廣東省卓識教育深圳實驗部2025屆高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題中正確的是A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”B.若命題，是假命題，則實數C.“”的一個充分不必要條件是“”D.命題“若，則”的逆否命題為真命題2．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則A. B.2C.3 D.3．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓4．我國新冠肺炎疫情防控進入常態化，各地有序進行疫苗接種工作，下面是我國甲、乙兩地連續11天的疫苗接種指數折線圖，根據該折線圖，下列說法不正確的是（）A.這11天甲地指數和乙地指數均有增有減B.第3天至第11天，甲地指數和乙地指數都超過80%C.在這11天期間，乙地指數的增量大于甲地指數的增量D.第9天至第11天，乙地指數的增量大于甲地指數的增量5．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.46．設函數，則（）A.4 B.5C.6 D.77．為了解青少年視力情況，統計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數，葉表示十分位數，則該組數據的中位數是（）A. B.C. D.8．若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數n的取值A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于59．已知等差數列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.10．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.11．某中學的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數為（）A.13 B.14C.15 D.1612．若是函數的極值點，則函數（）A.有最小值，無最大值 B.有最大值，無最小值C.有最小值，最大值 D.無最大值，無最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定點，動點分別在直線和上運動，則的周長取最小值時點的坐標為__________.14．拋物線的準線方程是________15．某射箭運動員在一次射箭訓練中射靶10次，命中環數如下：8，9，8，10，6，7，9，10，8，5，則命中環數的平均數為___________.16．設函數的導數為，且，則___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）“雙十一”已經成為網民們的網購狂歡節，某電子商務平臺對某市的網民在今年“雙十一”的網購情況進行摸底調查，用隨機抽樣的方法抽取了100人，其消費金額（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：（1）利用圖1，求網民消費金額的平均值和中位數；（2）把下表中空格里的數填上，能否有的把握認為網購消費與性別有關.男女合計30合計45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635參考公式：χ2＝.18．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足（1）求動點M的軌跡方程；（2）若動點M在雙曲線C上，設雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經過定點19．（12分）如圖，在長方體中，，．點E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且，是的中點（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值21．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.22．（10分）近年來某村制作的手工藝品在國內外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（ⅰ）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ⅱ）若3位行家中僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關．若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級；若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級．已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）求81件手工藝品中，質量為C級的手工藝品件數的方差；（3）求10件手工藝品中，質量為D級的手工藝品最有可能是多少件？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】．命題的否定是同時否定條件和結論；．將當成真命題解出的范圍，再取補集即可；．求出“”的充要條件再判斷即可；．判斷原命題的真假即可【詳解】解：對于A：命題“若，則”的否命題為：“若，則“，故A錯誤；對于B：當命題，是真命題時，，所以，又因為命題為假命題，所以，故B錯誤；對于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D：因為命題“若，則”是假命題，所以其逆否命題也是假命題，故D錯誤；故選：C2、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，故選A.【點睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計算能力，屬于基礎題3、C【解析】根據兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：4、C【解析】由折線圖逐項分析得到答案.【詳解】對于選項A，從折線圖中可以直接觀察出甲地和乙地的指數有增有減，故選項A正確；對于選項B，從第3天至第11天，甲地指數和乙地指數都超過80%，故選項B正確；對于選項C，從折線圖上可以看出這11天甲的增量大于乙的增量，故選項C錯誤；對于選項D，從折線圖上可以看出第9天至第11天，乙地指數的增量大于甲地指數的增量，故D正確；故選：C.5、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.6、D【解析】求出函數的導數，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.7、B【解析】將樣本中的數據由小到大進行排列，利用中位數的定義可得結果.【詳解】將樣本中的數據由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數據的中位數為.故選：B.8、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況成立，注意運用外接球和三角形三邊的關系，即可判斷解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構成等邊三角形，成立；4個點兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個點兩兩距離相等，構成一個正四面體，成立；若n＞4，由于任三點不共線，當n=5時，考慮四個點構成的正四面體，第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點評：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點的距離相等的情況，注意結合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關系，屬于中檔題和易錯題9、B【解析】根據和可求得，結合等差數列通項公式可求得.【詳解】設等差數列公差為，由得：；又，，.故選：B.10、B【解析】將代數式展開，然后利用基本不等式可求出該代數式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.11、C【解析】由題意可得募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數列，設共募捐了天，然后建立關于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數列，根據題意，設共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：12、A【解析】對求導，根據極值點求參數a，再由導數研究其單調性并判斷其最值情況.【詳解】由題設，且，∴，可得.∴且，當時，遞減；當時，遞增；∴有極小值，無極大值.綜上，有最小值，無最大值.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作點分別關于直線和的對稱點，根據對稱性即可求出三角形周長的最小值，利用三點共線求出的坐標.【詳解】如圖所示：定點關于函數對稱點，關于軸的對稱點，當與直線和的交點分別為時，此時的周長取最小值，且最小值為此時點的坐標滿足，解得，即點.故答案為：.14、【解析】將拋物線方程化為標準形式，從而得到準線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線準線的求解，易錯點是未將拋物線方程化為標準方程.15、【解析】直接利用求平均數的公式即可求解.【詳解】由已知得數據的平均數為，故答案為：.16、【解析】，而，所以，，故填：.考點：導數三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）列聯表見解析，沒有【解析】（1）根據平均數的定義求平均數，由于前2組的頻率和恰好為，從而可求出中位數，（2）根據頻率分布表結合已知的數據計算完成列聯表，然后計算χ2公式計算χ2，再根據臨界值表比較可得結論【小問1詳解】以每組的中間值代表本組的消費金額，則網民消費金額的平均值為0.頻率直方圖中第一組、第二組的頻率之和為，中位數；【小問2詳解】把下表中空格里的數填上，得列聯表如下；男女合計252550203050合計4555100計算，所以沒有的把握認為網購消費與性別有關.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設直線BP的方程為，設，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達定理，利用N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關系，代入韋達定理的結論可求得的值，從而得直線BP所過定點【小問1詳解】因為，所以，動點M的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點M的軌跡方程為；【小問2詳解】證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設直線BP的方程為，設，，則，聯立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個交點，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方程為，所以直線BP過定點19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出，，的坐標，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系因為，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設為中點，連接，，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）確定異面直線與所成的角為，計算三角形各邊長，根據余弦定理計算得到答案.【小問1詳解】設為中點，連接，，∵為中點，是的中點，，，故，且，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，故平面.【小問2詳解】∵，故異面直線與所成的角為，在中：，，.根據余弦定理：，所以異面直線與所成的角的余弦值為.21、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時除以，結合等差數列的定義可證得數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，可求得的表達式；（2）求得，利用裂項相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：在等式兩邊同時除以可得且，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，因此，.【小問2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.22、（1）（2）（3）2件【解析】（1）根據相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）首先求出一件手工藝品質量為C級的概率，設81件手工藝品中質量為C級的