專題17圖形的相似

一.考向分析

相似多邊形的性質是中考考查的熱點，其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長比的關

系考查較多.相似三角形的判定、性質及應用是考查的重點，常與方程、圓、四邊形、三角函

數等相結合，進行有關計算或證明

二、思維導圖

相似三角形的對應角相等

相似三角形的對應邊成比例

相｛歸角形的對應高線的唾于榴以比

相似三角形的對應中線的比等于相似比

相似三角形的性質

相似二角形的對應角平分線的比等于相似比

相似三角形的局長唔丁相似比

相似三角形的面枳比等于相似比的平方

科以二角形具有傳遞性

定義形狀相同、對應角相等、對應邊成比例的圖形

比例兩小值相郛式子

相似形狀相同

對應角相等

性質對應邊成比例

相似三角形面積比是對應邊比值的平方

周良比等于對山邊之比

相似三角形的定義

相似二角形的定義、表小方法、相似比表示方法

相似比

兩邊對應成比例滅角相等

昔通二角形二?寸曲成比例

相似三角形的判定兩角對應相等

具備普通三角形的判定方法

直角三角形

T直角邊與斜邊對應成比例

三、最新考綱

1.了解比例線段的有關概念及其性質，并會用比例的性質解決簡單的問題.

2.了解相似多邊形，相似三角形的概念，掌握其性質和判定并會運用.

3.了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運用其性質.

四.考點強化

【考點總結】一、比例線段

1.比例線段的定義：

在四條線段小b,c,d中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即色=￡(或。：力=。：④，那

bd

么這四條線段小b,c,4叫做成比例線段，簡稱比例線段.

2.比例線段的性質：

(1)基本性質：*=*^ad=bc；

人.1...ac,、a+bc+d

(2)口比性質：石=產丁=丁；

(3)等比性質：

c加八.,,,,八、力一4+^+…+^a

醬=1=i=GS+d+…+*°)，那么…+〃=分

3.黃金分割：

點C把線段A8分成兩條線段AC和8C如果骼=衰，則線段4B被點。黃金分割，點C叫線段4B的黃

金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.

【考點總結】二、相似多邊形

1.定義：

對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比，相似比為1

的兩個多邊形全等.

2.性質：

(1)相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例；

(2)相似多邊形周長的比等于相似比；

(3)相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

【考點總結】三、相似三角形

1.定義：

各角對應相等，各邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

2.判定：

(1)平行于三角形一邊的宜線和其他兩邊(或兩邊延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似；

(2)兩角對應相等，兩三角形相似；

(3)兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；

(4)三邊對應成比例，兩三角形相似；

(5)斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似.

3.性質：

(1)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例；

⑵相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比；

(3)相似三角形周長的比等于相似比：

(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方

【考點總結】四、圖形的位似

1.定義：

如果兩個圖形僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那么這兩個圖形叫位似圖形.這

個點叫做位似中心，這時的相似比稱為位似比.

2.性質：

位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.

3.畫位似圖形的步驟

(1)確定位似中心點;

(2)連接圖形各頂點與位似中心的線段(或延長線)；

⑶按位似比進行取點；

(4)順次連接各點，所得的圖形就是所求醫形.

五.新題解析

一、單選題

1.(2021?河南許昌市?九年級一模)如圖，已知直線a〃方〃c,若AB=9,8c=6,=10,則OE的長為

()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

DEAB

直接根據平行線分線段成比例定理得到言7=然后根據比例的性質可計算出OE的長?

DFAC

【詳解】

解：*:a!Ibl!c,

,DEABDE9

??---=,即—=----,

DFAC109+6

DE=6.

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例，熟悉相關性質是解題的關鍵.

2.（2021?湖北黃岡市.九年級一模）如圖，EMBC為直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,ZA=3O°,

四邊形OE/G為矩形，DE=2&m，EF=6cm,且點C、B、E、尸在同一條直線上，點8與點￡

重合.RtZXABC以每秒1cm的速度沿矩形OERG的邊E尸向右平移，當點C與點尸重合時停止.設

RtZ\A8C與矩形OEFG的重疊部分的面積為jcn?,運動時間期.能反映yen?與鄧之間函數關系的大

致圖象是（）

CB(E)

【答案】A

【分析】

由勾股定埋求出AA、AC的長，進一步求出△AAC’的面積，根據移動特點有二種情況，分別求出每種情況y

與X的關系式，利用關系式的特點（是一次函數還是二次函數）就能選出答案.

【詳解】

解：已知NC=90。，BC=2cm,ZA=30°,

:.AB=4,

由勾股定理得：AC=25

???四邊形DEFG為矩形，ZC=90°,

:?DE=GF=2?NC=NDEF=90。,

??.AC//DE，

此題有三種情況：（1）當0<x<2時，48交OE于“，

如圖

??,DE//AC,

.EHBE

'AC-BC

BP—r=—,

2g2

解得：EH=瓜，

2

所以j=—.5/3x?x=—x?

22

..6、（、

?a=——>（），

2

???拋物線開口向上；

所以所選答案。錯誤，答案。錯誤,

(2)當2<x<6時，如圖，

區

ECBF

此時y=；x2x2g=2百

(3)當6<xW8時，如圖，設口A8C的面積是S1,口8\活的面積是“，

"I------

ECFB

BF=x-6,與（I）類同，同法可求或=后一66,

??y=4-s2,

=^x2x2>/3--^x（x-6）x（>/3x-6\/3）

L

=———x2+—16\/3.

2

???3<o,

2

，拋物線開口向下，

所以答案A正確，答案8錯誤，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了一次函數，二次函數的性質三角形的面積公式等知識點，解此題的關鍵是能根據移動規律

把問題分成三種情況，并能求出每種情況的），與x的關系式.

3.（2021?河南九年級二模）如圖是與□力8c位似的三角形的幾種畫法，其中正確的有（）

①②③④

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】

根據位似圖形的性質判斷即可.

【詳解】

解：由位似圖形的畫法可得：4個圖形都是口ABC的位似圖形.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關鍵.

4.（2021?上海金山區?九年級一模）如圖，已知點。、E分別在AA8C的邊A8、AC上，DE/IBC,AD=2,

80=3,BC=a，那么而等于（）

2222

A.一&B.——aC.-G.D.——a

3355

【答案】D

【分析】

先根據相似三角形的判定與性質求出DE與BC的數量關系，再根據向量的定義即可求出防的值.

【詳解】

解：VDEHBC,

DEAD

VAD=2,BD=3,

DE2

BC2+3

???DE=-BC.

5

,-BC=a^

.-2-

??ED=--^-

故選D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質，以及向量的定義，向量用有向線段來表示，有向線段長度表示向量

的大小，有向線段的方向表示向量的方向.

5.（2021?上海九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與8。相交于點。，空=段，由此

OBOC

推得的正確結論是（）

0

B

OAABOAAD八OBABABAD

A-----=------B-----=------C-----=------D-----=------

ODCD?OCBCODCD,CDBC

【答案】A

【分析】

根據相似三角形的判定和性質即可得到結論.

【詳解】

解：?；NAOB與NDOC是對頂角

.\ZAOB=ZDOC

又?---=----'

OBOC

AAAOB^ADOC,

.OA_AB

*OD-CD'

故選：A

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

6.（2021?上海徐匯區?九年級一模）下列說法中，正確的是（）

A.兩個矩形必相似B.兩個含45。角的等腰三角形必相似

C.兩個菱形必相似D.兩個含30。角的直角三角形必相似

【答案】D

【分析】

根據相似多邊形、相似三角形的判定逐項判斷即可得.

【詳解】

A、兩個矩形的對應角相等，但對應邊不一定成比例，則不一定相似，此項錯誤；

B、如果一個等腰三角形的頂角是45。，另一等腰三角形的底角是45。，則不相似，此項錯誤；

C、兩個菱形的對應邊成比例，但四個內角不一定對應相等，則不一定相似，此項錯誤；

D、兩個含30。角的直角三角形必相似，此項正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查了相似多邊形、相似三角形的判定，熟練掌握相似圖形的判定方法是解題關鍵.

7.（2021?上海長寧區?九年級一模）如圖，己知在」ABC中，點。、點E是邊BC上的兩點，連接AD、AE,

且4D=AE,如果…ABEsUcsA,那么下列等式錯誤的是（）

A.AB2=BE*BCB.CD*AB=AD*AC

C.A*=CD?BED.AB?AC=BE*CD

【答案】D

【分析】

根據相似三角形的判定及性質對每?個選項一一證明即可.

【詳解】

解：7UABE<^UCBA,

ABBE

J—=—,ZBAE=ZC,/AEB=/CAB,

BCAB

???AB2=8E?BC,（故選項A正確）

'：AD=AEf

/.ZADE=NAED,

:.ZADE=^CAB,

又???/C=NC,

：.UCDA^UCAB,

.CDAD

??,

ACAB

:.CD*AB=AD?AC,（故選項B正確）

VZADE=ZAED,NBAE=NC,

??.口4B￡s口CA。，

.AEBE

"而一而‘

:?AE?AD=CABE,

又???4）=4E,

??*爐=。及?8E,（故選項C正確）

?I/ADE=NAEOV90。,

，ZADB=ZAEC>90°,

：.AB>AD,AOAE,

???MAOAE2,

即ABMOCDBE,（故選項D錯誤）

故選：D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定及性質，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解決本題的關鍵.

8.（2021?上海長寧區?九年級一模）下列命題中，說法正確的是（）

A.四條邊對應成比例的兩個四邊形相似

B.四個內角對應相等的兩個四邊形相似

C.兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似

D.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似

【答案】D

【分析】

根據三角形相似和相似多邊形的判定解答.

【詳解】

A、四個角對應相等，四條邊對應成比例的兩個四邊形相似，原命題是假命題；

B、四個內角對應相等，四條邊對應成比例的兩個四邊形相似，原命題是假命題；

C、兩邊對應成比例且其夾角相等的兩個三角形相似，原命題是假命題；

D、斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似，是真命題：

故選：D.

【點睛】

本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解三角形相似和相似多邊形，難度不大.

9.（2021.上海楊浦區?九年級一模）在梯形48C。中，AD//BC,對角線AC與8。相交于點0,下列說

法中，錯誤的是（）

ccODSMOD°A5AM4。

A.=S△吩B.--------c.---------D.A--------

口4BOC口ABOC0^A3C

【答案】c

【分析】

根據相似三角形的性質及等積法可直接進行排除選項.

【詳解】

解.：如圖所示：

VAD^BC,

sAZ)

=,

AAAOD^ACOB,SABC=ST^~~RT故D正確，

.OAOD

,'OC~'OB

S4耳OD_

故錯誤;

^~OCT，c

■:S^ABC=SyjAOB+S'OBC，S^DBC~S、00c+S708c,

*?*SgoB=^ADOC，A正確:

S、AOB

*^=不OA，即=OD故B正確;

)△BOC,△BOCU”

故選c.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定及等積法是解題的關鍵.

10.（2021?上海楊浦區?九年級一模）在口48c中，點。、E分別在邊A3、AC上，下列條件中，能判定

DE//BC的是()

ADDEADAE「DBAEADAE

A.-----=------B.-----=------C-----=------D.=

ABBCDBEC,ECADACAB

【答案】A

【分析】

根據對應線段成比例,兩直線平行，可得出答案.

【詳解】

ADDE

A、=—，可證明DE〃BC,故本選項正確；

ABBC

AD?AE

B>---，不可證明DE〃BC,故本選項錯誤;

DB,EC

C、==不可證明DE〃BC,故本選項不正確;

ECAD

AT）AU

D、r7=r不可證明DE〃BC,故本選項不正確.

ACAB

故選A.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例，對應線段成比例，兩直線平行.

11.（2021?上海青浦區?九年級一模）如圖，已知5D與CE相交于點A,行C,如果AD=2,AB=3,

AC=6,那么AE等于（）

C.4D.9

【答案】C

【分析】

根據平行線分線段成比例即可得到結論.

【詳解】

解：VED/7BC,

.ABAC

??而一瓦’

36

M即一=,

2AE

/.AE=4,

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例的運用，注意：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）,

所得的對應線段成比例.

12.（2021?上海黃浦區?九年級一模）如圖，在直角梯形A8C。中，AB//CD,ZBAD=90°,對角線的

交點為點O.如果梯形A8CD的兩底邊長不變，而腰長發生變化，那么下列量中不變的是（）

A.點O到邊A3的距離B.點。到邊的距離

C.點O到邊CO的距離D.點O到邊QA的距離

【答案】D

【分析】

變化后的梯形為ABC'。'，對角線的交點為O',連接。0',利用平行證出AABOs/XCDO,△ABO'

△C'D'O列出比例式即可證出照=給，從而證出OO'//DDf,然后根據平行線之間的距離處處相等

即可證出結論.

【詳解】

解：如下圖所示，變化后的梯形為ABC'。'，對角線的交點為O',連接O。'

由題意易知：CD=CD

VAB-7CD,\B//CD

AAABO^ACDO,△/\CD'O)

.ABBOA8B0’

'''CD~~DO''CD,~~^O,

.BOBO'

*DO-

，Off//DD'

根據平行線之間的距離處處相等，可得點O和點。'到DA的距離相等，點O和點。'到AB、BC、CD的距

離不一定相等

:.不變量是點O到邊DA的距離

故選D.

【點睛】

此題考查的是相似三角形的判定及性質和平行線之間的距離，找出相似三角形并證出OO'〃。。是解題關

鍵.

13.（2021?上海黃浦區?九年級一模）已知□A8c與口。石尸相似，又NA=40。，ZB=60°,那么NO不

可能是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【答案】D

【分析】

利用三角形的內角和定理即可求出NC,然后根據相似三角形的性質和對應情況分類討論即可得出ND可能

的度數，從而作出判斷.

【詳解】

解：:□ABC中，ZA=40°,ZB=60°

；?ZC=1?0u—ZA—ZB=80u

???□ABC與DOE尸相似

???ND二NA=40。或ND=NB=60。或ND=NC=80°

???ND不可能是100°

故選：D.

【點睛】

此題考查的是相似三角形的性質和三角形內角和定理，根據相似三角形的性質分類討論是解題關鍵.

14.（2021?上海浦東新區?九年級一模）如圖，在.ABC中，點D、F是邊AB上的點，點E是邊AC上的點，

如果/ACD=NB,DE//BC,EF//CD,下列結論不成立的是（）

E

BC

A.AE2=AFAD

B.AC2=AD-AB

C.AF2=AEAC

D.AD2=AFAB

【答案】C

【分析】

根據相似三角形的判定及性質以及平行線分線段成比例對每個選項逐個證明即可.

【詳解】

解：VDE//BC,EF//CD,

AZADE=ZB,ZACD=ZAEF,

又Y/ACD=NB,

/.ZADE=ZAEF,

VZADE=ZAEF,ZA=ZA,

???UAEFSUADE,

.AE_AD

??第一罰’

2

-AF=AFADf故選項A正確；

VZACD=ZB,ZA=ZA,

.*.□ACD^DABC,

.ACAD

**AB-AC?

AAC2=ADAB故選項B正確；

VDE//BC,

.AEAD

一就一瓦‘

VEF//CD,

?AEAF

??就一而‘

AFAD

，——=——，

ADAB

AAD2=AFAB故選項D正確；

VEF//CD,

?AE_AF

..-----=------，

ACAD

??.4/?AC=A七?A。，故選項C錯誤，

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定及性質，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解決

本題的關鍵.

15.（2021?上海浦東新區?九年級一模）A、B兩地的實際距離AB=250米，如果畫在地圖上的距離AE=5

厘米，那么地圖上的距離與實際距離的比為（）

A.1：500B.1：5（X）0C.500：1D.5000：1

【答案】B

【分析】

地圖上距離與實際距離的比就是在地圖上的距離A9與實際距離AB的比值.

【詳解】

解：???250米=25000cm,

AB:AB=5：25000=1：5000.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計算方法，注意在求比的過程中，單位要統一.

16.（2021?上海靜安區?九年級一模）在△ABC中，點D、E分別在邊BA、CA的延長線上，下列比例式中

能判定DE〃BC的為（）

BCAB?ACAB-ACAB八ACBD

A-----=------B-----=-----C-----=-----D-----=-----

DEADADAECEBD'ABCE

【答案】C

【分析】

根據平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理判斷即可.

【詳解】

解：當￡9=空時，不能判定DE〃BC,A選項錯誤;

DEAD

AR

把二絲時，不能判定DE〃BC,B選項錯誤；

ADAE

ACAR

——二——時，DE〃BC,C選項正確；

CEBD

4￡二處時，不能判定DE〃BC,D選項錯誤；

ABCE

故選：c.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理，掌握相關的判定定理是解題的關鍵.

17.（2021?上海寶山區?九年級一模）如圖，AB//DE,BC//DF,已知A尸：”=相：〃，BC=a,那么

CE等于（）.

amanaman

A.—B.—C.--------D.-------

nmm+nm+n

【答案】D

【分析】

AF

先證明：四邊形OEB廠是平行四邊形，可得。尸=BE,利用二機：〃，再求解一=-----，再

ABm+n

證明匚AO/利用相似二角形的性質求解8E，再利用線段的和差可得答案.

【詳解】

解：???AB//DE,BC//DF,

四邊形OEBF是平行四邊形,

:.DF=BE，

,/AF:FB=m\n，

AFm

?'.-----=---------,

ABm+n

???DFHBC,

:DADF^QACB

.AFDFAD

???AB//DE,

_B_E___A_D____m__

BCACm+n

???BC=a,

m+n

mana

CE=a-------=------

m+nm+n

故選：D.

【點睛】

本題考查的是平行四邊形的判定與性質，比例的基本性質，相似三角形的判定與性質，掌握以上知識是解

題的關鍵.

18.（2021.上海崇明區.九年級一模）已知線段。、b、C、d的長度滿足等式M=cd,如果某班四位學生

分別將該等式改寫成了如下四個比例式，那么其中錯誤的是（）

acadhdbc

A.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

bdcbcada

【答案】A

【分析】

根據比例的兩內項之積等于兩外項之積逐項排查即可.

【詳解】

解：A.由?=$可得bc=ad,故A選項符合題意；

ba

ZJd

B.由一=/可得ab二cd,故B選項不符合題意；

cb

k

C.由一=一可得ab=cd,故C選項不符合題意；

ca

bc

D.由7=一可得ab=cd,故D選項不符合題意.

故答案為A.

【點睛】

本題主要考查了比例的基本性質，即掌握兩內項之積等于兩外項之積成為解答本題的關鍵.

19.（2021?上海九年級一模）如圖，在口4區。中，點。在邊A8上，DE^BC,DF//AC,聯結BE,BE

與DF相交于點G,則下列結論一定正確的是（）

ADDEAEBFBDBFDGBF

A---=---B---=---C---=----

DBBC?ACBC?ADDE~GF~~FC

【答案】C

【分析】

根據相似三角形的判定和平行線分線段成比例進行判斷即可.

【詳解】

解：VDE//BC,DF〃AC,

???四邊形DFCE是平行四邊形,

ADE=CF,DF=CE,

VDE/7BC,DF/7AC,

.??△ADEs/XABC,ABFD^ABAC,

ADDE

.故21錯誤；

ABBC

AEADCF,AECF

即一=,故B錯誤;

AC-AB-BC'ACBC

BDBF_BF

VDF.7AC,???一故C正確；

ADCFDE

DGDE_CF

???DE〃BC,J——故D錯誤,

GF~~BF~BF

故選：c.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例、平行四邊形的判定與性質，熟練掌握相似三

角形的性質和平行線分線段成比例是解答的關鍵.

二、填空題

20.（2021?西安市第二十三中學九年級一模）如圖，菱形A8C。的邊長為12,ZABC=60°,連接AC,

EF1AC,垂足為“，分別交A。，AB,CB的延長線于點E,M,F.若A￡:F8=1:2,則CH的長為

【答案】10

【分析】

連接BD,交ACJ?點O,根據菱形的性質和等邊三角形的判定易知口ABC是等邊T角形,進而可得

A\4AE\

AC=AB=\2,根據相似三角形的判定易證匚AEMs口5/M,繼而可知王7=須7=；，根據平行線的

BMBF2

AIJA\41

判定可得E/3/8O,繼而可知說=前=/，繼而根據菱形的性質即可求解.

【詳解】

如圖，連接80,交AC于點0.

???四邁形A6CO是菱形，

AB=BC.

VZ>4BC=60o,

???口83c是等邊三角形，

JAC=AB=\2.

??,AD!IBC,

：-LAEM^BFM，

.AM_AE

VEFlAC,BD1AC

：.EF//BD,

.AH_AM\

.AH1

"7F-3,

-：0A=0C,

.AH_1

*,AC-6f

：.CH=-AC=-x\2=\0.

66

【點睛】

本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定及性質、相似三角形的判定及其性質，平行線的判定及其性質,

解題的關鍵是綜合運用這些知識點，做輔助線構造有關的線段關系.

21.（2021?河南許昌市?九年級一模）若一一=:，則的值為____.

a+b3a

【答案】2

【分析】

由題意，計算得到2〃=b,即可求出答案.

【詳解】

3a=a+b,

2a=b,

?.?—b=z9；

a

故答案為：2.

【點睛】

本題考宣了比例的性質，解題的關鍵是正確得到2a=b.

22.（2021?云南九年級一模）如圖，有一正方形A8CO,邊長為4,點E是邊CO上的中點，對角線上

有一動點F,當頂點為A、B、F的三角形與頂點為D、E、F的三角形相似時，3尸的值為.

BC

【答案】2夜或畢.

【分析】

分口48斤一FOE和匚A5戶s[]EO尸兩種情形求解即可.

【詳解】

依題意可得：BD=dA^+Alf="2+4?=4夜,

設8F=x,則有。產=4&—x：

①當口48戶s□尸。E時，（如圖1）

②當口48尸sQEDb時，（如圖2）

由空二匹得拽==2,

BFBAx4

解得：x=逑；

3

綜上所述，8尸的值為2后或半.

故答案為：2&或辿?

3

【點睛】

本題考查了正方形背景下的三角形相似，熟練掌握三角形相似的判定定理，靈活運用分類思想求解是解題

的關鍵.

23.（2021?陜西九年級零模）如圖，在正方形ABC。中，AB=4,點”在C。上，且C"=l,點E繞點

B旋轉，且8E=1,同時在CE上方作正方形EFGC,則線段產H的最小值是?

【答案】5-&

【分析】

連接CF,AC,證明AA尸C[]Z\3EC,從而根據點E的運動軌跡發現點F是以點A為圓心，人尸=應為

半徑的圓上運動，當A,P,H二點共線時，HI有最小值.

【詳解】

連接CF,AC,

???四邊形ABCD,EFGC都是正方形，

.?.CD=AB=4,AC=6BC,FC=>fiEC，

???CH=[,

:.DH=CD-CH=3.

ACPCI—

4=4=垃NFCA=/ECB,

BCEC

/\AFC□△3EC，

EB

???點E是以點B為圓心，BE=1為半徑的圓上運動，

工點F是以點A為圓心，AF=42為半徑的圓上運動，

當A,F,H三點共線時，FH有最小值,

此時hti=JAP2+DH?=5，

:.FH=5-yf2，

故答案為：5—\/2.

【點睛】

本題主要考查旋轉的性質，相似三角形的判定及性質，找到點F的運動軌跡是解題的關鍵.

24.（2021?上海金山區?九年級一模）如圖，在DABC。中，點E在邊3c上，OE交對角線4C于尸，若

CE=2BE,A48C的面積等于15,那么AFEC的面積等于.

【答案】4

【分析】

由□ABCQ可得AD=BC、AD〃BC,由CE=28E可得AD=BC=3BE,過F作FN_LBC、FM_LAD4ibABC的

MN5

高為MN,AAFD的高為FM,再說明△ADF<^ACEF和△ENF^ADMF進而得到----二一，進而求得△AFD

FM3

的面積，最后根據相似三角形的性質求得△EFC的面積即可.

【詳解】

解：9：oABCD

???AD=BC、AD//BC

???CE=2BE

：.AD=BC=CE+BE=3BE

如圖：過F作FN_LBC交BC于N,交AD于M,

VADZ/BC,

AFM1AD,

△ADF0°ACEF,△ENFSADMF

.EFEC_2FN_EF_2

'~FM~~DF~3

.MN_5

VAD=BC

￥=:，即七&=?!，解得%硝=9

JARC3133

?.ShFD_9

，即解得S&CEF=4

?qSCEF

JCEFEC；

故填：4.

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解答本題的關

鍵.

三、解答題

25.（2021?哈爾濱市蕭紅中學九年級一模〕己知，口力3。內接于圓。過點C作A8的垂線，垂足為點E,

交圓。于點。.

（1）如圖1,連接OB,求證：ZACD=ZCBO；

（2）如圖2,過點。作A8的垂線，垂足為G,交BC于凡若FG=AG,求證AB=CD：

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接。尸交A8于點M,過點B作。戶的垂線交CO于點N,垂足為從

連接M/V,若NNMF=2/NBA,FO=3,求MN的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）MN=M

【分析】

（1）連接OC,由題意易得N8OC=2NA,40cB=4OBC,NAEC=90°,則有N4+NACE=90。，

由三角形內角和定理得N80C+2NC80=180。，然后問題可求證；

（2）連接AO,由題意易得口尸GB是等腰直角三角形，△CE8是等腰直角三角形，進而可得CE=8E,

AE=DE,然后問題可證；

（3）延長NM、FG交于點R,連接切?，過點R作AT_LC。于丁，設N（Z>'x=，則有NA3N=NCOb=%,

2x=^CDF+ZDNM,進而可得UNTR-BEN,則EN=RT=EG,然后可設=則

AE=ED=EG=NE=m,連接ON,可證四邊形ENOG是正方形，口0￡加8口人7M，由相似三角形的

性質及勾股定理可求解.

【詳解】

證明：（1）連接OC，如圖所示：

圖1

???OC=OB,

工/OCB=/OBC,

?:CD1AB,

???ZAEC=900,

???4+NA"=90。，

??,Z.BOC=2NA,

???在△CO5中，ZBOC+2ZCBO=180°.

/.2ZA+2ZCBO=180°,即NA+NCBO=90。，

???幺CD=NCBO：

（2）連接AO,如圖所示:

c

E\G/D

XxI)

D

圖2

??,FG1AB,

?，.AG=BG,

FG=AG,

：.FG=BG,

???□FG8是等腰直角三角形，

???NFBG=NGFB=45。,

???CD1AB,

:.CD//FG,

/.NDCB=NGFB=45°,

???△CE8是等腰直角三角形，

CE=BE?

???ZDCB=ZDAB=45°,

???ZDAE=ZADE=45°,

AE=DE,

???AB=AE+BE,CD=CE+BE,

：.AB=DC,

(3)延長NM、FG交于點、R,連接如圖所示:

設/CDF=x,

???AB±CD,BN1,DF,

???/DEM=/BHM=90°,

'：NEMD=4BMH,

，4ABN=4CDF=x,

???4NMF=2/NBA,/NMF=NCDF+ZDNM,

：.2x=/CDF+/DNM,

???/DNM=x=ZCDF,

???MN=DM,

???EN=ED,

同理可得：FM=RM,

MG上FR,

FG-RG=BG,

NGRB=NGBR,

過點R作R7_LC￡＞于。如圖所示：

???/MRG=4ABN=x,

???/NRB=NNBR，

：.NR=BN.

???/BEN=/NTR=90。,

?:ZTNR=^ABN=x,

：?DNTR且BENCAAS),

/.EN=RT=EG,

設AE=〃i,則AE=ED=EG=NE=m,

°：AG=BG=2m,

AB=4m,

*/AB=CD,

CD=4m,

CN=2m,

???CN=DN,

連接ON,如圖所示：

TR

???ONJ,CD,

???/ONE=/NEG=ZOGE=90°,

??.四邊形ENOG是正方形，

???OG=EN=m,

*.*FG-BG-2m,

OF=OG=nt,

???OF=3,

/.m=3,

???DE//FG,

：,1DEM^FGM,

DEEM，即葭器」

FGMG6MG2

■:EM+MG=3,

:.EM=\,

由勾股定理得：MN=1EN2+EM2?

【點睛】

本題主要考查圓的基本性質及相似三角形的性質與判定，熟練掌握圓的基本性質及相似三角形的性質與判

定是解題的關鍵.

26.(2021?安徽九年級一模)如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點M在邊AC上，點N在邊BC

上，沿直線MN將△MCN翻折，使點C落在邊48上，設其落點為P.

(1)求證：AM=PN；

PACM

(2)當點尸是邊AB的中點時，求證：—

PBCN

PACM

(3)當點尸不是邊A8的中點時，麗=而■是否仍然成立？請說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)成立，理由見解析.

【分析】

(1)連接PC,根據折疊的性質得MN是PC的垂直平分線，證明AM=PM=3AC即可得到結論；

(2)易證得△CMNs^CAB,然后由相似三角形的對應邊成比例，證得二-二==1，繼而可得比例式

CNBC

PA_CM

~PB~~CN'

(3)首先連接PC,則MN_LPC,過點P作PE_LAC于點E,易證得△AEPsZ\ACB,△MCN^APEC,

PACM

然后由相似三角形的對應邊成比例，證得石=7獷成

1JL/V

【詳解】

解：(1)連接PC,如圖1,

「△ABC是等腰直角三角形，ZC=90°

AZA=ZB=45°

AMC=NC

〈MN是折痕，

，MN垂直平分PC,MN//AB,MC=PM=PN

ACPIAB,ZMPC=ZMCP=45°

:.ZMPA=45°

???ZMPA=ZA

??.AM;PM

AAM=PN

(2)如圖1,

〈MN是折痕，

???MN垂直平分PC,

VAC=BC,AP=BE,

PA

ACPIAB,—=1,

PB

，MN〃AB,

AACMN^ACAB,

CMAC.

..-----==1,

CNBC

.PA_CM

'~PB~~CN''

PACM

(3)當點P不是邊AB的中點時，=——仍然成立.

PBCN

理由：如圖(2),連接PC,則MN_LPC,

A/

E/:\

/、、：

APB

圖2

過點P作PE_LAC于點E,

VZACB=90°,NA是公共角，

AAAEP^AACB,

.PA_AE

"TB~~EC,

VAC=BC,

.\ZA=ZB=45°,ZAPE=ZB=45°,

.*.AE=EP,

VZMCN=90°,CP_LMN,

AZECP=ZMNC,

AAMCN^APEC,

.CMCN

'~PE~~ECy

.CMPEAE

，~CN~~EC~~EC，

.PACM

''~PB~~CN'

【點睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質、折