新疆博爾塔拉蒙古自治州第五師中學2025屆高二數學第一學期期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數若函數有兩個零點，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.2．雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線上，下列結論不正確的是（）A.該雙曲線的離心率為B.該雙曲線的漸近線方程為C.點P到兩漸近線的距離的乘積為D.若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為323．已知函數的部分圖象與軸交于點，與軸的一個交點為，如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關于直線對稱 D.在上單調遞減4．如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點，則下列結論錯誤的是A.B.平面平面C.的最大值為D.的最小值為5．接種疫苗是預防控制新冠疫情最有效的方法，我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗并持續加快推進接種工作．某地為方便居民接種，共設置了A、B、C三個新冠疫苗接種點，每位接種者可去任一個接種點接種．若甲、乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為（）A. B.C. D.6．已知正方體的棱長為1，且滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.7．東漢末年的數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”，根據面積關系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.對于圖2.下列結論正確的是（）①這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④8．直線在軸上的截距為（）A.3 B.C. D.9．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.10．在等差數列中，，表示數列的前項和，則（）A.43 B.44C.45 D.4611．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點，且離心率為，則直線的方程為（）A. B.C. D.12．設等差數列，前n項和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于B，C兩點（如圖）．若，則雙曲線的漸近線方程為______14．如圖將自然數，…按到箭頭所指方向排列，并依次在，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數是___________，超過2021的第一個拐彎數是____________15．已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上的點P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________16．拋物線的焦點坐標為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項為正數的等比數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.18．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點D到平面EMC的距離19．（12分）已知函數圖像在點處的切線方程為.（1）求實數、的值；（2）求函數在上的最值.20．（12分）已知數列，，其中，是各項均為正數的等比數列，滿足，，且（1）求數列，的通項公式；（2）設，求數列的前n項和21．（12分）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸上，且拋物線上的點到焦點的距離是5.（1）求該拋物線的標準方程和的值；（2）若過點的直線與該拋物線交于，兩點，求證：為定值.22．（10分）已知動圓過定點，且與直線相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）直線過點與曲線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點，使？若存在，求點坐標，若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導數分析函數的單調性與最值，畫出函數圖象，數形結合可得結果.【詳解】解：設，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數有兩個零點，實數m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數的性質、利用導數研究函數的單調性、函數的零點，以及數形結合思想的應用，屬于難題.數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地揭示了函數的性質，為研究函數的數量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數；2、求參數的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數性質2、D【解析】根據雙曲線的離心率、漸近線、點到直線距離公式、三角形的面積等知識來確定正確答案.【詳解】由題意可知，a＝3，b＝4，c＝5，，故離心率e，故A正確；由雙曲線的性質可知，雙曲線線的漸近線方程為y＝±x，故B正確；設P（x，y），則P到兩漸近線的距離之積為，故C正確；若PF1⊥PF2，則△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），∴2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝32，可得，故D錯誤.故選：D3、D【解析】根據函數的圖象求出，再利用函數的性質結合周期公式逆推即可求解.【詳解】因為函數的圖象與軸交于點，所以，又，所以，A正確；因為的圖象與軸的一個交點為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對稱軸，C正確；令，解得，所以函數在，上單調遞減，D錯誤故選：D.4、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正確；∵平面即為平面，平面即為平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正確；當時，為鈍角，∴C錯；將面與面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正確，故選C考點：立體幾何中的動態問題【思路點睛】立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉化為平面幾何問題，具體方法表現為：

求空間角、距離，歸到三角形中求解；2．對于球的內接外切問題，作適當的截面，既要能反映出位置關系，又要反映出數量關系；求曲面上兩點之間的最短距離，通過化曲為直轉化為同一平面上兩點間的距離5、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出結果【詳解】由題知,基本事件總數為甲、乙兩人不在同一接種點接種疫苗的基本事件數為由古典概型概率計算公式可得所求概率故選:6、C【解析】由空間向量共面定理可得點四點共面，從而將求的最小值轉化為求點到平面的距離，再根據等體積法計算.【詳解】因為，由空間向量的共面定理可知，點四點共面，即點在平面上，所以的最小值為點到平面的距離，由正方體棱長為，可得是邊長為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C【點睛】共面定理的應用：設是不共面的四點，則對空間任意一點，都存在唯一的有序實數組使得，說明：若，則四點共面.7、A【解析】對于①，由三角形大邊對大角的性質分析，對于②，根據題意利用正弦定理分析，對于③，利用余弦定理分析，對于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對于①，根據題意，圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因為，所以，故②正確；對于③，不妨設，所以在中，由余弦定理得，代入數據得，所以，所以，故③錯誤；對于④，若是的中點，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題8、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為3.故選：A9、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據復合命題的真假關系，即可得出結論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.10、C【解析】根據等差數列的性質，求得，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數列中，滿足，根據等差數列的性質，可得，所以，則.故選：C.11、D【解析】由離心率求得，設出兩點坐標代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關系得結論【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即故選：D12、B【解析】根據等差數列的性質和求和公式變形求解即可【詳解】因為等差數列，的前n項和分別是，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據雙曲線的定義先計算出，，注意到圖中漸近線，于是利用兩種不同的表示法列方程求解.【詳解】，則，由雙曲線的定義及在右支上，，又在左支上，則，則，在中，由余弦定理，，而圖中漸近線，于是，得，于是，不妨令，化簡得，解得，漸近線就為：.故答案為：.14、①.②.【解析】根據題意得到拐彎處的數字與其序數的關系，歸納得到當為奇數為；當為為偶數為，分別代入，即可求解.【詳解】解：由題意，拐彎處的數字與其序數的關系，如下表：拐彎的序數012345678拐彎處的數1235710131721觀察拐彎處的數字的規律：第1個數；第3個數；第5個數；第7個數；，所以當為奇數為；同理可得：當為為偶數為；第33次拐彎的數是，當時，可得，當時，可得，所以超過2021第一個拐彎數是.故答案為：；.15、【解析】由題意分析為直角三角形，得到關于a、c的齊次式，即可求出離心率.【詳解】設，則.由橢圓的定義可知：，所以.所以因軸，所以為直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以離心率.故答案為：16、【解析】化成標準形式，結合焦點定義即可求解.【詳解】由，得，故拋物線的焦點坐標為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據條件求出即可；（2），然后利用等差數列的求和公式求出答案即可.【詳解】（1）且，，（2）18、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點，連接，因為，所以，又因為平面，所以，所以平面，因為平面，所以∥，面，平面,所以∥平面；（Ⅱ）因為平面，面，所以平面平面，平面平面,過點作直線,則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點D到平面EMC的距離為.考點：直線與平面的位置關系及運用【易錯點晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問題和點到直線的距離問題．解答時,證明問題務必要依據判定定理,因此線面的平行問題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個平面外的直線平行,敘述時一定要交代面外的線和面內的線,這是許多學生容易忽視的問題,也高考閱卷時最容易扣分的地方,因此在表達時一定要引起注意19、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲線在的值以及切線斜率容易確定a與b的值；根據導數很容易確定函數單調區間以及極值點.【小問1詳解】，，，由于切線方程是，當x=1時，y=-8，即，即=-8……①；又切線的斜率為-12，∴……②；聯立①②得.【小問2詳解】由（1）得：，；當時，，導函數圖像如下：在時，單調遞增，時，單調遞減，時單調遞增；∴在x=-1有極大值，x=3有極小值；在區間內：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.20、（1），（2）【解析】（1）利用公式法，基本量代換求出數列，的通項公式；（2）利用錯位相減法求和.【小問1詳解】設等比數列的公比為q，因為，所以，所以．所以，所以，所以．所以，所以，【小問2詳解】，所以，，所以.所以21、（1），（2）證明見解析【解析】（1）根據點到焦點的距離等于5，利用拋物線的定義求得p，進而得到拋物線方程，然后將點代入拋物線求解；（2）方法一：設直線方程為：，與拋物線方程聯立，結合韋達定理，利用數量積的運算求解；方法二：根據直線過點，分直線的斜率不存在時，檢驗即可；當直線的斜率存在時，設直線方程為：，與拋物線方程聯立，結合韋達定理，利用向量的數量積運算求解.【小問1詳解】解：∵拋物線焦點在軸上，且過點，∴設拋物線方程為，由拋物線定義知，點到焦點的距離等于5，即點到準線的距離等于5，則，，∴拋物線方程為，又點在拋物線上，，，∴所求拋物線方程為，.【小問2詳解】方法一：由于直線過點，可設直線方程為：，由得