第15講長度定值問題一、解答題1．已知橢圓：，過坐標原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A，B兩點．（1）求證：O到直線AB的距離為定值．（2）求0AB面積的最大值．2．已知直線l的方程為x＝﹣2，且直線l與x軸交于點M，圓O：與x軸交于A，B兩點（如圖）．（1）過M點的直線l1交圓于P、Q兩點，且O點到直線l1的距離為，求直線l1的方程；（2）求以l為準線，中心在原點，且短軸長為圓O的半徑的橢圓方程；（3）過M點的圓的切線l2，交（2）中的一個橢圓于C、D兩點，其中C、D兩點在x軸上方，求線段CD的長．3．已知橢圓.（1）直線過點與橢圓交于兩點，若，求直線的方程；（2）在圓上取一點，過點作圓的切線與橢圓交于兩點，求的值.4．已知分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點在橢圓上，且當直線垂直于軸時，.（1）求橢圓C的標準方程；（2）是否存在實數t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，說明理由5．設橢圓C：1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線C：x2＝4y的焦點重合，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，且離心率e且過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得2．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求證：為定值．6．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．（1）證明：；（2）設為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數列，并求該數列的公差．7．已知橢圓，離心率，點在橢圓上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設點P是橢圓C上一點，左頂點為A，上頂點為B，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：為定值．8．已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）若點A、B為橢圓C的左右頂點，直線與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A、B的動點，直線AP、BP分別交直線于E、Ｆ兩點，當點P在橢圓C上運動時，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.9．如圖，已知橢圓，點B是其下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A（A點在軸下方），且線段AB的中點E在直線上.（1）求直線AB的方程；（2）若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP,BP分別交直線于點M、N，證明：OM·ON為定值.10．已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）設直線與橢圓E交于A，C兩點，以AC為對角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點為N，求證：為定值.11．已知橢圓：（）經過與兩點.（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線與橢圓交于、兩點，橢圓上一點滿足.求證：為定值.12．已知橢圓：過點，過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.13．已知橢圓：在右、上頂點分別為、，是橢圓的左焦點，是橢圓上的點，且（是坐標原點）.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相切于點（在第二象限），過作直線的平行線與直線相交于點，問：線段的長是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.14．已知點F1為橢圓1（a＞b＞0）的左焦點，在橢圓上，PF1⊥x軸.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線l：y＝kx+m與橢圓交于（1，2），B兩點，O為坐標原點，且OA⊥OB，O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.15．已知橢圓C：（）的左、右頂點分別為A，B，左焦點為F，O為原點，點P為橢圓C上不同于A、B的任一點，若直線PA與PB的斜率之積為，且橢圓C經過點.（1）求橢圓C的方程；（2）若P點不在坐標軸上，直線PA，PB交y軸于M，N兩點，若直線OT與過點M，N的圓G相切.切點為T，問切線長是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由.16．已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求C的方程；（2）點M，N在C上，且，D為垂足，問是否存在定點Q，使得為定值，若存在，求出Q點，若不存在，請說明理由．第15講長度定值問題一、解答題1．已知橢圓：，過坐標原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A，B兩點．（1）求證：O到直線AB的距離為定值．（2）求0AB面積的最大值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，則設直線AB：y＝kx+m，聯立橢圓方程，由OA⊥OB，得x1x2+y1y2＝0，化簡整理，再由點到直線的距離，即可得到定值；若AB的斜率不存在時，顯然成立；（2）運用弦長公式，化簡整理，再由基本不等式，即可得到最大值，當斜率不存在時，經檢驗|AB|＜2也成立即可．【詳解】（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），若AB的斜率k存在，則設直線AB：y＝kx+m．由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，則x1+x2＝﹣，①由OA⊥OB，得x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，將①代入，得4m2＝3k2+3，即有m2＝（k2+1），則有原點到直線AB的距離d＝＝，當AB的斜率不存在時，|x1|＝|y1|，可得|x1|＝＝d，依然成立．所以點O到直線AB的距離為定值．（2）|AB|2＝（1+k2）（x1﹣x2）2＝（1+k2）[（）2﹣4×]＝＝3+＝當且僅當9k2＝，即k＝時等號成立．當AB的斜率不存在時，經檢驗|AB|＜2．所以S△OAB≤，即有△OAB面積的最大值為．【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，考查直線和橢圓方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，考查點到直線的距離公式和基本不等式的運用，屬于中檔題．2．已知直線l的方程為x＝﹣2，且直線l與x軸交于點M，圓O：與x軸交于A，B兩點（如圖）．（1）過M點的直線l1交圓于P、Q兩點，且O點到直線l1的距離為，求直線l1的方程；（2）求以l為準線，中心在原點，且短軸長為圓O的半徑的橢圓方程；（3）過M點的圓的切線l2，交（2）中的一個橢圓于C、D兩點，其中C、D兩點在x軸上方，求線段CD的長．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）可設直線l1的方程為y＝k（x+2），由點到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得；（2）設橢圓的方程為1（a＞b＞0），易得a＝1或b＝1，分別可得b和a值，可得方程；（3）可設直線l2的方程為y（x+2）和橢圓聯立可得5x2+8x+2＝0，由弦長公式可得．【詳解】（1）∵點到直線的距離為.設的方程為，∴，∴.∴的方程為.（2）設橢圓方程為，半焦距為，則.，，∴.∴所求橢圓方程為.（3）設切點為，則由題意得，橢圓方程為，在中，，，則，∴的方程為，代入橢圓中，整理得.設，，則，.∴.【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．3．已知橢圓.（1）直線過點與橢圓交于兩點，若，求直線的方程；（2）在圓上取一點，過點作圓的切線與橢圓交于兩點，求的值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用點差法解決中點弦問題中求直線方程；（2）分類討論切線斜率不存在與存在，利用兩向量垂直其向量的數量積為零，可證明，進而在中，由與相似，得求得答案.【詳解】解：（1）設，，，即，解得.兩點在橢圓上，，兩式相減，得，則，故直線的方程為，即.（2）當切線斜率不存在時，不妨設的方程為，由橢圓的方程可知，，則，，即.當切線斜率存在時，可設的方程為，，即，聯立和橢圓的方程，得，則，

，.綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點，都有.在中，由與相似，得.【點睛】本題考查橢圓中利用點差法解決中點弦問題，還考查了直線與橢圓的位置關系中的定值問題，屬于較難題.4．已知分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點在橢圓上，且當直線垂直于軸時，.（1）求橢圓C的標準方程；（2）是否存在實數t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）存在；.【分析】（1）根據題意得到關于的方程組，求解出的值，則橢圓方程可求；（2）根據條件可得，當直線的斜率不存在時，直接計算即可；當直線的斜率存在時，設，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理形式表示出，由此確定出是否存在滿足條件.【詳解】解：（1）由題意可得，解得.故橢圓C的標準方程為.（2）由（1）可知.當直線l的斜率不存在時，，則.當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則直線l的方程為.聯立，整理得，則，從而故由題意可得.則.因為，所以.綜上，存在實數，使得恒成立.【點睛】易錯點睛：利用直線與圓錐曲線聯立求解相關問題的易錯點：（1）假設直線方程的時候，要注意分析直線的斜率是否存在；（2）利用公式或不僅可以求解弦長，同時還可以求解兩點之間的距離.5．設橢圓C：1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線C：x2＝4y的焦點重合，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，且離心率e且過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得2．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求證：為定值．【答案】（1）（2）或（3）定值【分析】（1）根據拋物線的焦點確定橢圓的頂點，結合離心率，即可求出橢圓的標準方程．（2）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩種情況討論：①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意；②設存在直線l為y＝k（x﹣1）（k≠0），與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合向量條件，即可求得直線l的方程；（3）設M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），求出|MN|與|AB|的長，從而可證結論．【詳解】（1）拋物線的焦點為∵橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合∴橢圓的一個頂點為，即∵，∴a＝2，∴橢圓的標準方程為（2）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．①當直線斜率不存在時，M（1，），N（1，），∴，不合題意．②設存在直線l為y＝k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，，，所以，故直線l的方程為或（3）證明：設M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）由（2）可得：|MN|．由消去y，并整理得：，|AB|，∴為定值【點睛】本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查向量知識的運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．6．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．（1）證明：；（2）設為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數列，并求該數列的公差．【答案】（1）（2）或【詳解】分析：（1）設而不求，利用點差法進行證明．（2）解出m,進而求出點P的坐標，得到,再由兩點間距離公式表示出，得到直的方程，聯立直線與橢圓方程由韋達定理進行求解．詳解：（1）設，則.兩式相減，并由得.由題設知，于是.①由題設得，故.（2）由題意得，設，則.由（1）及題設得.又點P在C上，所以，從而，.于是.同理.所以.故，即成等差數列.設該數列的公差為d，則.②將代入①得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以該數列的公差為或.點睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關系，等差數列的性質，第一問利用點差法，設而不求可減小計算量，第二問由已知得到,求出m得到直線方程很關鍵，考查了函數與方程的思想，考察學生的計算能力，難度較大．7．已知橢圓，離心率，點在橢圓上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設點P是橢圓C上一點，左頂點為A，上頂點為B，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：為定值．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率，點在橢圓上，結合性質，列出關于、、的方程組，求出、、，即可得橢圓C的標準方程；（2）設，根據三點共線斜率相等，可分別求出的坐標，利用兩點間的距離公式可將用表示，結合點在橢圓上消去即可得結果.試題解析：（1）依題意得，設，則，由點在橢圓上，有，解得，則，橢圓C的方程為：設，，，則，由APM三點共線，則有，即，解得，則，由BPN三點共線，有，即，解得，則=又點P在橢圓上，滿足，有，代入上式得=，可知為定值．【方法點睛】本題主要考查待定待定系數法求橢圓標準方程、橢圓的離心率、直線的斜率公式以及圓錐曲線的定值問題以及點在曲線上問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.8．已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）若點A、B為橢圓C的左右頂點，直線與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A、B的動點，直線AP、BP分別交直線于E、Ｆ兩點，當點P在橢圓C上運動時，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）為定值1【分析】(1)由題意可知,,結合，可求出橢圓方程.(2)設,則直線AP的方程為，求出，同理得出，將點在橢圓上這個條件代入，可得到答案.【詳解】（1）由題意可知又因為且，解得，所以橢圓C的方程為；（2）為定值1.由題意可得：，設，由題意可得：，所以直線AP的方程為，令，則，即；同理：直線BP的方程為，令，則，即；所以而，即，代入上式得，所以為定值1.【點睛】本題考查利用離心率求橢圓方程和橢圓中的定值問題，考查運算能力，屬于難題.9．如圖，已知橢圓，點B是其下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A（A點在軸下方），且線段AB的中點E在直線上.（1）求直線AB的方程；（2）若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP,BP分別交直線于點M、N，證明：OM·ON為定值.【答案】（1）（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）兩點確定一條直線，所以只需再確定A點坐標即可，這可利用A在橢圓上及AB中點在直線上聯立方程組解得：A（，），從而根據兩點式求出直線AB的方程為．（2）本題涉及的條件為坐標，所以用分別表示M點、N點坐標就是解題方法：由A，P，M三點共線，又點M在直線y=x上，解得M點的橫坐標，由B，P，N三點共線，點N在直線y=x上，，解得N點的橫坐標．所以OM·ON==＝2=，又，所以OM·ON====．試題解析：解：（1）設點E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．代入橢圓方程得，即，解得或（舍）．3分所以A（，），故直線AB的方程為．6分（2）設，則，即．設,由A，P，M三點共線，即，∴，又點M在直線y=x上，解得M點的橫坐標，9分設，由B，P，N三點共線，即，∴，點N在直線y=x上，，解得N點的橫坐標．12分所以OM·ON==＝2====．16分考點：直線與橢圓位置關系10．已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）設直線與橢圓E交于A，C兩點，以AC為對角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點為N，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意可知，，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得，及，由此即可求證為定值．【詳解】（1）由題意知，橢圓E的焦點在x軸且，，∴.故橢圓E的標準方程為：.（2）設、，線段AC的中點為M，聯立，消去y，得.由，解得，，，，∴.∴.又直線l與x軸的交點，∴，∴，故為定值.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．11．已知橢圓：（）經過與兩點.（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線與橢圓交于、兩點，橢圓上一點滿足.求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）橢圓過與兩點，利用待定系數法求、即可得橢圓方程；（2）根據直線的斜率情況分類討論，當斜率不存在或時易證定值，當斜率存在且時聯立直線方程與橢圓方程，結合有定值，整合結論為定值即得證【詳解】（1）橢圓過與兩點，則解得∴橢圓的方程為（2）過原點的直線與橢圓交于、兩點：當直線的斜率不存在或時，有當直線的斜率存在且時，令直線：，代入橢圓方程有若，，即又橢圓上一點滿足，知：垂直平分，可令直線：∴同理可得：或即故綜上，知：為定值得證【點睛】本題考查了橢圓，利用橢圓過兩定點，應用待定系數法求橢圓方程，根據直線與橢圓的位置關系，及動點與它們的交點關系證明定值問題12．已知橢圓：過點，過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【分析】（1）將點代入橢圓方程得到，結合基本不等式，求得取得最小值時，進而證得橢圓的離心率為.（2）當直線的斜率不存在時，根據橢圓的對稱性，求得到直線的距離.當直線的斜率存在時，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用，則列方程，求得的關系式，進而求得到直線的距離.根據上述分析判斷出所求的圓存在，進而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經過點，∴，∴，當且僅當，即時，等號成立，此時橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當直線的斜率不存在時，由對稱性，設，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當直線的斜率存在時，設的方程為.由，得，.設，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.【點睛】本小題主要考查點和橢圓的位置關系，考查基本不等式求最值，考查直線和橢圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查分類討論的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.13．已知橢圓：在右、上頂點分別為、，是橢圓的左焦點，是橢圓上的點，且（是坐標原點）.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相切于點（在第二象限），過作直線的平行線與直線相交于點，問：線段的長是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）為定值；.【分析】（1）由已知建立方程，解之求得，可得橢圓的方程；（2）設切點，求得切線方程，以及直線的方程，直線的方程，聯立與的方程可解得交點，再表示，可得定值.【詳解】解：（1）由題可知，所以橢圓：；（2）由題，設切點，則，切線：，而，且過原點，所以：，而直線：，聯立與的方程可解得，則，所以，為定值.【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓的位置關系之定值問題，關鍵在于將所求的量轉化到曲線上的點的坐標的關系，化簡可得結論．14．已知點F1為橢圓1（a＞b＞0）的左焦點，在橢圓上，PF1⊥x軸.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線l：y＝kx+m與橢圓交于（1，2），B兩點，O為坐標原點，且OA⊥OB，O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值為【分析】（1）由PF1⊥x軸可得c＝1，即可得橢圓的左右焦點的坐標，由橢圓的定義求出a的值，由a，b，c的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；（2）將直線l與橢圓的方程聯立求出兩根之積，由OA⊥OB，可得0，可得k，m的關系，求出原點到直線的距離的表達式，可得為定值.【詳解】（1）令焦距為2，依題意可得F1（﹣1，0），右焦點F2（1，0），，所以，所以橢圓方程為；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，.所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2kmm2，由，得3m2＝2（k2+1），所以原點O到直線l的距離為，為定值.【點睛】本題主要考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，屬于中檔題.15．已知橢圓C：（）的左、右頂點分別為A，B，左焦點為F，O為原點，點P為橢圓C上不同于A、B的任一點，若直線PA與PB的斜率之積為，且橢圓C經過點.（1）求橢圓C的方程；（2）若P點不在坐標軸上，直線PA，PB交y軸于M，N兩點，若直線OT與過點M，N的圓G相切.切點為T，問切線長是否為定值，若是，求出定值