第二講古典概型與幾何概型題組1求古典概型的概率1.[2017全國卷Ⅱ,11,5分]從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為()A.110 B.15 C.32.[2016全國卷Ⅰ,3,5分]為美化環境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.13 B.12 C.233.[2015新課標全國Ⅰ,4,5分]如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數為一組勾股數.從1,2,3,4,5中任取3個不同的數,則這3個數構成一組勾股數的概率為()A.310 B.15 C.110 4.[2014湖北,5,5分]隨機擲兩枚質地均勻的骰子,它們向上的點數之和不超過5的概率記為p1,點數之和大于5的概率記為p2,點數之和為偶數的概率記為p3,則()A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p25.[2016四川,16,5分]從2,3,8,9中任取兩個不同的數字,分別記為a,b,則logab為整數的概率是.

6.[2016山東,16,12分]某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖1321所示的轉盤兩次,每次轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區域中的數.設兩次記錄的數分別為x,y.獎勵規則如下:圖1321①若xy≤3,則獎勵玩具一個;②若xy≥8,則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料一瓶.假設轉盤質地均勻,四個區域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.(Ⅰ)求小亮獲得玩具的概率;(Ⅱ)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.題組2幾何概型的概率計算7.[2016全國卷Ⅰ,4,5分][理]某公司的班車在7:30,8:00,8:30發車,小明在7:50至8:30之間到達發車站乘坐班車,且到達發車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.13 B.12 C.238.[2016全國卷Ⅱ,10,5分][理]從區間[0,1]隨機抽取2n個數x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構成n個數對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數的平方和小于1的數對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.4nm B.2nm C.9.[2015福建,8,5分]如圖1322,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1,0),且點C與點D在函數f(x)=x+1,x≥0,-12x圖1322A.16 B.14 C.3810.[2017江蘇,7,5分][理]記函數f(x)=6+x-x2的定義域為D.在區間[4,5]上隨機取一個數x,則x∈11.[2016山東,14,5分][理]在[1,1]上隨機地取一個數k,則事件“直線y=kx與圓(x5)2+y2=9相交”發生的概率為.

12.[2015重慶,15,5分]在區間[0,5]上隨機地選擇一個數p,則方程x2+2px+3p2=0有兩個負根的概率為.

13.[2014重慶,15,5分]某校早上8:00開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.(用數字作答)

A組基礎題1.[2018益陽市、湘潭市高三調考,2]已知a∈{2,0,1,2,3},b∈{3,5},則函數f(x)=(a22)ex+b為減函數的概率是()A.310 B.35 C.252.[2018益陽市、湘潭市高三調考,4]若正方形ABCD的邊長為4,E為四邊上任意一點,則AE的長度大于5的概率等于()A.132 B.78 C.383.[2018廣東七校聯考,9]在如圖1323所示的圓形圖案中有12片樹葉,構成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為π3()圖1323A.233π B.463π C.14.[2018惠州市一調,9][數學文化題]我國古代數學家趙爽在《周髀算經》一書中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖1324是趙爽的弦圖.弦圖是一個以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用2×勾×股+(股勾)2=4×朱實+黃實=弦實=弦2,化簡得:勾2+股2=弦2.設勾股形中勾股比為1∶3,若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內的圖釘數大約為()圖1324A.866 B.500 C.300 D.1345.[2018陜西省部分學校摸底檢測,14]連擲兩次骰子得到的點數分別為m和n,若向量a=(m,n)與向量b=(1,2)的夾角為θ,則θ為銳角的概率是.

6.[2018遼寧五校聯考,15]在區間[1,1]上隨機取一個數k,則直線y=k(x+2)與圓x2+y2=1有公共點的概率為.

7.[2017沈陽市三模,13]在區間(0,2)中隨機地取出兩個數,則兩數之和小于1的概率是.

B組提升題8.[2018成都市高三摸底測試,9]小明在花店定了一束鮮花,花店承諾將在第二天早上7:30~8:30之間將鮮花送到小明家.若小明第二天離開家去公司上班的時間在早上8:00~9:00之間,則小明在離開家之前收到這束鮮花的概率是()A.18 B.14 C.349.[2018陜西省部分學校摸底檢測,9]在球O內任取一點P,則點P在球O的內接正四面體中的概率是()A.112π B.312π C.2310.[2018石家莊市重點高中高三摸底考試,10]一個三位數,個位、十位、百位上的數字依次為x,y,z,當且僅當y>x,y>z時,稱這樣的數為“凸數”(如243),現從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數組成一個三位數,則這個三位數是“凸數”的概率為()A.23 B.13 C.16 圖132511.[2018湖北省部分重點中學高三起點考試,6]某商場對某一商品搞活動,已知該商品每一個的進價為3元,售價為8元,每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售,該商場統計了近10天這種商品的銷售量,如圖1325所示.設x為這種商品每天的銷售量,y為該商場每天銷售這種商品的利潤.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天,則選出的這2天日利潤都是97元的概率為()A.19 B.110 C.1512.[2018長春市高三第一次質量監測,18]長春市的“名師云課”活動自開展以來獲得廣大家長和學生的高度贊譽,在第二季“名師云課”中,數學學科共計推出36節云課,為了更好地將課程內容呈現給學生,現對某一時段云課的點擊量進行統計:點擊量[0,1000](1000,3000](3000,+∞)節數61812(1)現從36節云課中采用分層抽樣的方式選出6節,求選出的點擊量超過3000的節數;(2)為了更好地搭建云課平臺,現將云課進行剪輯,若點擊量在區間[0,1000]內,則需要花費40分鐘進行剪輯,若點擊量在區間(1000,3000]內,則需要花費20分鐘進行剪輯,點擊量超過3000,則不需要剪輯,現從(1)中選出的6節課中任意選出2節課進行剪輯,求剪輯時間為40分鐘的概率.答案1.D依題意,記兩次取得卡片上的數字依次為a,b,則一共有25個不同的數組(a,b),其中滿足a>b的數組共有10個,分別為(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率為1025=252.C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,共有6種選法.紅色和紫色的花不在同一花壇的有4種選法,根據古典概型的概率計算公式,所求的概率為46=23.3.C從1,2,3,4,5中任取3個不同的數,有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},共10個基本事件,其中這3個數能構成一組勾股數的只有{3,4,5},所以所求概率為110,故選C4.C總的基本事件個數為36,向上的點數之和不超過5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10個,則向上的點數之和不超過5的概率p1=1036=518;向上的點數之和大于5的概率p2=1518=1318;向上的點數之和為偶數與向上的點數之和為奇數的個數相等,故向上的點數之和為偶數的概率p3=12.即p1<p5.16從2,3,8,9中任取兩個不同的數字,(a,b)的所有可能結果有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12種,其中log28=3,log39=2為整數,所以logab為整數的概率為16.用數對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數,則基本事件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應.因為S中元素的個數是4×4=16,所以基本事件總數n=16.(Ⅰ)記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件共5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為5(Ⅱ)記“xy≥8”為事件B,“3<xy<8”為事件C.則事件B包含的基本事件共6個,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)=616=3事件C包含的基本事件共5個,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=516因為38>5167.B由題意得圖D1322,圖D1322由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為128.C設由0≤xn≤1,0≤yn≤1構成的正方形的面積為S,xn2+yn2<1構成的圖形的面積為9.B依題意得,點C的坐標為(1,2),所以點D的坐標為(2,2),所以S矩形ABCD=3×2=6,S陰影=12×3×1=32,根據幾何概型的概率求解公式,得所求的概率P=S陰影S矩形ABCD10.59由6+xx2≥0,解得2≤x≤3,則D=[2,3],則所求概率為3-(-211.34圓(x5)2+y2=9的圓心為C(5,0),半徑r=3,故由直線與圓相交可得|5k-0|k2+1<r,即|5k|k2+1<3,整理得12.23設方程x2+2px+3p2=0的兩個根分別為x1,x2,由題意,得Δ=4p2-4(3p-2)≥013.932圖D1323設小張與小王的到校時間分別為7:00后第x分鐘,第y分鐘,根據題意可畫出圖形,如圖D1323所示,則總事件所占的面積為(5030)2=400.記小張比小王至少早5分鐘到校為事件A,則A={(x,y)|yx≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如圖D1323中陰影部分所示,陰影部分所占的面積為12×15×15=2252,所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)=2252A組基礎題1.C函數f(x)=(a22)ex+b為減函數,則a22<0,又a∈{2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1滿足題意,又b∈{3,5},所以函數f(x)=(a22)ex+b為減函數的概率P=2×25×2=25.2.D設M,N分別為BC,CD靠近點C的四等分點,則當E在線段CM,CN(不包括M,N)上時,AE的長度大于5,因為正方形的周長為16,CM+CN=2,所以AE的長度大于5的概率為216=183.B設圓的半徑為r,根據扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S=24(16πr234r2)=4πr263r2,圓的面積S'=πr2,所以此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率為SS'=4.D設勾為a,則股為3a,所以弦為2a,小正方形的邊長為3aa,所以題圖中大正方形的面積為4a2,小正方形的面積為(31)2a2,所以小正方形與大正方形的面積比為(3-1)24=135.16因為向量a,b的夾角為銳角,所以a·b>0且a,b不共線,所以m2n>0且n≠2m.由題意得向量a一共有36個,其中滿足m2n>0且n≠2m(6,1),(6,2),所以θ為銳角的概率是166.33因為直線y=k(x+2)與圓x2+y2=1有公共點,所以2|k|1+k2≤1,解得33≤7.18設在區間(0,2)中隨機取出的兩個數為x,y,根據題意可畫出圖形,如圖D1324,則總事件所占的面積為2×2=4.記兩數之和小于1為事件A,則A={(x,y)|x+y<1,0<x<2,0<y<2},如圖D1324中陰影部分所示,陰影部分所占的面積為12×1×1=12,所以兩數之和小于1的概率為P(A)=1圖D1324B組提升題8.D如圖D1325,設送花人到達小明家的時間為x,小明離家去上班的時間為y,記小明離家前能收到鮮花為事件A.(x,y)可以看成平面中的點,試驗的全部結果所構成的區域為Ω={(x,y)|7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},這是一個正方形區域,面積為SΩ=1×1=1,事件A所構成的區域為A={(x,y)|y≥x,7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},即圖中的陰影部分,面積為SA=112×12×12=78.這是一個幾何概型,所以P(A)=圖D13259.C設球O的半徑為R,球O的內接正四面體的棱長為2a,所以正四面體的高為233a,所以R2=(63a)2+(23a3R)2,即3a=2R,所以正四面體的棱長為26R3,底面面積為12×26R3×2R=233R2,高為4R3,所以正四面體的體積為13×23R23×10.B從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數組成一個三位數共有24個結果:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸數”的是13