安徽省蚌埠市禹會區北京師范大學蚌埠附屬學校2025屆數學高二上期末經典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將一枚均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現兩次點數為3的概率為（）A. B.C. D.2．設圓上的動點到直線的距離為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．中，，，分別為三個內角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.5．是等差數列，，，的第（）項A.98 B.99C.100 D.1016．為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強冰球射門訓練，現從甲、乙兩隊中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進行射門訓練，他們的進球次數如折線圖所示，則在這次訓練中以下說法正確的是（）A.甲隊球員進球的中位數比乙隊大 B.乙隊球員進球的中位數比甲隊大C.乙隊球員進球水平比甲隊穩定 D.甲隊球員進球數的極差比乙隊小7．七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學用七巧板拼成了一個“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.8．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形個數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第個圖形包含個小正方形，則的表達式為（）A. B.C. D.9．已知數列通項公式，則（）A.6 B.13C.21 D.3110．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）.A.1 B.C. D.11．在等差數列中，已知，則數列的前6項之和為（）A.12 B.32C.36 D.3712．已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線，點，連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，若，則_________.14．在數列中，，，記是數列的前項和，則=___.15．設，則曲線在點處的切線的傾斜角是_______16．1202年意大利數學家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數列”，又稱斐波那契數列.即該數列中的數字被人們稱為神奇數，在現代物理，化學等領域都有著廣泛的應用.若此數列各項被3除后的余數構成一新數列，則數列的前2022項的和為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三角形的內角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.18．（12分）設等比數列的前項和為，且（）（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入個實數，使這個數依次組成公差為的等差數列，設數列的前項和為，求證：19．（12分）在中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.20．（12分）設Sn是等差數列{an}的前n項和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通項公式；（2）若，求數列{bn}的前n項和Tn.21．（12分）已知拋物線C：經過點（1，-1）.（1）求拋物線C的方程及其焦點坐標；（2）過拋物線C上一動點P作圓M：的一條切線，切點為A，求切線長|PA|的最小值.22．（10分）已知函數（）（1）討論函數的單調區間；（2）若有兩個極值點，（），且不等式恒成立，求實數m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用次獨立重復試驗中事件A恰好發生次的概率計算公式直接求解.【詳解】解：將一枚均勻的篩子先后拋擲3次，每次出現點數為3的概率都是至少出現兩次點數為3的概率為：故選：D2、C【解析】求出圓心到直線距離，再借助圓的性質求出d的最大值與最小值即可.【詳解】圓的方程化為，圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離，即直線和圓相離，因此，圓上的動點到直線的距離，有，，即，即的取值范圍是：.故選：C3、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C4、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.5、C【解析】等差數列，，中，，，由此求出，令，得到是這個數列的第100項【詳解】解：等差數列，，中，，令，得是這個數列的第100項故選：C6、C【解析】根據折線圖，求出甲乙中位數、平均數及方差、極差，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題圖，甲隊數據從小到大排序為，乙隊數據從小到大排序為，所以甲乙兩隊的平均數都為5，甲、乙進球中位數相同都為5，A、B錯誤；甲隊方差為，乙隊方差為，即，故乙隊球員進球水平比甲隊穩定，C正確.甲隊極差為6，乙隊極差為4，故甲隊極差比乙隊大，D錯誤.故選：C7、C【解析】設正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計算概率【詳解】設正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C8、D【解析】先分別觀察給出正方體的個數為：1，，，，總結一般性的規律，將一般性的數列轉化為特殊的數列再求解【詳解】解：根據前面四個發現規律：，，，，，累加得：，，故選：【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題9、C【解析】令即得解.【詳解】解：令得.故選：C10、D【解析】利用向量的數量積為0可求的值.【詳解】因與互相垂直，故，故即，故.故選：D.11、C【解析】直接按照等差數列項數性質求解即可.【詳解】數列的前6項之和為.故選：C.12、D【解析】根據題意求得拋物線的方程為和焦點為，由，得到為的中點，得到，代入拋物線方程，求得，進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點為，因為，可得可得三點共線，且為的中點，又因為，，所以，將點代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，，利用向量數量積的坐標運算可得，然后利用定積分性質可得，原式，最后利用微積分基本定理計算，，利用定積分的幾何意義計算，即可得答案.【詳解】解：因為，，且，所以，解得，所以====.故答案為：.14、930【解析】當為偶數時，，所以數列前60項中偶數項的和，當為奇數時，，因此數列是以1為首項，公差為2等差數列，前60項中奇數項的和為，所以.考點：遞推數列、等差數列.15、【解析】利用導數的定義，化簡整理，可得，根據導數的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因為=，所以，則曲線在點處的切線斜率為，即，又所以所求切線的傾斜角為故答案為：16、【解析】由數列各項除以3的余數，可得為，知是周期為8的數列，即可求出數列的前2022項的和.【詳解】由數列各項除以3的余數，可得為，是周期為8的數列，一個周期中八項和為，又，數列的前2022項的和.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關系結合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進一步求得面積【小問1詳解】因為，由正弦定理得因，所以.因為角為鈍角，所以角為銳角，所以【小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=18、（1）（2）見解析【解析】（1）由兩式相減得，所以（）因為等比，且，所以，所以故（2）由題設得，所以，所以，則，所以19、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問2詳解】由余弦定理得，即，所以，當且僅當，取“=”，所以面積的最大值為20、（1）；（2）【解析】（1）根據所給條件列出方程組，求得，即可求得答案；（2）根據（1）的結果，寫出，利用等比數列的前n項和公式求得答案.【小問1詳解】設等差數列{an}公差為d，由，得解得所以(n∈N*)；【小問2詳解】由（1）可知，故，所以21、（1），焦點坐標為；（2）【解析】（1）將點代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點坐標可知；（2）設出點坐標，根據切線垂直于半徑，根據點到點距離公式表示出，然后結合二次函數的性質求解出的最小值.【小問1詳解】解：因為拋物線過點，所以，解得，所以拋物線的方程為：，焦點坐標為；【小問2詳解】解：設，因為為圓的切線，所以，，所以，所以當時，四邊形有最小值且最小值為.22、（1）時，在遞增，時，在遞減，在遞增（2）【解析】（1）求出函數導數，分和兩種情況討論可得單調性；（2）根據導數可得有兩個極值點等價于有兩不等實根，則可得出，進而得出，可得恒成立，等價于，構造函數求出最小值即可.【小問1詳解】的定義域是，，①時，，則