河南省三門峽市2025屆高二數學第一學期期末學業水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．△ABC兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.2．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.3．已知在空間直角坐標系（O為坐標原點）中，點關于x軸的對稱點為點B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.4．從2，4中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數的個數為（）A.48 B.36C.24 D.185．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.6．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若，則等于（）A.1 B.C. D.27．在棱長為4的正方體中，為的中點，點P在正方體各棱及表面上運動且滿足，則點P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.8．入冬以來，梁老師準備了4個不同的烤火爐，全部分發給樓的三個辦公室（每層樓各有一個辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點冷，所以1，2樓的每個辦公室至少需要1個烤火隊，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.869．一物體做直線運動，其位移(單位:)與時間(單位:)的關系是，則該物體在時的瞬時速度是A. B.C. D.10．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.211．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.12．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“，”的否定是____________.14．已知空間向量，且，則___________.15．中小學生的視力狀況受到社會的關注.某市有關部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取400名學生，對他們的視力狀況進行一次調查統計，將所得到的有關數據繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個小組的頻率之比為，則抽取的這400名高一學生中視力在范圍內的學生有______人.16．已知拋物線：上有兩動點，，且，則線段的中點到軸距離的最小值是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，橢圓右焦點也為，離心率為（1）求拋物線方程和橢圓方程；（2）若不經過的直線與拋物線交于、兩點，且（為坐標原點），直線與橢圓交于、兩點，求面積的最大值18．（12分）已如橢圓C：＝1（a＞b＞0）的有頂點為M（2，0），且離心率e＝，點A，B是橢圓C上異于點M的不同的兩點（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線MA與直線MB的斜率分別為k1，k2，若k1?k2＝，證明：直線AB一定過定點19．（12分）已知數列的前項和（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和20．（12分）已知命題：方程有實數解，命題：，.（1）若是真命題，求實數的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數的取值范圍.21．（12分）設命題p：實數x滿足x≤2，或x＞6，命題q：實數x滿足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實數x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.22．（10分）在2016珠海航展志愿服務開始前，團珠海市委調查了北京師范大學珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務禮儀培訓和賽會應急救援培訓的情況，數據如下表：單位：人參加志愿服務禮儀培訓未參加志愿服務禮儀培訓參加賽會應急救援培訓88未參加賽會應急救援培訓430（1）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個培訓的概率；（2）在既參加志愿服務禮儀培訓又參加賽會應急救援培訓的8名同學中，有5名男同學A，A，A，A，A名女同學B，B，B現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A被選中且B未被選中的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.2、B【解析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以,因為M，N分別為BC，AD的中點，所以，所以，設直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B3、B【解析】根據點關于坐標軸對稱的性質，結合空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為點關于x軸的對稱點為，所以，設平面OAB的一個法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個方向向量為，設z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B4、B【解析】直接利用乘法分步原理分三步計算即得解.【詳解】從中選一個數字，有種方法；從中選兩個數字，有種方法；組成無重復數字的三位數，有個.故選：B5、C【解析】，，若，則，項，符合條件，故選6、B【解析】運用向量的線性運用表示向量，對照系數，求得，代入可得選項.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.7、A【解析】構造輔助線，找到點P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點E，的中點F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因為BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A8、C【解析】運用分類計數原理，結合組合數定義進行求解即可.【詳解】當3樓不要烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：；當3樓需要1個烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：；當3樓需要2個烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：，所以分發烤火爐的方法總數為：，故選：C【點睛】關鍵點睛：運用分類計數原理是解題的關鍵.9、A【解析】先對求導，然后將代入導數式，可得出該物體在時的瞬時速度【詳解】對求導，得，，因此，該物體在時的瞬時速度為，故選A【點睛】本題考查瞬時速度的概念，考查導數與瞬時變化率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題10、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即則，所以則故選：B11、A【解析】建立空間直角坐標系，結合空間向量的夾角坐標公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因為,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.12、D【解析】因為非p為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，【解析】根據全稱命題量詞的否定即可得出結果.【詳解】命題“”的否定是“，”故答案為：14、【解析】根據空間向量共線的坐標表示可得出關于的等式，求出的值即可.【詳解】由已知可得，解得.故答案為：.15、50【解析】利用頻率分布直方圖的性質求解即可.【詳解】第五組的頻率為，第一組所占的頻率為，則隨機抽取400名學生視力在范圍內的學生約有人.故答案為：50.16、2【解析】設拋物線的焦點為，由，結合拋物線的定義可得線段的中點到軸距離的最小值.【詳解】設拋物線的焦點為，點在拋物線的準線上的投影為，點在直線上的投影為，線段的中點為，點到軸的距離為，則,∴，當且僅當即三點共線時等號成立，∴線段的中點到軸距離的最小值是2，故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）拋物線方程為，橢圓方程為（2）【解析】（1）由，可得，繼而可得，故，再利用離心率，以及，即得解；（2）設直線方程為，與拋物線聯立，，結合韋達定理可得，再與橢圓聯立，，韋達定理代入，結合均值不等式即得解【小問1詳解】由題意，解得：，故，，，，，所以拋物線方程為，橢圓方程為【小問2詳解】設直線方程為，由消去得，，設，，則因，所以或（舍去），所以直線方程為由，消去得，設，，則設直線與軸交點為，則所以令，則，所以，當且僅當時，即時，取最大值18、（I）；（II）證明見解析.【解析】（I）根據頂點坐標求得，根據離心率求得，由此求得，進而求得橢圓方程.（II）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數關系，根據，求得的關系式，由此判斷直線過定點.【詳解】（I）由于是橢圓的頂點，所以，由于，所以，所以，所以橢圓方程為.（II）由于是橢圓上異于點的不同的兩點，所以可設直線的方程為，設，由消去并化簡得，所以，即.，，，，解得，所以直線的方程為，過定點.【點睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題.19、（1）（2）【解析】（1）利用與的關系求數列的通項公式；（2）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因為，故當時，，兩式相減得，又由題設可得，從而的通項公式為：；【小問2詳解】因為，，兩式相減得：所以.20、（1）或；（2）【解析】（1）由方程有實數根則，可求出實數的取值范圍.(2)為真命題,即從而得出的取值范圍,由（1）可得出為假命題時實數的取值范圍.即可得出答案.【詳解】解：（1）方程有實數解得，，解之得或；（2）為假命題，則，為真命題時，，，則故.故為假命題且為真命題時，.【點睛】本題考查命題為真時求參數的范圍和兩個命題同時滿足條件時，求參數的范圍，屬于基礎題.21、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時對應的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當a＝2時，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿足，∴2＜x＜4，∴實數x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實數a的取值范圍.【點睛】結論點睛：本題考查根據充分不必要條件求參數，一般可根據如下規則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對應的集合與對應集合互不包含22、（1）；（2）.【解析】（1）根據表中數據知未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有