第五章三角函數5.3誘導公式（第一課時）教學目標

借助單位圓推導誘導公式二~六；（重點）01

誘導公式的有效記憶；（重點、難點）02

能利用誘導公式解決一些三角函數的求值，化簡，證明問題.（重點、難點）03誘導公式學科素養

借助單位圓推導誘導公式;

數學抽象

直觀想象

誘導公式的推理；邏輯推理

利用誘導公式解決三角函數值、化簡和證明問題；數學運算

數據分析

數學建模誘導公式01知識回顧RetrospectiveKnowledge

設α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓相交于點P(x，y)(1)把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數，記作sinα，即y=sinα；(2)把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數，記作cosα，即x=cosα；(3)把點P的縱坐標和橫坐標的比值叫做α的

,記作,即(x≠0).終邊相同的角的對應三角函數相同：cos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanαsin(α+2kπ)=sinα其中k∈Z三角函數的概念02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

前面我們利用圓的幾何性質（三角函數的定義），得到了同角三角函數之間的基本關系．

我們知道，圓的最重要的性質是對稱性，而對稱性（奇偶性）也是函數的重要性質．

由此想到，可以利用圓的對稱性，研究三角函數的對稱性．

如圖，在直角坐標系內，設任意角α的

終邊與單位圓交于點P1，

（1）作P1關于原點的對稱點P2，以OP2為

終邊的角β與角α有什么關系？角β，α的三

角函數值之間有什么關系？

（2）如果作P1關于x軸（或y軸）的對稱點P3（或P4），那么又可以得到什么結論？探究

αP2P1P4P3

π+ααP2P1

如圖，以OP2為終邊的角β都是與角α＋π終邊相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)(k∈Z)．因此只需要研究角α＋π和角α的三角函數關系即可．

設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因為P1是P2關于原點的對稱點，所以x1=－x2，

y1=y2．根據三角函數的定義，得公式二

sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=

-cosαtan(π+α)=tanα從而得

-ααP1P3根據三角函數的定義，得公式三

sin(-α)=-sinαcos(-α)=

cosαtan(-α)=-tanα從而得根據三角函數的定義，得公式四

sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα從而得

π-ααP1P4對于公式一~四的概括：【1】α+2kπ，-α，(π±α)的三角函數值（終邊關于原點、x軸、y軸對稱的角），在絕對值上等于α的同名函數值，正負取決于把α看成銳角時原函數值的符號.即“函數名不變，符號看象限.”【2】對于正弦與余弦的誘導公式，α可以為任意角；對于正切的誘導公式，α的終邊不能落在y軸上;【3】誘導公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制表示.【例1】利用公式求下列三角函數值：銳角的三角函數0~2π的角的三角函數任意正角的三角函數任意負角的三角函數【利用誘導公式一~四把任意角的三角函數轉化成銳角的三角函數的步驟】用公式一或公式三用公式二或公式四用公式一公式四:sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosα;tan(π-α)=-tanα.公式三:sin(-α)=-sinα;cos(-α)=

cosα;tan(-α)=-tanα.公式二:sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=

-cosα;tan(π+α)=tanα.公式一:sin(2kπ+α)=sinα;cos(2kπ+α)=cosα;tan(2kπ+α)=tanα.利用誘導公式化簡的一般思路：切化弦，負化正、大化小；異名化同名，異角化同角.03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結SumUp公式四:sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosα;tan(π-α)=-tanα.公式三:sin(-α)=-sinα;cos(-α)=

cosα;tan(-α)=-tanα.公式二:sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=

-cosα;tan(π+α)=tanα.公式一:sin(2kπ+α)=sinα;cos(2kπ+α)=cosα;tan(2kπ+α)=tanα.銳角的三角函數0~2π的角的三角函數任意正角的三角函數任意負角的三角函數【利用誘導公式一~四把任意角的三角函數轉化成銳角的三角函數的步驟】用公式一或