．（1）求證：AE＝2CE；（2）連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．【分析】（1）連接BE，由垂直平分線的性質可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性質可證得BE＝2CE，則可證得結論；（2）由垂直平分線的性質可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可證明△BCD為等邊三角形．【解答】（1）證明：連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等邊三角形，理由如下：連接CD．∵DE垂直平分AB，∴D為AB中點，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等邊三角形．【點評】本題主要考查線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．考點九．生活中的軸對稱現象（1）軸對稱的概念：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱軸對稱；這條直線叫做對稱軸．（2）軸對稱包含兩層含義：①有兩個圖形，且這兩個圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；②對重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對折后能夠重合．21．（2022秋?東阿縣期末）下列是四張益智器具圖片，從對稱的角度來看，哪一張與另三張不一樣（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念，對各選項分析判斷，即可解答．【解答】解：A、是軸對稱圖形；B、不是軸對稱圖形；C、是軸對稱圖形；D、是軸對稱圖形；所以，上列是四張益智器具圖片，從對稱的角度來看，B圖與另三張不一樣，故選：B．【點評】本題考查了生活中的軸對稱現象，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．22．（2022秋?高陽縣校級期末）如圖是跳棋盤，其中格點上的黑色點為棋子，剩余的格點上沒有棋子，我們約定跳棋游戲的規則是：把跳棋棋子在棋盤內沿直線隔著棋子對稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點A為乙方一枚棋子，欲將棋子A跳進對方區域（陰影部分的格點），則跳行的最少步數為（）A．2步 B．3步 C．4步 D．5步【分析】根據題意，結合圖形，由軸對稱的性質判定正確選項．【解答】解：觀察圖形可知：先向右跳行，在向左，最后沿著對稱的方法即可跳到對方那個區域，所以最少是3步．故選B．【點評】此題考查軸對稱的基本性質，注意：對稱軸垂直平分對應點的連線．通過對稱的性質找到最短的路線是解題的關鍵．考點十．軸對稱的性質（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質得到一下結論：①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．23．（2023春?興慶區校級期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關于直線l對稱，則AC＝（）A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'【分析】先根據△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出AC＝A'C′．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AC＝A'C′．故選：D．【點評】本題考查的是軸對稱的性質，熟知關于軸對稱的兩個圖形全等是解答此題的關鍵．24．（2022秋?昆明期末）如圖，在3×3的正方形網格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的△ABC為格點三角形，在圖中與△ABC成軸對稱的格點三角形可以畫出（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【分析】根據網格結構分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可得解【解答】解：如圖，最多能畫出6個格點三角形與△ABC成軸對稱．故選：A．【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網格結構并準確找出對應點的位置是解題的關鍵，本題難點在于確定出不同的對稱軸．25．（2023春?永春縣期末）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD；②∠A的平分線AE；③BC邊上的高AF．根據所學知識與相關活動經驗可知：上述三條線中，能夠通過折紙折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】根據三角形的中線，角平分線以及高的定義作答．【解答】解：①BC邊上的中線AD：如圖1，使點B、C重合，中點為點D，連接AD，此時AD即為BC邊上的中線；②∠A的平分線AE：如圖2，沿直線AE折疊，使AB與AC重疊，此時AE即為BC邊上的角平分線；③BC邊上的高AF：如圖3，沿直線AF折疊，使BF與CF重合，此時AF即為BC邊上的高．綜上所述，所有能夠通過折紙折出的有①②③．故選：A．【點評】本題考查的是軸對稱的性質，涉及到圖形的翻折變換，三角形的角平分線、中線以及高線，掌握三角形的角平分線、中線以及高線的幾何意義是解題的關鍵．考點十一．軸對稱圖形（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數條．（3）常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．26．（2022秋?鎮江期末）我市積極普及科學防控知識，下面是科學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）A．防控疫情我們在一起 B．有癥狀早就醫 C．打噴嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通風【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．27．（2022秋?望城區期末）如圖是2×5的正方形網格，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形．則在網格中，能畫出且與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用軸對稱圖形的性質結合題意得出答案．【解答】解：如圖所示：在網格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有4個，故選：D．【點評】此題主要考查了軸對稱的性質，正確掌握軸對稱圖形的性質是解題關鍵．考點十二．鏡面對稱1、鏡面對稱：有時我們把軸對稱也稱為鏡面（鏡子、鏡像）對稱，如果沿著圖形的對稱軸上放一面鏡子，那么在鏡子里所放映出來的一半正好把圖補成完整的（和原來的圖形一樣）．2、鏡面實質上是無數對對應點的對稱，連接對應點的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡面上有每一對對應點的對稱軸．3、關于鏡面問題動手實驗是最好的辦法，如手頭沒有鏡面，可以寫在透明紙上，從反面看到的結果就是鏡面反射的結果．28．（2022秋?汾陽市期末）如圖，這是平面鏡成像的示意圖，若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，平面鏡所在點的豎線為y軸（鏡面厚度忽略不計）建立平面直角坐標系，某時刻火焰頂部S的坐標是（﹣1.5，1），則此時對應的虛像S'的坐標是（）A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）【分析】利用關于y軸對稱點的性質得出答案．【解答】解：某時刻火焰頂部S的坐標是（﹣1.5，1），則此時對應的虛像S'的坐標是（1.5，1）．故選：D．【點評】此題主要考查了鏡面對稱，正確掌握軸對稱圖形的性質是解題關鍵．29．（2022秋?芮城縣期末）小剛從鏡子中看到的電子表的讀數是[15：01]，則電子表的實際度數是．【分析】鏡子中看到的數字與實際數字是關于鏡面成垂直的線對稱．注意鏡子的5實際應為2．【解答】解：如圖：電子表的實際時刻是10：21．故答案為10：21．【點評】此題主要考查了鏡面對稱，可以把數據抄下來，反過來看看，這樣最直觀．考點十三．關于x軸、y軸對稱的點的坐標（1）關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數．即點P（x，y）關于x軸的對稱點P′的坐標是（x，﹣y）．（2）關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變．即點P（x，y）關于y軸的對稱點P′的坐標是（﹣x，y）．30．（2022秋?新鄉期末）在平面直角坐標系中，已知點A與點B關于x軸對稱，已知點B與點C關于y軸對稱，點A的坐標為（﹣1，2），則點C的坐標為（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1）【分析】根據關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數，可得答案．【解答】解：點A的坐標為（﹣1，2），點B與點A關于x軸對稱，得B（﹣1，﹣2）；點C與點B關于y軸對稱，得C（1，﹣2）．故選：B．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．31．（2022秋?天津期末）已知點A（m，2）和B（3，n）關于y軸對稱，則（m+n）2023的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2023【分析】根據關于y軸對稱點的特點，求出m＝﹣3，n＝2，然后代入求值即可．【解答】解：∵點A（m，2）和B（3，n）關于y軸對稱，∴m＝﹣3，n＝2，∴（m+n）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故B正確．故選：B．【點評】本題主要考查了關于y軸對稱點的坐標特點，代數式求值，乘方運算，解題的關鍵是熟記關于y軸對稱的點，橫坐標互為相反數，縱坐標相同．考點十四．坐標與圖形變化對稱（1）關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數．（2）關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數．（3）關于直線對稱①關于直線x＝m對稱，P（a，b）?P（2m﹣a，b）②關于直線y＝n對稱，P（a，b）?P（a，2n﹣b）32．（2022秋?開江縣校級期末）如圖，在直角坐標系中，直角三角形ABC的頂點A在x軸上，頂點B在y軸上，∠ACB＝90°，OB∥AC，點C的坐標為（1，2），點D和點C關于AB成軸對稱，且AD交y軸于點E．那么點E的坐標為（）A． B． C． D．【分析】根據已知條件得到AC＝OB＝2，BC＝OA＝1，根據軸對稱的性質得到∠DAB＝∠CAB，根據平行線的性質得到∠ABE＝∠BAC，于是得到∠ABE＝∠BAE，根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵點C的坐標為（1，2），∴AC＝OB＝2，BC＝OA＝1，∵點D和點C關于AB成軸對稱，∴∠DAB＝∠CAB，∵OB∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，∵AE2＝OE2+OA2，∴（2﹣OE）2＝OE2+12，∴OE＝，∴E（0，），故選：B．【點評】本題考查了坐標與圖形變換﹣對稱，勾股定理，熟練掌握對稱的性質是解題的關鍵．33．（2022秋?長沙期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點（0，1），△ABC關于直線l對稱，點B的坐標為（﹣1，﹣1），則點C的坐標為（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）【分析】根據軸對稱的兩點到對稱軸的距離相等，即可得出答案．【解答】解：根據題意得出點A和點B是關于直線y＝1對稱的對應點，它們到y＝1的距離相等是2個單位長度，所以點C的坐標是（﹣1，1+2），即（﹣1，3）．故選：B．【點評】此題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，解此類問題的關鍵是要掌握軸對稱的性質：對稱軸垂直平分對應點的連線．利用此性質可在坐標系中得到對應點的坐標．考點十五．作圖軸對稱變換幾何圖形都可看做是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的，一般的方法是：①由已知點出發向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點，即為對稱點；③連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形．34．（2022秋?陜州區期末）如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣1，2）、B（﹣4，0）、C（﹣3，﹣2）．（1）在圖中作出△ABC關于y軸的對稱圖形△A′B′C'，并寫出點B′的坐標；（2）請直接寫出△ABC的面積；（3）若點M（m﹣1，3）與點N（﹣2，n+1）關于x軸對稱，請直接寫出m、n的值．【分析】（1）根據軸對稱的性質即可畫出△A′B′C'進而可得點B′的坐標；（2）根據網格即可求出△ABC的面積；（3）根據點M（m﹣1，3）與點N（﹣2，n+1）關于x軸對稱，即可寫出m、n的值．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C'即為所求，點B′的坐標為（4，0）；（2）△ABC的面積為：3×4﹣2×3﹣2×4﹣1×2＝12﹣3﹣4﹣1＝4；（3）∵點M（m﹣1，3）與點N（﹣2，n+1）關于x軸對稱，∴m﹣1＝﹣2，n+1＝﹣3，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質．35．（2022秋?碑林區期末）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點位置如圖所示．（1）請畫出△ABC關于x軸對稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應點）；（2）直接寫出△A′B′C′三點的坐標：A′，B′，C′；（3）求AC′的長為．考點十六．軸對稱最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．36．（2023春?宣漢縣校級期末）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AD的長，再再根據EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結論．【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故選：C．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．37．（2022秋?思明區期末）如圖，在正方形網格中，直線l與網格線重合，點A，C，A′，B′均在網格點上．（1）已知△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，請在圖上把△ABC和△A′B′C′補充完整：（2）在以直線l為y軸的坐標系中，若點A的坐標為（a，b），則點A′的坐標為；（3）在直線l上畫出點P，使得PA+PC最短．【分析】（1）根據軸對稱的性質作圖即可；（2）根據關于y軸對稱的點的坐標特征求解即可；（3）連接A'C，與直線l交于點P，連接PA，此時PA+PC最短．【解答】解：（1）如圖，△ABC和△A′B′C′即為所求；（2）由題意可得，點A′的坐標為（﹣a，b）．故答案為：（﹣a，b）；（3）如圖，點P即為所求．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線問題、作圖﹣軸對稱變換、坐標與圖形性質，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．38．（2022秋?劍閣縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M．（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大?。?）連接MB，若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長；②在直線MN上是否存在點P，使PB+CP的值最小，若存在，標出點P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，說明理由．【分析】根據垂直平分線的性質，可得AM與MB的關系，再根據三角形的周長，可得答案；根據兩點之間線段最短，可得P點與M點的關系，可得PB+PC與AC的關系．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；（2）∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周長是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（3）當點P與點M重合時，PB+CP的值最小，為AC長，最小值是8cm．【點評】本題考查了軸對稱，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得出PB＝PA．39．（2022秋?西鄉塘區校級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E，若△ABC為等邊三角形，∠BAD＝90°，AD＝DC＝2．（1）求證：BD垂直平分AC；（2）求BE的長；（3）若點F為BC的中點，請在BD上找出一點P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值為3（直接寫出結果）．【分析】（1）根據線段垂直平分線性質定理的逆定理證明即可；（2）根據∠ABD＝30°，確定BD＝4；根據∠EAD＝30°，確定ED＝1；根據BE＝BD﹣ED計算即可；（3）根據軸對稱的性質求線段和的最值問題，然后根據等邊三角形的性質確定即可．【解答】解：（1）∵AD＝DC，∴點D在線段AC的垂直平分線上；∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴點B在線段AC的垂直平分線上；根據兩點確定一條直線，∴BD是線段AC的垂直平分線；∴BD垂直平分AC；（2）∵△ABC是等邊三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，∴∠ABD＝30°，∠EAD＝30°，∵AD＝DC＝2，∴BD＝4，ED＝1，∴BE＝BD﹣ED＝4﹣1＝3；（3）∵BD垂直平分AC，∴點C關于直線BD的對稱點為點A，連接AF，交BD于點P，則點P即為所求；∵△ABC是等邊三角形，BF＝CF，∴AF⊥BC，∴AF＝BE＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，線段垂直平分線的判定，含30度角的直角三角形的性質，軸對稱的性質，熟練掌握以上知識是解題關鍵．40．（2022秋?松原期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交邊AB于點D，點E是邊AB的中點．點P為邊CB上的一個動點．（1）AE＝，∠ACD＝度；（2）當四邊形ACPD為軸對稱圖形時，求CP的長；（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數；（4）若點M在線段CD上，連接MP、ME，直接寫出MP+ME的值最小時CP的長度．【分析】（1）根據題意可得∠B＝30°，則AB＝2AC＝2AE，即可求出AE的長，再根據角平分線的性質即可求出∠ACD的度數．（2）根據軸對稱圖形的性質即可解答．（3）根據題意可得∠PCD＝45°，分三種情況：當PC＝PD時；當DP＝DC時；當CP＝CD時．再依次根據三角形內角和定理即可求解．（4）過點M作MP⊥BC，作點P關于CD的對稱點P′，根據題意可得∠PCM＝∠P′CM，CM＝CM，∠MPC＝∠MP′C＝90°，根據AAS可證明△PCM≌△P′CM，則PM＝P′M，CP＝CP′，因此MP+ME＝MP′+ME≥EP′，以此得出當點E、M、P′三點共線時，MP+ME的值最小，此時EP′∥BC，最后根據解含30度角的直角三角形即可得到結果．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝8，∵點E是邊AB的中點，∴，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝°＝45°；故答案為：4，45．（2）∵四邊形ACPD為軸對稱圖形，CD平分∠ACB，∴對稱軸為直線CD，∴CP＝CA＝4；（3）∵CD平分∠ACB，∴∠PCD＝45°，當PC＝PD時，∠PDC＝∠PCD＝45°，∴∠CPD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝90°；當DP＝DC時，∠CPD＝∠PCD＝45°；當CP＝CD時，∠CPD＝∠CDP＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°；綜上，∠CPD的度數為90°或45°或67.5°．（4）如圖，點M在CD上，且MP⊥BC，作點P關于CD的對稱點P′，∵MP⊥BC，∴MP′⊥AC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCM＝∠P′CM，在△PCM和△P′CM中，，∴△PCM≌△P′CM（AAS），∴PM＝P′M，CP＝CP′，∵MP+ME＝MP′+ME≥EP′，∴當點E、M、P′三點共線時，MP+ME的值最小，又∵根據垂線段最短，∴當EP′⊥AC時，EP′有最小值，∴EP′∥BC，∴∠AEP′＝∠B＝30°，∠AP′E＝∠ACB＝90°，∵AE＝4，∴AP′＝＝2，∴CP＝CP′＝AC﹣AP′＝2．【點評】本題主要考查軸對稱﹣最短路線問題、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、含30度角的直角三角形、角平分線的性質，本題綜合性較強，作出輔助線，得出當點E、M、P′三點共線時，MP+ME的值最小是解題關鍵．【核心素養提升】1邏輯推理——用轉化思想求圖形的周長1．（2023秋?廣陵區月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD＝DE．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度數；（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周長．【分析】（1）根據線段垂直平分線和等腰三角形性質得出AE＝CE，求出∠C＝∠EAC，即可得出答案；（2）根據已知能推出2DC+AC＝13，即可得出答案．【解答】（1）解：∵EF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠C＝∠EAC＝40°，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°，∴∠BAD＝90°﹣80°＝10°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE＝DC，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝2DC+AC＝2×4+5＝13．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線性質，三角形外角性質的應用，主要考查學生綜合運行性質進行推理和計算的能力，題目比較好，難度適中．2．（2022秋?興化市月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝110°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數；（2）如果BC＝10，求△DAF的周長．【分析】（1）根據三角形內角和定理可求∠B+∠C；根據垂直平分線性質，DA＝BD，FA＝FC，則∠EAD＝∠B，∠FAC＝∠C，得出∠DAF＝∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC＝110°﹣（∠B+∠C）求出即可．（2）由（1）中得出，AD＝BD，AF＝FC，即可得出△DAF的周長為BD+FC+DF＝BC，即可得出答案．【解答】解：（1）設∠B＝x，∠C＝y．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴110°+∠B+∠C＝180°，∴x+y＝70°．∵AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G，∴DA＝BD，FA＝FC，∴∠EAD＝∠B，∠FAC＝∠C．∴∠DAF＝∠BAC﹣（x+y）＝110°﹣70°＝40°．（2）∵AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G，∴DA＝BD，FA＝FC，∴△DAF的周長＝AD+DF+AF＝BD+DF+FC＝BC＝10．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質、三角形內角和定理以及等腰三角形的性質．注意掌握垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等定理的應用，注意數形結合思想與整體思想的應用．2分類討論思想3．（2022秋?建鄴區校級期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，動點P從點C出發，沿著CB運動，速度為每秒2個單位，到達點B時運動停止，設運動時間為t秒，請解答下列問題：（1）求BC上的高；（2）當t為何值時，△ACP為等腰三角形？【分析】（1）過點A作AD⊥BC于點D，根據三角形的面積公式解答即可；（2）根據等腰三角形的性質分三種情況進行解答即可．【解答】解：（1）過點A作AD⊥BC于點D，∵AB2+AC2＝100BC2＝100∴AB2+AC2＝BC2∴∠BAC＝90°即△ABC為直角三角形，∴∴AD＝4.8；（2）當AC＝PC時，∵AC＝6，∴AC＝PC＝6，∴t＝3秒；當AP＝AC時，過點A作AD⊥BC于點D，PD＝DCCD＝＝3.6，∴PC＝7.2，∴t＝3.6秒；當AP＝PC時，∠PAC＝∠C∵∠BAC＝90°∴∠BAP+∠PAC＝90°∠B+∠C＝90°∴∠BAP＝∠B∴PB＝PA∴PB＝PC＝5∴t＝2.5綜上所述，t＝3秒或3.6秒或2.5秒．【點評】此題考查等腰三角形的判定和性質，關鍵是根據等腰三角形的性質分三種情況進行解答．3數學建?！獦嫿ǚ匠棠Ｐ徒鉀Q問題4．（2022秋?淮安區期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．（1）BP＝（用t的代數式表示）（2）當點Q在邊BC上運動時，出發幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當點Q在邊CA上運動時，出發秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【分析】（1）根據題意即可用t可分別表示出BP；（2）結合（1），根據題意再表示出BQ，然后根據等腰三角形的性質可得到BP＝BQ，可得到關于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質可分CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當點Q在邊BC上運動，△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①當△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當t為11或12時，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．【點評】本題考查了等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應用．4數形結合思想5．（2022秋?興化市校級月考）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系．（1）如圖1，當點M、N在邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是；此時＝；（2）如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數量關系如何？并給出證明．【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD＝BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質，即可求得BM、NC、MN之間的數量關系BM+NC＝MN，此時；（2）在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易證得∠CDN＝∠MDN＝60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質，即可得結論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后證得∠CDN＝∠MDN＝60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC﹣BM＝MN．【解答】解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數量關系BM+NC＝MN，此時，理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴＝；（2）猜想：結論仍然成立，證明：在NC的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1，∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周長為：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴＝；（3）證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可證∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【點評】此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的作法．【中考熱點聚焦】熱點1.軸對稱的性質6.（2021?深圳）如圖所示，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1個單位．（1）過直線m作四邊形ABCD的對稱圖形；（2）求四邊形ABCD的面積．【解答】解：（1）如圖所示，四邊形A'B'C'D'即為所求；（2）四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．7．（2020?吉林）圖①、圖②、圖③都是3×3的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．A，B，C均為格點．在給定的網格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與AB重合的線段MN，使MN與AB關于某條直線對稱，且M，N為格點．（2）在圖②中，畫一條不與AC重合的線段PQ，使PQ與AC關于某條直線對稱，且P，Q為格點．（3）在圖③中，畫一個△DEF，使△DEF與△ABC關于某條直線對稱，且D，E，F為格點．【解答】解：（1）如圖①，MN即為所求；（2）如圖②，PQ即為所求；（3）如圖③，△DEF即為所求．（答案不唯一）．8．（2022?桂林）如圖，在平面直角坐標系中，形如英文字母“V”的圖形三個端點的坐標分別是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．（1）畫出“V”字圖形向左平移2個單位后的圖形；（2）畫出原“V”字圖形關于x軸對稱的圖形；（3）所得圖形與原圖形結合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個即可）【解答】解：（1）如圖1，（2）如圖2，（3）圖1是W，圖2是X．熱點2.平面直角坐標系中點的對稱9．（2023?常州）在平面直角坐標系中，若點P的坐標為（2，1），則點P關于y軸對稱的點的坐標為（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）【分析】根據關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數，可得答案．【解答】解：點P的坐標是（2，1），則點P關于y軸對稱的點的坐標是（﹣2，1），故選：C．【點評】本題考查了關于y軸的對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．10．（2023?臨沂）某小區的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）【分析】關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數，據此可得答案．【解答】解：若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（6，2）．故選：A．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數．11．（2022?臺州）如圖是戰機在空中展示的軸對稱隊形．以飛機B，C所在直線為x軸、隊形的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系．若飛機E的坐標為（40，a），則飛機D的坐標為（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）【分析】根據軸對稱的性質即可得到結論．【解答】解：∵飛機E（40，a）與飛機D關于y軸對稱，∴飛機D的坐標為（﹣40，a），故選：B．【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．12．（2023?懷化）在平面直角坐標系中，點P（2，﹣3）關于x軸對稱的點P′的坐標是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）【分析】根據關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數．即點P（x，y）關于x軸的對稱點P′的坐標是（x，﹣y），進而得出答案．【解答】解：點P（2，﹣3）關于x軸對稱的點P′的坐標是（2，3）．故選：D．【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質，正確掌握關于x軸對稱點的坐標特點是解題關鍵．13．（2023?聊城）如圖，在直角坐標系中，△ABC各點坐標分別為A（﹣2，1），B