重難點23與圓有關的最值與范圍問題【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1斜率型最值（范圍）問題】 2【題型2直線型最值（范圍）問題】 5【題型3定點到圓上點的最值（范圍）】 7【題型4圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）】 9【題型5過圓內定點的弦長最值（范圍）問題】 12【題型6圓的切線長度最值（范圍）問題】 14【題型7周長面積型最值（范圍）問題】 16【題型8數量積型最值（范圍）問題】 18【題型9坐標、角度型最值（范圍）問題】 21【題型10長度型最值（范圍）問題】 241、與圓有關的最值與范圍問題從近幾年的高考情況來看，與圓有關的最值與范圍問題是高考的熱點問題，由于圓既能與平面幾何相聯系，又能與圓錐曲線相結合，命題方式比較靈活，故與圓相關的最值與范圍問題備受命題者的青睞.此類問題考查形式多樣，對應的解題方法也是多種多樣，需要靈活求解.【知識點1與距離有關的最值問題】在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發生變化，在變化過程中，就會出現一些最值問題，如距離最小、最大、范圍等.這些問題常常聯系到平面幾何知識，利用數形結合思想進行求解得到相關結論.1．圓上的點到定點的距離最值問題一般都是轉化為點到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值.2．圓上的點到直線的距離最值問題已知圓C和圓外的一條直線l，則圓上點到直線距離的最小值為：，距離的最大值為：.【知識點2利用代數法的幾何意義求最值】1．利用代數法的幾何意義求最值(1)形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.(2)形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉化為曲線上的點到點(a,b)的距離平方的最值問題.【知識點3切線長度最值問題】1．圓的切線長度最值問題(1)代數法：直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統一成一個，轉化成函數求最值；(2)幾何法：把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題.【知識點4弦長最值問題】1．過圓內定點的弦長最值問題已知圓C及圓內一定點P，則過P點的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦.【知識點5解決與圓有關的最值與范圍問題的常用方法】1．與圓有關的最值與范圍問題的解題方法(1)數形結合法：處理與圓有關的最值問題，應充分考慮圓的幾何性質，并根據代數式的幾何意義，借助數形結合思想求解.(2)建立函數關系求最值：根據題目條件列出關于所求目標函數的關系式，然后根據關系的特點選用參數法、配方法、判別式法等進行求解.(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表達式是滿足基本不等式的結構特征，如a·b或者a+b的表達式求最值，常常利用題設條件建立兩個變量的等量關系，進而求解最值.同時需要注意，“一正二定三相等”的驗證.(4)多與圓心聯系，轉化為圓心問題.(5)參數方程：進行三角換元，通過參數方程，進行求解.【題型1斜率型最值（范圍）問題】【例1】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）已知P(m,n)為圓C:(x?1)2+(y?1)2=1上任意一點，則m+nm+1的最大值為（

）A．33 B．?33 C．1+【解題思路】根據圓上任意一點P(m,n)到定點A?1,1【解答過程】m+nm+1由于P(m,n)為圓C:(x?1)故n?1m+1可看作圓上任意一點P(m,n)到定點A當直線PA與圓相切時，此時斜率最大，由于相切時，AC=2,CP=1故PA故m+nm+1的最大值為1+故選：C.【變式1-1】（2024·河南·模擬預測）已知點Px,y在圓x?12+y?12A．?6?30 B．6+30 C．?6+30【解題思路】將y?4x?3看作時圓上的點Px,y到點【解答過程】4?yx?3看作圓上的點Px,y到點當經過點A3,4設切線方程為y=kx?3+4，所以圓心到切線的距離等于半徑，故?2k+31+k2=3，解得k=6±故選：C.【變式1-2】（2024·陜西商洛·三模）已知Px0,y0是圓C:A．?2 B．?12 C．?4?7【解題思路】y0+1x【解答過程】設k=y0+1則y0+1x圓C:x2+所以圓C的圓心為1,1，半徑為1.因為Px0,所以圓C與直線kx?3?y?1=0有公共點，即圓的圓心C1,1到直線k所以k1?3?1?1k即y0+1x故選:D.【變式1-3】（2024·福建南平·三模）已知Pm,n為圓C：x?12+y?12=1上任意一點，則【解題思路】將n?1m+1轉化為點Pm,n和?1,1連線的斜率，由圖像可知當直線與圓相切時取得最大值，由【解答過程】由于n?1m+1=n?1m?(?1)，故n?1m+1表示Pm,n和?1,1連線的斜率，設設此時MP:y?1=k(x+1)，即kx?y+k+1=0，又圓心1,1，半徑為1，故k?1+k+1k2+1故n?1m+1的最大值為3故答案為：33【題型2直線型最值（范圍）問題】【例2】（23-24高三上·河南·階段練習）已知點Px,y是圓C：x?a2+y2=3a>0上的一動點，若圓CA．4 B．26 C．?4 D．【解題思路】由圓所過點的坐標求得a，y?x可看成是直線y=x+b在y軸上的截距，直線與圓相切時，b取得最大值或最小值，由此可得．【解答過程】因為圓C：x?a2+y(1?a)2+2=3．又a>0，所以y?x可看成是直線y=x+b在y軸上的截距.如圖所示，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時2?0+b2=3所以y?x的最大值為?2+6，最小值為?2?6，故y?x的最大值與最小值之和為故選：C．【變式2-1】（24-25高二上·全國·課后作業）如果實數x,y滿足等式x2+y2+4x?2y?4=0，那么x2+y2的最大值是【解題思路】畫出圖形，通過數形結合，以及直線與圓的位置關系、所求代數式的幾何意義逐一求解即可.【解答過程】由x2+y2+4x?2y?4=0因為圓心?2,1到原點的距離為5，所以圓上的動點到原點距離的最大值為5+3則x2+y令2x?y=t，則?t是直線2x?y=t在y軸上的截距，當直線與圓相切時，直線2x?y=t在y軸上的截距，一個是最大值，一個是最小值，此時，圓心?2,1到直線2x?y=t的距離d=?4?1?t5=3所以2x?y的最大值為35故答案為：14+65；3【變式2-2】（23-24高二上·黑龍江綏化·階段練習）已知x，y是實數，且x?12(1)求3x+4y的最值；(2)求yx(3)求x2【解題思路】（1）首先設3x+4y=z，利用直線與圓有交點，列式求z的最值；（2）首先設k=yx，轉化為直線kx?y=0與圓有交點，列不等式求（3）根據x2【解答過程】（1）設3x+4y=z，化為3x+4y?z=0，可知直線3x+4y?z=0與圓x?12+y?2有3+8?z5≤2，解得可得3x+4y的最小值為1，最大值為21；（2）設k=yx，化為可知直線kx?y=0與圓x?12有k?2k2+1≤2，解得故yx的取值范圍為?（3）x2+y圓x?12+y?2故x2+y2的最小值為【變式2-3】（2024高三·全國·專題練習）已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx(2)y＋x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【解題思路】（1）令yx＝t，進行求解即可（2）令y＋x＝m，得其縱截距在兩相切位置對應的縱截距之間，進行求解即可；（3）根據x2＋y2的幾何意義，進行求解即可.【解答過程】（1）如圖，令yx＝t，則x2＋t2x2－4x＋1＝0，即（1＋t2）x2－4x＋1＝0.由Δ≥0得－3≤t≤3所以yx的最小值為－3，最大值為3（2）令y＋x＝m，得y＝－x＋m.直線y＝－x＋m與圓x2＋y2－4x＋1＝0有公共點時，其縱截距在兩相切位置對應的縱截距之間，而相切時有＝3，|m－2|＝6，m＝2±6.所以y＋x的最大值為2＋6，最小值為2－6.（3）如圖，x2＋y2是圓上點到原點距離的平方，故連接OC，與圓交于點B，并延長交圓于C′，可知B到原點的距離最近，點C′到原點的距離最大，此時有OB＝x2+y2＝2－3，OC′＝則（x2＋y2）max＝OC′2＝7＋43，（x2＋y2）min＝OB2＝7－43.【題型3\t"/gzsx/zsd29136/_blank"\o"定點到圓上點的最值（范圍）"定點到圓上點的最值（范圍）】【例3】（2024·陜西銅川·三模）已知圓C:(x?a)2+(y?b)2A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】由題意及圓的定義得圓心所在的軌跡方程，然后利用點與圓的位置關系求解最大值即可.【解答過程】由圓C:(x?a)2+(x?b)2即(a?3)2+(b?4)2=1又AO=32故選：C.【變式3-1】（23-24高三下·山東濟南·開學考試）已知P是圓O:x2+y2=9上的動點，點Q滿足PQ=A．8 B．9 C．29+3 D．【解題思路】首先求點Q的軌跡方程，再利用點與圓的位置關系，求AQ的最大值.【解答過程】設Qx,y，P由PQ=x?x0,y?因為點P在圓O上，即x0則x?32所以點Q的軌跡是以3,?4為圓心，3為半徑的圓，因為A1,1，1?32+所以AQ的最大值為1?32故選：C.【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）M點是圓C:(x+2)2+y2=1上任意一點，AB為圓C1:(x?2)2+A．1 B．2 C．3 D．47【解題思路】根據弦長公式先求出C1N=1，然后可知點N在以C【解答過程】圓C:(x+2)2+y2圓C1:(x?2)2+如圖所示，由弦長公式知|AB|=2r解得C1所以點N在以C1由圖可知，|MN|的最小值為CC故選：B．【變式3-3】（2024·四川樂山·三模）已知圓O:x2+y2=16，點F?2,12+19，點E是l:2x?y+16=0上的動點，過E作圓O的切線，切點分別為A，BA．32 B．352 C．5【解題思路】設M(x,y)，由△AOE～△MOA表示出點E坐標，代入直線方程得出點M的軌跡，根據點到圓上一點距離最小值求法計算即可．【解答過程】設M(x,y)，由題可知△AOE～△MOA，則|OA||OE|=|OM|所以|OE||OM|=|OA將點E的坐標代入l:2x?y+16=0，化簡得(x+1)2+y?故點M的軌跡是以?1,12為圓心，又(?2+1)2+1所以MF的最小值為(?1+2)2故選：B．【題型4\t"/gzsx/zsd29137/_blank"\o"圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）"圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）】【例4】（2024·河北邯鄲·模擬預測）已知M，N是圓C：x2+y2?2y?3=0上的兩個點，且MN=22，P為MN的中點，Q為直線lA．22 B．2 C．2?2 【解題思路】先根據弦長得出點P的軌跡，利用直線與圓的位置關系即可解決.【解答過程】圓C的標準方程：x2+(y?1)2由MN=22，可得所以點P在以C(0,1)為圓心，2為半徑的圓上，又點C到直線l：x?y?3=0的距離d=0?1?3所以PQ的最小值為22故選：B.【變式4-1】（2024·遼寧鞍山·二模）已知直線l:x?y?2=0，點C在圓x?12+y2=2上運動，那么點CA．322+1 B．522 【解題思路】確定圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，加上圓的半徑，即可得答案.【解答過程】圓x?12+y2=2則圓心1,0到直線l：x?y?2=0的距離為：d=1?0?2所以圓上的點C到直線l：x?y?2=0距離的最大值為：22故選：C.【變式4-2】（2024·河北·二模）已知Ax1,y1，Bx2,y2是圓x2+y2=9A．43 B．33 C．23【解題思路】連接OM、OA、OB，根據已知可得OA?OB=x1【解答過程】如圖，連接OM、OA、OB，由Ax1,y1，B即OA?又AM=2MB，則OM?所以OM=則動點M的軌跡方程為x2且圓心O到直線x+3y?43所以MP的最小值為23故選：D.【變式4-3】（2024·湖南岳陽·二模）已知點Ax1,y1,Bx2,A．16 B．12 C．8 D．4【解題思路】題目轉化為A、B到直線x+y?2=0的距離之和，變換得到|AC|+|BD|=2|EF|，利用數形結合轉化求解即可．【解答過程】因為A(x1，y1)、B(x2，因為|OA|=|OB|=4，則△AOB是等腰直角三角形，|x1+y1?2|+|x2+原點O到直線x+y?2=0的距離為d=2AC⊥CD，BD⊥CD，E是AB的中點，作EF⊥CD于F，且OE⊥AB，|AC|+|BD|=2|EF|，|OE|=1|EF|≤OE+d=32，當且僅當O,E,F三點共線，且E,F又|EF|=12|BD|+|AC|，故|x1+故選：B．【題型5\t"/gzsx/zsd29138/_blank"\o"過圓內定點的弦長最值（范圍）"過圓內定點的弦長最值（范圍）問題】【例5】（23-24高二上·重慶·期末）已知圓的方程為x2+y2?8x=0A．10 B．11 C．210 D．【解題思路】利用幾何法求弦長.【解答過程】如圖：x2+y2?8x=0?

由圖可知，當弦AB⊥CP時，弦長最短.此時，Rt△ACP中，CP=4?2所以：AP=所以弦長AB=2故選：D.【變式5-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知直線l:tx+y?2t?3=0(t∈R)與圓C:x?12+A．[23,8] B．[43,8] C．【解題思路】根據題意，求得直線恒過點P(2,3【解答過程】因為直線tx+y?2t?3=0(t∈R由x?2=0y?3=0，解得x=2,y=可得點P(2,3)在圓又由圓x?12+y2=16當直線l過圓心C(1,0)時，截得弦長AB最長，此時ABmax當直線l與PC垂直時，此時弦長AB最短，又由PC=可得ABmin所以弦長AB的取值范圍是[43故選：B.【變式5-2】（23-24高二上·廣東珠海·期末）已知直線l：mx?y?3m+1=0恒過點P，過點P作直線與圓C：(x?1)2+(y?2)2=25相交于A，BA．45 B．2 C．4 D．【解題思路】寫出直線的定點坐標并判斷與圓的位置關系，進而確定|AB|最小時直線與直線CP的位置關系，即可得結果.【解答過程】由m(x?3)?y+1=0恒過P(3,1)，又(3?1)2+(1?2)2=5<25要使|AB|最小，只需圓心C(1,2)與P的連線與該直線垂直，所得弦長最短，由|CP|=5所以ABmin故選：A.【變式5-3】（2024·江西贛州·二模）已知直線l:m+nx+m?ny?2m=0mn≠0A．l過定點1,?1 B．l與C一定相交C．若l平分C的周長，則m=1 D．l被C截得的最短弦的長度為4【解題思路】根據方程的形式，聯立方程x+y?2=0x?y=0【解答過程】選項A：l:m+n聯立x+y?2=0x?y=0，解得x=1y=1，所以l過定點選項B：因l過定點1,1，且1?22所以定點1,1在圓內，即l與C一定相交，故B正確；選項C：若l平分C的周長，則直線過圓心2,2，所以m+n×2+即m=0，故C錯誤；選項D：當定點1,1為弦的中點時，此時弦長最短，此時圓心2,2到弦所在直線的距離d=2?1則弦長22故選：B.【題型6圓的切線長度最值（范圍）問題】【例6】（2024·全國·模擬預測）已知P為直線l:x?y+1=0上一點，過點P作圓C:x?12+y2=1的一條切線，切點為A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】根據已知條件，結合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.【解答過程】連接CA，則PA=而PC的最小值為點C到直線l的距離d=1?0+1所以PAmin故選：A.【變式6-1】（2024·新疆·二模）從直線x?y+2=0上的點向圓x2+yA．22 B．1 C．24 【解題思路】先求出圓心和半徑，再將切線長的最小轉化為直線上的點與圓心的距離最小來求解即可.【解答過程】圓x2+y2?4x?4y+7=0直線x?y+2=0上的點P向圓x2+y則PA2要使切線長的最小，則PC最小，即直線上的點與圓心的距離最小，由點到直線的距離公式可得，|PC|所以切線長的最小值為(2故選：B.【變式6-2】（2024·四川宜賓·二模）已知點P是直線x+y+3=0上一動點，過點P作圓C:(x+1)2+y2A．23 B．22 C．2【解題思路】由題意可得PA=PC2?r2，則當【解答過程】圓C:(x+1)2+y2由題意可得PA⊥AC，則PA=則當PC取得最小值時，線段PA長度的最小，PCmin所以PAmin故選：D.【變式6-3】（2024·湖北·模擬預測）已知點P為直線l:3x?4y+12=0上的一點，過點P作圓C:x?32+y?22=1的切線PM，切點為A．125 B．135 C．1705【解題思路】分析可知CM⊥PM，由勾股定理可得PM=PC2?1，當PM取小值時，PC⊥l，求出圓心到直線【解答過程】由題意可知，圓C的圓心為C2,3，半徑為CM由圓的幾何性質可知，CM⊥PM，由勾股定理可得PM=所以要使切線長PM取最小值，只需PC取最小值即可.當直線PC與直線l:3x?4y+12=0垂直時，PC取最小值d=9?8+12則PM的最小值是135故選：A.【題型7周長面積型最值（范圍）問題】【例7】（2024·上海普陀·二模）直線l經過定點P(2,1)，且與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標原點，動圓M在△OAB的外部，且與直線l及兩坐標軸的正半軸均相切，則△OAB周長的最小值是（

）A．3 B．5 C．10 D．12【解題思路】先設動圓M的圓心M坐標為(m,m)，|OA|=a，|OB|=b，結合直線與圓相切的性質可得|OA|+|OB|+|AB|=|2m，當圓M與直線AB相切于點P(2,1)處時，圓M半徑最小，結合兩點間距離公式即可求解．【解答過程】設動圓M的圓心M坐標為(m,m)，即圓M半徑r=m，由題意m>0，設|OA|=a，|OB|=b，圓M與直線AB相切于點N，則|AN|=m?a，|BN|=m?b，所以|OA|+|OB|+|AB|=|OA|+|OB|+|AN|+|BN|=a+b+m?a+m?b=2m，即△OAB的周長為2m，所以△OAB的周長最小即為圓M半徑m最小，因為PM≥r=m則m?22+m?1解得m≥5或m≤1,當m≤1時，圓心M在△OAB內，不合題意；當m≥5時，符合題意，即圓M半徑的最小值為5，△OAB周長的最小值為2m=10．故選：C．【變式7-1】（2024·山西呂梁·一模）已知圓Q:(x?4)2+(y?2)2=4，點P為直線x+y+2=0上的動點，以PQ為直徑的圓與圓Q相交于A．27 B．47 C．2【解題思路】寫出面積表達式，從而得到當PQ與直線垂直時面積最小，代入數據計算即可.【解答過程】由題意得PA⊥AQ，PB⊥AQ，Q4,2S四邊形當PQ垂直直線x+y+2=0時，PQmin∴(故選：B.【變式7-2】（2024高三·全國·專題練習）設P為直線x?y=0上的動點，PA，PB為圓C：(x?2)2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，BA．3 B．2+3 C．4 D．【解題思路】根據給定條件，利用圓的切線長定理將四邊形周長表示為|PC|的函數求解.【解答過程】依題意，圓(x?2)2+y2=1AC⊥PA，|PB|=|PA|=|PC因此四邊形APBC的周長l=2|PA|+2|AC|=2|PC而|PC|min=21所以四邊形APBC的周長的最小值為4.故選：C.【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）已知A(?3,0)，B(0,3)，設C是圓M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【解題思路】求出C到直線AB的距離的最大值與最小值，結合面積公式做差即可得.【解答過程】因為直線AB與圓M:(x?1)設圓心M(1,0)到直線AB:y=x+3的距離為d，則d=42=2所以C到直線AB的距離的最小值為d?r=22C到直線AB的距離的最大值為d+r=22因此△ABC面積的最大值與最小值之差等于：|AB|22故選：B．【題型8數量積型最值（范圍）問題】【例8】（2024·陜西安康·模擬預測）在平面直角坐標系中，曲線y=x2?4x+1與坐標軸的交點都在圓C上，AB為圓C的直徑，點P是直線3x+4y+10=0上任意一點；則PAA．4 B．12 C．16 D．18【解題思路】由題意求出圓C的方程，根據數量積的運算律求得PA?PB的表達式PC?2?4，確定當|【解答過程】對于曲線y=x2?4x+1，令x=0，則y=1；令y=0曲線y=x2?4x+1設圓心C2,t，由(0?2)2+則圓心為C2,1，半徑為2，所以圓C方程為(x?2)

PA?當|PC|最小，即為圓心到直線3x+4y+10=0的距離時，圓心C2,1到直線l:3x+4y+10=0的距離設為d，則d=所以PC最小值為4，則PA?PB的最小值為故選：B．【變式8-1】（2024·全國·模擬預測）已知圓O是圓心為原點的單位圓，A,B是圓O上任意兩個不同的點，M2,0，則MA+MBA．1,2 B．1,3 C．2,4 D．2,6【解題思路】設C為弦AB的中點，則MA+MB=2【解答過程】設C為弦AB的中點，則MA+MB=2MC．因為A,B兩點不重合，則直線AB與圓O相交，所以點考慮點D為圓上或圓內一點，如圖當且僅當D，O，M三點共線時，DM最長為MO+OD=3，因C考慮點E為圓上或圓內一點，如圖當且僅當O，E，M三點共線時，EM最短為MO?OE=1，因C綜上，當點C在圓O內時，MC∈1,3，則故選：D．【變式8-2】（2024·河南開封·二模）已知等邊△ABC的邊長為3，P為△ABC所在平面內的動點，且|PA|=1，則PB?A．?32,92 B．?1【解題思路】首先建立平面直角坐標系且A(?32,0)，B(32【解答過程】如下圖構建平面直角坐標系，且A(?32,0)，B(所以P(x,y)在以A為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為(x+3而PB=(32綜上，只需求出定點(34,而圓心A與(34,34)的距離所以PB?故選：B.【變式8-3】（2024·河北唐山·二模）已知圓C：x2+y?32=4，過點0,4的直線l與x軸交于點P，與圓C交于A，BA．0,1 B．0,1 C．0,2 D．0,2【解題思路】作出線段AB的中點D，將CA+CB轉化為2CD，利用垂徑定理，由圖化簡得CP?CA+CB【解答過程】

如圖，取線段AB的中點D，連接CD，則CD⊥AB，由CP?CA+因直線l經過點M(0,4)，考慮臨界情況，當線段AB中點D與點M重合時（此時CM⊥AB），弦長AB最小，此時CD最長，為|CD|max=|CM|=4?3=1，（但此時直線l與x當線段AB中點D與點C重合時，點P與點O重合，CD最短為0（此時符合題意）.故CP?CA+故選：D.【題型9坐標、角度型最值（范圍）問題】【例9】（2024·江西·模擬預測）已知點M是圓x2+y2=1上一點，點N是圓C:A．π2 B．π3 C．π4【解題思路】利用圓的最值問題和正弦定理即可求解.【解答過程】圓x2+y2=1圓C:x?32+y2在三角形CMN中，CN=根據正弦定理可得，CNsin∠CMN=所以sin∠CMN=因為CM≥CO?所以sin∠CMN≤因為CN<CM，所以所以∠CMN的最大值為π3故選：B.【變式9-1】（2024·全國·模擬預測）已知直線l:x?y+2=0與圓O:x2+y2=1，過直線l上的任意一點P作圓O的切線PA，PB，切點分別為A，A．3π4 B．2π3 C．【解題思路】由題意可得cos∠AOP=1OP，可知當OP【解答過程】由題意可知：圓O:x2+則圓心O到直線l的距離為|2|2=2>1，可知直線因為∠AOB=2∠AOP，且cos∠AOP=當OP最小時，則cos∠AOP最大，可得∠AOP最小，即∠AOB又因為OP的最小值即為圓心O到直線l的距離為2，此時cos∠AOP=22,∠AOP=π故選：C．【變式9-2】（23-24高一下·河南洛陽·期末）在平面直角坐標系xOy中，已知O0,0,A154,0，曲線C上任一點M滿足OM=4AM，點P在直線y=2x?1上，如果曲線C上總存在兩點到點PA．1<t<3 B．1<t<4 C．2<t<3 D．2<t<4【解題思路】根據OM=4AM可求出曲線C的方程，根據曲線C上總存在兩點到點P的距離為2，可得到點P到圓心4,0的距離小于【解答過程】設Mx，y，因為x化簡得：(x?4)∴曲線C的方程：(x?4)2+y2=1圓心4,0到直線y=2x?1的距離所以直線與圓相離，如圖所示：設點Pt,2t?1，只需點P到圓心4,0此時點P在點P1與點P∴(t?4)2解得：1<t<3．故選：A.【變式9-3】（23-24高二上·江西九江·期末）已知點P在直線l:3x+4y+3=0上，過P作圓M:x2+y2?6x?4y+9=0的兩條切線，切點為A．30° B．45° C．60°【解題思路】由圓的方程求得其圓心和半徑，求出圓心到直線l的距離，確定當MP⊥l時，∠APB取最大值，結合sin∠MPA=2|PM|【解答過程】圓M的標準方程為(x?3)2+(y?2)2=4圓心M到直線l的距離為d=3×3+4×2+333由于MA⊥AP，故sin∠MPA=

故當MP⊥l時，|MP|最小，此時∠MPA最大，則∠APB=2∠APM也取最大值，此時sin∠MPA=24故選：C.【題型10長度型最值（范圍）問題】【例10】（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標系xOy中，已知A?3,0,B1,0,P為圓C:(x?3)A．34 B．40 C．44 D．48【解題思路】借助點到直線的距離公式與圓上的點到定點距離的最值計算即可得.【解答過程】設Px,y，則=2x+1即PA2+PB2等價于點又PQ≥即PA2故選：B.【變式10-1】（23-24高三下·重慶·階段練習）已知圓C:x2+y2=4上兩點AxA．32?2 C．62?4 【解題思路】根據題意，由x1x2+y1y2=0發現OA⊥OB【解答過程】由x1x2+y1y因為x1所以，由點到直線的距離公式可知x1+3y1+6+

設AB,DF的中點分別為M,E，易知，由梯形ADFB的中位線可得AD+則x1+3y1因為△AOB是直角三角形，所以OM=則點M在圓x2顯然，最小值為原點O到直線x+3y+6=0距離與圓原點O到直線x+3y+6=0距離d=0+61+3所以x1+3故選：D.【變式10-2】（2024·四川成都·模擬預測）已知P為直線l:x+y=0上一點，過點P作圓M:(x?1)2+(y?1)2=1的切線PA（A點為切點），B為圓A．31?2 B．32?1 C．31【解題思路】連接MN，可得MN⊥l，得到(PA+PB)min=(PA+【解答過程】如圖所示，連接MN，可得MN⊥l，且垂足為O要使得PA+即(PA又由PN2PA2顯然，當OP2最小時，PN所以，當OP2=0時，PNmin所以(PA故選：B.【變式10-3】（23-24高三上·遼寧大連·階段練習）已知圓C1:(x?2)2+(y?3)2=1，圓C2:x?32+y?42A．52?2 B．17?1 C．6+2【解題思路】利用圓的性質及“將軍飲馬”模型計算最值即可.【解答過程】

如圖所示，易知C12,3,取點C1關于橫軸的對稱點A，則A2,?3，在橫軸上任取一點P′連接AC2交橫軸于P，交圓C2于E(圓上靠近橫軸一點)，連接PC1則P′M+當且僅當P′、P，E、N，此時PM+PN的最小值為故選：D.一、單選題1．（2024·江西·模擬預測）已知實數a,b滿足a2+b2=a?bA．2 B．2 C．322【解題思路】利用點a,b即在圓C:x?122+【解答過程】由題意知點a,b在曲線C:x?則圓心C12,?12即?4≤c≤?2，又|a+b?3|=|c|∈[2,4]，所以a+b?3的最小值2．故選：B.2．（2024·四川攀枝花·三模）由直線y=x上的一點P向圓x?42+y2=4引切線，切點為QA．2 B．2 C．6 D．2【解題思路】根據已知條件，求得PQ=d2?r【解答過程】由已知有：圓的圓心4,0，半徑為r=2，直線的一般方程為x?y=0，設點P到圓心的距離為d，則有PQ⊥CQ，所以PQ=所以d取最小值時，PQ取得最小值，因為直線上點P到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，所以d=4?01+1=22，故故選：B.3．（2024·全國·模擬預測）直線y=kx+2被圓x2+yA．2 B．3 C．22 D．【解題思路】由恒過定點A0,2可得，過點A【解答過程】直線y=kx+2恒過定點A0,2x2+y設其圓心為B，半徑為r，則B3,0，r=4又AB=32則當直線AB與直線y=kx+2垂直時所截得的弦長最小，最小值為2r故選：D．4．（2024·山東濟南·三模）圓(x?1)2+(y+1)2=4A．3 B．4 C．5 D．9【解題思路】求出圓心到直線的距離加上圓的半徑即可得答案.【解答過程】圓(x?1)2+(y+1)2=4則圓心C(1,?1)到直線3x+4y?14=0的距離為d=3?4?14所以圓(x?1)2+(y+1)2=4故選：C.5．（2024·陜西漢中·二模）已知⊙M:x2+y2?2x?2y?2=0，直線l:2x+y+2=0,P為l上的一動點，A，B為A．?255 B．?45 【解題思路】根據題意分析得當PA，PB分別為圓的切線，且MP最小時，∠APB最大，此時cos∠APB【解答過程】由題意得⊙M的標準方程為(x?1)2+(y?1)所以圓心M到直線l的距離為|2+1+2|4+1=5>2，所以直線所以當PA，PB分別為圓的切線，且MP最小時，sin∠APM=AMPM=2所以∠APB=2∠APM最大，此時cos∠APB此時cos∠APB=故選：D.6．（2024·安徽·模擬預測）已知點M是直線l1:ax+y?2a=0和l2:x?ay+2=0（a∈R）的交點，A?1,0，Bm,0，且點M滿足MA=A．6 B．26 C．10 D．【解題思路】根據題意，得到點M的軌跡方程為x2+y2=4(x≠2)，結合MA=12MB恒成立，求得點B(?4,0)，再由2MA+MC=【解答過程】將直線l1:ax+y?2a=0化為a(x?2)+y=0，可得直線l1同理可得直線l2:x?ay+2=0恒過定點(?2,0)，當可得kl1=?a,kl2=1a，則k因為點M是直線l1和l2的交點，所以點M的軌跡方程為又因為MA=12即8x+20=?2mx+m2+4恒成立，所以m=?4又由2MA+MC=MB可得原點O(0,0)到直線BC的距離為41所以在直線BC上存在兩個點P,Q滿足B,P,C或B,Q,C三點共線，如圖所示，可得2MA所以2MA+MC故選：D.7．（23-24高二上·黑龍江·期末）已知直線y=kx+2k∈R交圓O:x2+y2=9A．9 B．16 C．27 D．30【解題思路】根據題中條件，先求得弦PQ的中點Ex,y的軌跡方程，則3x1+4y1+165+【解答過程】由題設直線與y軸的交點為A0,2，設弦PQ的中點為E連接OE，則OE⊥PQ，即OE⊥AE，所以OE?即x,y?所以點E的軌跡方程為x2即E的軌跡是以0,1為圓心，1為半徑的圓，設直線l為3x+4y+16=0，則E到l的最小距離為4+165過P?E?Q分別作直線則四邊形MNQP是直角梯形，且R是MN的中點，則ER是直角梯形的中位線，所以MP+NQ=2即3x所以3x故選：D.8．（2024·陜西西安·一模）已知圓O的方程為：x2+y2=1，點A2,0，B0,2，P是線段AB上的動點，過P作圓O的切線，切點分別為C，D，現有以下四種說法：①四邊形PCOD的面積的最小值為1；②四邊形PCOD的面積的最大值為3；③PC?PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【解題思路】利用數形結合，將面積PCOD的最值轉化為求OP的最值，即可判斷①②；利用數量積和三角函數表示PC?【解答過程】如圖，當點P是AB的中點時，此時OP⊥AB，OP最短，最小值為2，當點P與點A或點B重合時，此時OP最長，最大值為2，因為PC,PD是圓O的切線，所以PC⊥OC，PD⊥OD，則四邊形PCOD的面積為PCOC所以四邊形PCOD的面積的最小值為2?1=1，最大值為4?1PC?PD=PC=PO2+設y=t+2t?3,t∈故選：B.

二、多選題9．（2024·安徽六安·模擬預測）已知圓C:x2+y2?4x?5=0，點A．圓C關于直線x?3y?2=0對稱B．已知A1,?2，B5,0，則PAC．2a+b的最小值為2?3D．a+2b+9a+3的最大值為【解題思路】對于A，由直線穿過圓心即可判斷，對于BCD，分別將問題理解成圓上的點與定點的距離平方和、在y軸上的截距和圓上的點和定點連線的斜率，在數形結合即可求得最值情況，進而求解即可判斷.【解答過程】由題圓C的圓心為C2,0，半徑為r=3對于A，顯然圓心C2,0滿足x?3y?2=0，故直線x?3y?2=0所以圓C關于直線x?3y?2=0對稱，A對；對于B，PA2+PB設D3,?1所以根據代數式的幾何意義可知PA2+PB對于C，設z=2x+y，即y=?2x+z，動點x,y在圓C上，則z取得最小值時，即為直線y=?2x+z在y軸上截距最小，如圖，過圓C所在平面作直線y=?2x，直線y=?2x+z與直線y=?2x平行，由圖可知，當直線y=?2x+z與圓C相切時其在y軸上截距取得最大值或最小值，此時圓心C到直線y=?2x+z的距離等于半徑，即?2×2+z?2?z=4+35或z=4?35，故2a+b的最小值為對于D，因為a+2b+9a+3=1+2×b+3則根據代數幾何意義可知當圓上的點Pa,b與定點Ta+2b+9a+3如圖，顯然當過T的直線與圓相切時斜率最大，設切線為y=kx+3?3，則有圓心到切線距離d=5k?3k2+1=3a+2b+9a+3故選：ABD.10．（2024·吉林延邊·一模）已知Ax1,y1A．若點O到直線AB的距離為2，則ABB．若AB=23C．若∠AOB=π2，則D．x1x【解題思路】對于A選項：利用圓的弦長公式即可求解；對于B選項：運用余弦定理即可求解；對于C選項：將x1+y1?1+x【解答過程】依題意，圓O:x2+y如圖所示：對于A選項：因為點O到直線AB的距離為2，所以AB=2對于B選項：因為AB=23，且所以在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠AOB=所以∠AOB=2π對于C選項：由x1其幾何意義為Ax1,y1設A,B的中點為Cx則有x1因為∠AOB=π2，所以在直角三角形△OAB中，OC=所以點C的軌跡為以原點0,0為圓心，2為半徑的圓.因為0,0到x+y?1=0的距離為d=0+0?1所以x0所以x1對于D選項：因為x1所以當OA,OB所成的角為π時，故選項D正確;故選：ACD.11．（2024·遼寧丹東·一模）已知圓C:(x?2)2+(y?1)2=9，直線l:kx?y+1=0與C交于A,B兩點，點M為弦A．弦AB有最小值為25 B．OM有最小值為C．△OCM面積的最大值為5+12 D．【解題思路】易得直線l:kx?y+1=0過定點Q0,1，根據點Q為弦AB的中點時，AB最小，即可判斷A；根據點M為弦AB的中點，可得CM⊥MQ，進而可得出點M的軌跡是以CQ為直徑的圓，即可判斷B；要使△OCM面積取得最大值，只要點M到直線OC的距離最大即可，進而可判斷C；設Ax1,y1,B【解答過程】圓C:(x?2)2+(y?1)2直線l:kx?y+1=0過定點Q0,1因為(0?2)2+(1?1)所以直線l與圓C一定相交，當點Q為弦AB的中點時，AB有最小值，此時直線l的斜率不存在，而直線l的斜率一定存在，所以AB>2因為點M為弦AB的中點，所以CM⊥AB，即CM⊥MQ，所以點M的軌跡是以CQ為直徑的圓(去除0,1），圓心為N1,1，半徑為1所以軌跡方程為x?12因為0?12+0?1所以OM的最小值為0?12對于C，OC=要使△OCM面積取得最大值，只要點M到直線OC的距離最大即可，直線OC的方程為y=12x圓心N1,1到直線OC的距離d=所以點M到直線OC的距離最大值為55所以△OCM面積的最大值為12對于D，設Ax聯立x?22+y?1則x1+x所以點M的坐標為2k則PO?當k=0時，PO?當k>0時，PO?當k<0時，PO?當且僅當?k=1?k，即綜上所述PO?

故選：BCD.三、填空題12．（2024·四川瀘州·三模）動直線l：mx+y?2m?1=0被圓C：x2+y【解題思路】求出直線所過定點A，判斷定點A在圓內，數形結合知直線l截圓C所得弦長最小時，弦心距最大，此時CA⊥l，即可由勾股定理求出此時的弦長.【解答過程】直線l:mx+y?2m?1=0，即y?1=m2?x所以直線l過定點A2,1，又圓C:x+12所以點A在圓C內部，AC=當CA垂直于直線l時，C到直線l的距離最大，此時弦長最小，所以直線l被圓C截得的弦長的最小值為226故答案為：8.13．（2024·四川綿陽·模擬預測）直線l:ax+y?2a?2=0(a∈R)，與圓C:x2+y2?4x?4y=1相交于A、B兩點，點P為直線【解題思路】計算直線l的恒過點，圓的圓心和半徑，可得直線l恒過圓心，由向量線性運算BA=PA?PB，2PC【解答過程】因為直線l:ax+y?2a?2=0，則直線恒過點(2,2)，由C:x2+y2?4x?4y=1可得圓C的圓心C因為BA=PA?所以BA2=PA②?①得PA因為點C到直線m的距離為：4+2+65=12PA?PB的最小值是故答案為：99514．（23-24高二上·北京·期末）已知Ax1,y1、Bx2,y2滿足：x1【解題思路】分析可知，Ax1,y1、Bx2,y2在圓x2+y2=1上，且∠AOB=2π3，記d【解答過程】設Ax1,y1、Bx2故Ax1,y1且cos∠AOB=OA?因為0≤∠AOB≤π，則∠AOB=因為OA=OB=1，則△AOB是腰長為1（1）當點A、B在直線3x?4y=0的同側時，設直線3x?4y=0交圓x2+y2=1

記d1=3x1?4y15則d1=sin所以，3=5sin因為0<θ<π3，則π3則3x（2）當點A、B在直線3x?4y=0的異側時，設直線3x?4y=0交圓x2+y2=1

記d1=3x1?4y15則d1=sin所以，3=5sin因為0<θ<2π3，則π6則3x（3）當點A、B中有一點在直線3x?4y=0上時，

則3x綜上所述，代數式3x1?4故答案為：53四、解