江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．酒駕最新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，達(dá)到及以上認(rèn)定為醉酒駕車．如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為，從此刻起停止飲酒，血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：）（）A．6 B．7 C．8 D．94．若，則（）A． B．1 C． D．5．已知遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是與的等比中項(xiàng)，則（）A．51 B．48 C．36 D．336．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B．2 C． D．47．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，，且，則下列說(shuō)法不正確的是（）A． B．是奇函數(shù)C．若，則D．是奇函數(shù)8．我國(guó)南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖明原理：“具勢(shì)既同，則積不容異．”意思是夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．因此運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，我們可以構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即，則．現(xiàn)將雙曲線與直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分．若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分．9．下列命題正確的是（）A．已知由一組樣本數(shù)據(jù)，得到的回歸直線方程為，且，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有B．某學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生有男生500人，女生400人，為了獲得該校高三全體學(xué)生的身高信息，現(xiàn)采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取了容量為180的樣本，經(jīng)計(jì)算得男生樣本的均值為170，方差為19，女生樣本的均值為161，方差為28，則抽取的樣本的方差為43C．已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)可能等于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)D．若隨機(jī)變量，且，則10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是公比為2的等比數(shù)列C． D．的最大整數(shù)的值為811．已知正方體邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，則直線平面B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D．當(dāng)，且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．已知平面內(nèi)非零向量在向量上的投影向量為，且，則與夾角的余弦值為_(kāi)_____．13．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．14．已知函數(shù)相鄰兩零點(diǎn)的距離為，且，將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖像上的所有點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后得到函數(shù)的圖像．若存在非負(fù)實(shí)數(shù)使得，在內(nèi)恰好有8個(gè)零點(diǎn)，則所有符合條件的值組成的集合為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題13分）如圖，在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)為的重心，．（1）若平面，求的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．16．（本小題15分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．（1）求角；（2）若的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，求的面積．17．（本小題15分）某數(shù)學(xué)興趣小組模擬“刮刮樂(lè)”彩票游戲，每張彩票的刮獎(jiǎng)區(qū)印有從10個(gè)數(shù)字1，2，中隨機(jī)抽取的3個(gè)不同數(shù)字，刮開(kāi)涂層即可兌獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)規(guī)則為：每張彩票只能中獎(jiǎng)一次（按照最高獎(jiǎng)勵(lì)算）若3個(gè)數(shù)的積為2的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中三等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中二等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時(shí)，中一等獎(jiǎng)；其他情況不中獎(jiǎng)．（1）在一張彩票中獎(jiǎng)的前提下，求這張彩票是一等獎(jiǎng)的概率；（2）假設(shè)每張彩票售價(jià)為元，且獲得三、二、一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金分別為2元，3元，10元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．18．（本小題17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓雉曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，阿波羅尼斯圓指的是己知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比且是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)斜率分別為的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，且滿足，試探究面積是否存在最大值，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（本小題17分）已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：對(duì)任意，存在唯一實(shí)數(shù)，使得江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分題號(hào)12345678答案CDBACBDA1．【答案】C【解析】由，則．2．【答案】D【解析】由，則，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．3．【答案】B【解析】由．即，兩邊取對(duì)數(shù)可得，．4．【答案】A【解析】，即，則．5．【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是與的等比中項(xiàng)得，解得（舍）或，則，則．6．【答案】B【解析】由題意知點(diǎn)在曲線上，則圓心到直線的距離，即，所以的最小值2．7．【答案】D【解析】由得，所以，故是奇函數(shù)，故B正確；由是奇函數(shù)得，令，由可得，又，得，故A正確；由得，所以，故是偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤；由題意得，令得，當(dāng)時(shí)，，所以C正確．8．【答案】A【解析】已知直線與雙曲線的交點(diǎn)為，則用垂直于軸的平面截旋轉(zhuǎn)體的截面為圓面，截面圓的半徑為，截面面積為，又直線與雙曲線的漸近線的交點(diǎn)為，所以是用垂直于軸的平面截兩條漸近線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的截面面積，用垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得圓環(huán)的面積為，所以構(gòu)造底面半徑為1，高為4的圓柱的截面面積為，體積為，又繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體（兩個(gè)圓錐）的體積為，所以根據(jù)祖暅原理得旋轉(zhuǎn)體的體積為．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．題號(hào)91011答案BDABDBC9．【答案】BD【解析】對(duì)于A，這組數(shù)據(jù)不一定有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，樣本均值樣本方差：．故B正確對(duì)于C，將這原來(lái)的30個(gè)數(shù)從小到大排列為，則，所以原來(lái)的分位數(shù)為，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個(gè)數(shù)據(jù)為，則，以剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由于互不相同，所以C不正確；對(duì)于D，，則，故D正確．綜上，正確選項(xiàng)為BD．10．【答案】ABD【解析】由題設(shè)可得，，即，又，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2且公比為2的等比數(shù)列．所以B正確．所以，，即．則，所以A正確．所以，，又符合上式，則，即．故C錯(cuò)誤．，，所以D正確．11．【答案】BC【解析】對(duì)于A，由于時(shí)，則，此時(shí)為的中點(diǎn)，直線不會(huì)垂直平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使，因?yàn)椋矗庶c(diǎn)在上，將平面與平面沿著展開(kāi)到同一平面內(nèi)，如圖：連接交于，此時(shí)三點(diǎn)共線，取到最小值即的長(zhǎng)，由于，則，故，即此時(shí)的最小值為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)的軌跡在平面內(nèi)（包括邊界），所以的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)的軌跡在內(nèi)（包括邊界），由于平面平面，故，又平面，故平面平面，故，同理可證平面，故平面，設(shè)與平面交于點(diǎn)，由于，為邊長(zhǎng)為的正三角形，則點(diǎn)到平面的距離為，若，則，即點(diǎn)落在以為圓心，為半徑的圓上，點(diǎn)到三邊的距離均為，即點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，又，其軌跡長(zhǎng)度為3倍的弧長(zhǎng)：，故D錯(cuò)誤．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．【答案】【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋矗郑瑒t，即．13．【答案】【詳解】，又，，則．14．【答案】【詳解】由題意可知，即，，則，所以．故．則，令，此時(shí)，而，則上述方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定有兩個(gè)異號(hào)的根，不妨設(shè)，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解，對(duì)于在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，內(nèi)都有8個(gè)零點(diǎn)，內(nèi)有10個(gè)零點(diǎn)，則或；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有9個(gè)零點(diǎn)，故；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，又，則，故在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有10個(gè)零點(diǎn)，故；故．四、解答題：本大題共5小題，共77分．15．【解】（1）連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，所以平面平面．因?yàn)槠矫嫫矫嫠杂忠驗(yàn)闉榈闹匦模裕裕裕矗栽谥校瑒t．（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槠矫嫫矫嬗忠驗(yàn)樗裕移矫嫫矫妫云矫妫鐖D所示，分別以為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以，因?yàn)椋杂忠驗(yàn)椋裕裕裕忠驗(yàn)椋环猎O(shè)平面的法向量，所以所以，可取設(shè)直線與平面所成的角為，所以．16．【解】（1）由正弦定理可得，又，則，，即，又，則．（2）由（1）可知，，又外接圓的半徑為；由正弦定理可知，即又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．則，又，則．17．【解】（1）若獲得三等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①2，4，8，10中出現(xiàn)3個(gè)；②2，4，8，10中出現(xiàn)2個(gè)，1，5，7出現(xiàn)1個(gè)；③2，4，8，10中出現(xiàn)1個(gè)，1，5，7出現(xiàn)2個(gè)；則獲得三等獎(jiǎng)的概率，若獲得二等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①中出現(xiàn)2個(gè)，五個(gè)中出現(xiàn)1個(gè)；②中出現(xiàn)1個(gè)，1、2、4、7、8五個(gè)中出現(xiàn)2個(gè)；則獲得二等獎(jiǎng)的概率，若獲得一等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①一個(gè)7，3、9中出現(xiàn)1個(gè)，4、8中出現(xiàn)1個(gè)；②一個(gè)7，一個(gè)6，2、4、8、10四個(gè)中出現(xiàn)1個(gè)；則獲得一等獎(jiǎng)的概率，所以隨機(jī)抽取一張彩票，則這張彩票中獎(jiǎng)的概率．所以已知一張彩票中獎(jiǎng)，且是一等獎(jiǎng)的概率為（2）一張彩票的獎(jiǎng)金的取值可能為0、2、3、10元，由題可知不中獎(jiǎng)的概率為其分布列為：02310所以，所以要盈利，則又，所以的最小值為2．18．【解】：（1）方法一：設(shè)，上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，由題意知：整理可得：，又．，解得．則橢圓方程為．方法二：圓心在兩定點(diǎn)所在直線上，，又且圓心為則橢圓方程為（2）由題可知，直線的斜率顯然存在設(shè)，則解得：，則，又整理可得，即，即或，當(dāng)時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合題意，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，又，當(dāng)時(shí)面積取得最大值，最大值為2，此時(shí)，存在最大值為2，此時(shí)直線方程為．19．【解】（1），則，①當(dāng)時(shí)，，令，則；令，則．即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．②當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為．③當(dāng)時(shí)，則，令，則或；令，則．即的單調(diào)