2025屆上海市十中數學高二上期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與直線交于點Q，m是實數，O為坐標原點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.42．已知數列的首項為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.24．對于實數a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則5．已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（）A.1 B.2C. D.6．如果向量，，共面，則實數的值是（）A. B.C. D.7．甲、乙、丙、丁共4名同學進行黨史知識比賽，決出第1名到第4名的名次（名次無重復），其中前2名將獲得參加市級比賽的資格，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽的資格.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，4人的排名有（）種不同情況.A.6 B.8C.10 D.128．已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.9．已知，設函數，若關于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知等差數列滿足，則其前10項之和為（）A.140 B.280C.68 D.5611．已知圓與直線至少有一個公共點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．設等差數列的前項和為，若，則的值為（）A.28 B.39C.56 D.117二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，已知，，，，則___________.14．拋物線的準線方程是________15．在等差數列中，前n項和記作，若，則______16．設數列滿足，則an＝________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為，，….（參考數據：，，.）（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；（2）將（1）中的遞推關系表示成的形式，其中k，r為常數；（3）求的值（精確到1）.18．（12分）已知函數.（1）當時，討論的單調性；（2）當時，，求a的取值范圍.19．（12分）近年來，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢，一方面，化肥的施用對糧食增產增收起到了關鍵作用，另一方面，也成為環境污染，空氣污染，土壤污染的重要來源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進糧食增產，減少對周圍環境的污染成為需要解決的重要問題.研究糧食產量與化肥施用量的關系，成為解決上述問題的前提.某研究團隊收集了10組化肥施用量和糧食畝產量的數據并對這些數據作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統計量的值，化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產量為y（單位：百公斤）.參考數據：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根據散點圖判斷與，哪一個適宜作為糧食畝產量y關于化肥施用量x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；并預測化肥施用量為27公斤時，糧食畝產量y的值；（3）經生產技術提高后，該化肥的有效率Z大幅提高，經試驗統計得Z大致服從正態分布N），那這種化肥的有效率超過58%的概率約為多少？附：①對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；②若隨機變量，則有，；③取.20．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點和點都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）；（2）設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q（不與O重合），使得？若存在，求點Q的坐標，若不存在，說明理由21．（12分）在平面直角坐標系內，已知的三個頂點坐標分別為（1）求邊垂直平分線所在的直線的方程；（2）若的面積為5，求點的坐標22．（10分）某項目的建設過程中，發現其補貼額x（單位：百萬元）與該項目的經濟回報y（單位：千萬元）之間存在著線性相關關系，統計數據如下表：補貼額x（單位：百萬元）23456經濟回報y（單位：千萬元）2.5344.56（1）請根據上表所給的數據，求出y關于x的線性回歸直線方程；（2）為高質量完成該項目，決定對負責該項目的7名工程師進行考核.考核結果為4人優秀，3人合格.現從這7名工程師中隨機抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優秀的人數，求隨機變量X的分布列與期望.參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求出兩直線的交點坐標，結合兩點間的距離公式得到，進而可以求出結果.【詳解】因為與的交點坐標為所以，當時，，所以的最大值是，故選：B.2、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結合由，轉化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因為，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，當時，，不等式可化為恒成立，所以；當時，，不等式可化為恒成立；當時，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實數的取值范圍是.故選：C.3、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.4、C【解析】對于選項A，可以舉反例判斷；對于選項BCD可以利用作差法判斷得解.【詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項錯誤；B.，所以，所以該選項錯誤；C.，所以該選項正確；D.，所以該選項錯誤.故選：C5、C【解析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.6、B【解析】設，由空間向量的坐標運算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設，可得，解得.故選：B.7、C【解析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒有限制，4人排名即為，若甲是第三名，4人的排名為，所以4人的排名有種情況.故選：C8、A【解析】由直線斜率與方向向量的關系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A9、D【解析】由題設易知上恒成立，而在上，討論、，結合導數研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時，在上；由時，在上遞減，值域為；令且，則，當時，，即遞增，值域為，滿足題設；當時，在上，即遞減，在上，即遞增，此時值域為；當，即時存在，而在中，此時，不合題設；所以，此時要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點睛】關鍵點點睛：由題設易知上，只需在上恒有即可.10、A【解析】根據等差數列的性質，可得，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數列滿足，根據等差數列的性質，可得，所以數列的前10項和為.故選：A.11、C【解析】利用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離范圍，從而求出的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離，當且僅當時等號成立，故只需即可.故選：C12、B【解析】由已知結合等差數列的求和公式及等差數列的性質即可求解.【詳解】因為等差數列中，，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或##或【解析】根據向量平行時坐標的關系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設，，解得，或.故答案為：或.14、【解析】將拋物線方程化為標準形式，從而得到準線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線準線的求解，易錯點是未將拋物線方程化為標準方程.15、16【解析】根據等差數列前項和公式及下標和性質以及通項公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，所以，所以；故答案為：16、【解析】先由題意得時，，再作差得，驗證時也滿足【詳解】①當時，；當時，②①②得，當也成立.即故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）10626【解析】（1）根據題意，建立遞推關系即可；（2）利用待定系數法求解得.（3）利用等比數列求和公式，結合已知數據求解即可.【小問1詳解】解：因為某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，所以，且.【小問2詳解】解：將化成，因為所以比較的系數，可得，解得.所以（1）中的遞推公式可以化為.【小問3詳解】解：由（2）可知，數列是以為首項，1.08為公比的等比數列，則.所以.18、（1）在上單調遞減，在上單調遞增（2）【解析】（1）研究當時的導數的符號即可討論得到的單調性；（2）對原函數求導，對a的范圍分類討論即可得出答案.【小問1詳解】當時，，令，則，所以在上單調遞增.又因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】，且.①當時，由（1）可知當時，所以在上單調遞增，則，符合題意.②當時，，不符合題意，舍去.③當時，令，則，則，，當時，，所以在上單調遞減，當時，，不符合題意，舍去.綜上，a的取值范圍為.【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用19、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根據散點圖的變化趨勢，結合給定模型的性質直接判斷適合的模型即可.（2）將（1）中模型取對得，結合題設及表格數據求及參數，進而可得參數c，即可確定回歸方程，進而估計時糧食畝產量y的值.（3）由題設知，結合特殊區間的概率值及正態分布的對稱性求即可.【小問1詳解】根據散點圖，呈現非線性的變化趨勢，故更適合作為關于的回歸方程類型.【小問2詳解】對兩邊取對數，得，即，由表中數據得：，，，則，∴關于的回歸方程為，當時，，∴當化肥施用量為27公斤時，糧食畝產量約為810公斤.小問3詳解】依題意，，則有，∴，則，∴這種化肥的有效率超過58%的概率約為.20、（1），；（2）存在或，使得，理由見解析.【解析】（1）根據離心率，及求出，，進而得到橢圓方程及用m，n表示點M的坐標；（2）假設存在，根據得到，表達出點坐標，得到，結合得到，從而求出答案.【小問1詳解】由離心率可知：，又，，解得：，，故橢圓C：，直線PA為：，令得：，所以；【小問2詳解】存在或，使得，理由如下：假設，使得，則，其中，直線：，令得：，則，，解得：，其中，故，所以，所以或21、（1）；（2）或【解析】（1）由題意直線的斜率公式，兩直線垂直的性質，求出的斜率，再用點斜式求直線的方程（2）根據的面積為5，求得點到直線的距離，再利用點到直線的距離