5/5第2講辨析函數與方程的根的情況一、方法綜述確定函數f(x)零點個數(方程f(x)＝0的實根個數)的方法：(1)判斷二次函數f(x)在R上的零點個數，一般由對應的二次方程f(x)＝0的判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0來完成；對于一些不便用判別式判斷零點個數的二次函數，則要結合二次函數的圖象進行判斷．(2)對于一般函數零點個數的判斷，不僅要用到零點存在性定理，還必須結合函數的圖象和性質才能確定，如三次函數的零點個數問題．(3)若函數f(x)在[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且是單調函數，又f(a)·f(b)＜0，則y＝f(x)在區間(a，b)內有唯一零點．二、解題策略類型一求方程解的個數例1．已知函數函數滿足以下三點條件：①定義域為；②對任意，有；③當時，．則函數在區間上零點的個數為（）A． B． C． D．【舉一反三】【2020南昌一模】定義在R上的奇函數滿足，且當時，不等式恒成立，則函數的零點的個數為A．1 B．2 C．3 D．4熱點題型二已知方程的根求參數的值或取值范圍例2．【2020煙臺一模】已知函數是定義在上的偶函數，且滿足，若函數有6個零點，則實數的取值范圍是A． B．C． D．【舉一反三】【2020海口一模】已知，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．三、強化訓練1．【2020三明聯考】設函數是定義在R上的奇函數，當時，則的零點個數為（）A．1B．2C．3D．42．若圖象上存在兩點，關于原點對稱，則點對稱為函數的“友情點對”（點對與視為同一個“友情點對”）若恰有兩個“友情點對”，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】河北省石家莊市2021屆高三下學期質檢一數學試題3．已知函數，若關于的方程恰有兩個不等實根，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知函數，若關于x的方程恰好有4個不相等的實根，則m取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知函數有兩個零點，且存在唯一的整數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】江西省八所重點中學2021屆高三4月聯考數學（文）試題6．已知，設函數，若關于的方程恰有兩個互異的實數解，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【來源】天津市和平區2021屆高三下學期一模數學試題7．已知.是函數()在上的兩個零點，則.滿足（）A．B．C．D．8．已知函數是定義域為的偶函數，當時，，若關于的方程恰好有個不同的實數根，那么的值為（）A． B． C． D．9．已知函數的圖像上相鄰的最高點和最低點之間的距離為，關于的方程在上有兩個不同實根，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．10．已知函數若關于的方程有6個根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】2021年浙江省新高考測評卷數學（第六模擬）11．已知函數，若關于的方程恰有兩個不同解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】河南省金太陽2021屆高三下學期3月聯考（I卷）理數試題12．已知，，，若函數有且只有兩個零點，則實數k的取值范圍為（）A． B．C． D．13．已知定義域為的函數的圖象關于對稱，當時，，若方程有四個不等實根，，，時，都有成立，則實數的最小值為（）A． B． C． D．14．已知函數，若有四個不同的零點，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】云南省昆明市2021屆高三上學期”三診一模“摸底診斷測試數學（理）試題15．已知函數（為自然對數的底數），關于的方程恰有四個不同的實數根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】天津市部分區2020-2021學年高三上學期期末數學試題16．已知函數，如果關于的方程()有四個不等的實數根，則的取值范圍（）A． B．C． D．【來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學2020-2021學年高三1月線上學習階段性考試數學（文）試題第2講辨析函數與方程的根的情況一、方法綜述確定函數f(x)零點個數(方程f(x)＝0的實根個數)的方法：(1)判斷二次函數f(x)在R上的零點個數，一般由對應的二次方程f(x)＝0的判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0來完成；對于一些不便用判別式判斷零點個數的二次函數，則要結合二次函數的圖象進行判斷．(2)對于一般函數零點個數的判斷，不僅要用到零點存在性定理，還必須結合函數的圖象和性質才能確定，如三次函數的零點個數問題．(3)若函數f(x)在[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且是單調函數，又f(a)·f(b)＜0，則y＝f(x)在區間(a，b)內有唯一零點．二、解題策略類型一求方程解的個數例1．已知函數函數滿足以下三點條件：①定義域為；②對任意，有；③當時，．則函數在區間上零點的個數為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，故，同理可得當時，，此時，故在無零點，同理在也無零點.因為，故將上的圖象向右平移個單位后，圖象伸長為原來的兩倍，在平面直角坐標系，、在上的圖象如圖所示：因為，故、在上的圖象共有5個不同交點，下證：當，有且只有一個零點.此時，而，故在上為減函數，故當，有，當且僅當時等號成立.故、在上的圖象共有6個不同交點，即在有6個不同的零點，故選：A.【名師點睛】函數的零點個數，有兩種做法：一是代數法，解代數方程；二是圖象法，轉化為兩個函數的公共點個數，在畫函數的圖象是，要注意函數的各種性質，如周期性、奇偶性、對稱性等性質的體現。【舉一反三】【2020南昌一模】定義在R上的奇函數滿足，且當時，不等式恒成立，則函數的零點的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：定義在R的奇函數滿足：，且，又時，，即，，函數在時是增函數，又，是偶函數；時，是減函數，結合函數的定義域為R，且，可得函數與的大致圖象如圖所示，由圖象知，函數的零點的個數為3個．熱點題型二已知方程的根求參數的值或取值范圍例2．【2020煙臺一模】已知函數是定義在上的偶函數，且滿足，若函數有6個零點，則實數的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【解析】函數有6個零點，等價于函數與有6個交點，當時，，當時，，，當時，遞增，當時，遞減，的極大值為：，作出函數的圖象如下圖，與的圖象有6個交點，須，表示為區間形式即.故選C.【舉一反三】【2020海口一模】已知，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】有三個零點，有一個零點，故，有兩個零點，代入的解析式，得到，構造新函數，繪制這兩個函數的圖像，如圖可知因而介于A,O之間，建立不等關系，解得a的范圍為，故選A。三、強化訓練1．【2020三明聯考】設函數是定義在R上的奇函數，當時，則的零點個數為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】時，由數形結合知，此時有一個零點．依據奇函數的對稱性知，時也有一個零點．又因為奇函數定義域為全體實數，所以，即過原點．因此共有3個零點．選C．2．若圖象上存在兩點，關于原點對稱，則點對稱為函數的“友情點對”（點對與視為同一個“友情點對”）若恰有兩個“友情點對”，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】河北省石家莊市2021屆高三下學期質檢一數學試題【答案】A【解析】根據題意，若要求“友情點對”，可把時的函數圖像關于原點對稱，研究對稱過去的圖像和時的圖像有兩交點即可，關于原點對稱的解析式為，考查的圖像和的交點，可得，，令，所以，，為減函數，，，為增函數，，其圖象為，故若要有兩解，只要即可，故選：A3．已知函數，若關于的方程恰有兩個不等實根，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作函數的大致圖象如下，結合圖象易知，使得，，，故，令，則，令，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，∴，∴，故選：D.4．已知函數，若關于x的方程恰好有4個不相等的實根，則m取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，當時，，則為增函數，當時，，則為減函數，所以的極大值為，設，則關于x的方程可化為，設關于t的方程有兩個實數根，則關于x的方程恰好有4個不相等的實根等價為：函數的圖象與的交點個數為4，函數的圖象與的圖象如下所示：所以關于t的方程有兩個實數根，設，則有，解得.故選：C5．已知函數有兩個零點，且存在唯一的整數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】江西省八所重點中學2021屆高三4月聯考數學（文）試題【答案】B【解析】由題意，得，設，求導令，解得當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；故當時，函數取得極大值，且又時，；當時，，故；作出函數大致圖像，如圖所示：又，因為存在唯一的整數，使得與的圖象有兩個交點，由圖可知：，即故選：B.6．已知，設函數，若關于的方程恰有兩個互異的實數解，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【來源】天津市和平區2021屆高三下學期一模數學試題【答案】D【解析】因為關于的方程恰有兩個互異的實數解，故有兩個不同的實數根且無實根或、各有一個實數根或無實根且有兩個實數根.若有兩個不同的實數根，則有兩個不同的實數根，因為為增函數，故有兩個不同的實數根不成立.若、各有一個實數根，先考慮有一個實數根即有一個實數根，因為為增函數，故，故.再考慮有一個實數根即有一個實數根.令，因為，故有一個實數根.故時，、各有一個實數根.若有兩個不同的實數根且無實根，因為無實根，則由前述討論可得，因為有兩個不同的實數根，故，解得，綜上，，故選：D.7．已知.是函數()在上的兩個零點，則.滿足（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知，，故，即，設，，則，，∴，由得，∴，令()，則恒成立，故在上單調遞減，故，故，即，∴，∴，∴，故選：B.8．已知函數是定義域為的偶函數，當時，，若關于的方程恰好有個不同的實數根，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數是定義域為的偶函數，故圖像關于y軸對稱，作出圖像如圖，令，則原方程可化為，根據圖像可知，當時，方程沒有實數根；當時，方程有3個不同的實數根；當時，方程有6個實數根；當時，方程有4個實數根；當時，方程有2個實數根；原方程恰好有個不同的實數根，只需有兩個不等的實數根?，由韋達定理得，，解得，，于是，故選：D.9．已知函數的圖像上相鄰的最高點和最低點之間的距離為，關于的方程在上有兩個不同實根，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵的最大值為，最小值為，其圖像上相鄰的最高點和最低點之間的距離為，∴，解得，∴，∴∴，當時，方程有兩個不同實根，∴，∴，故選B.10．已知函數若關于的方程有6個根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】2021年浙江省新高考測評卷數學（第六模擬）【答案】B【解析】

作出函數的圖象如圖所示．令，則可化為，要使關于的方程有6個根，數形結合知需方程在上有2個不相等的實根，，不妨設，，則解得，故的取值范圍為，故選B．11．已知函數，若關于的方程恰有兩個不同解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】河南省金太陽2021屆高三下學期3月聯考（I卷）理數試題【答案】D【解析】如圖，因為的兩根為，所以，，，從而．令，，則，．因為，所以，，，所以在上恒成立，從而在上單調遞增．又，，所以，即的取值范圍是．故選：D12．已知，，，若函數有且只有兩個零點，則實數k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，所以，所以，令，則.令，得，令，得或，所以在上單調遞增，在，上單調遞減，所以的極大值為，極小值為.因為函數有且只有兩個零點，所以方程有且只有兩個實數根，即方程和共有兩個實數根.又，所以或或，解得或.故選：A.13．已知定義域為的函數的圖象關于對稱，當時，，若方程有四個不等實根，，，時，都有成立，則實數的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函數的圖象，如圖，作直線，它與圖象的四個交點的橫坐標依次為，，，，因為函數的圖象關于對稱，所以，，即，且，顯然，不等式變形為，，，所以，由勾形函數性質知在時是增函數，所以，令，則，，，當時，，單調遞減，所以，所以，即的最小值是．故選：A．14．已知函數，若有四個不同的零點，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】云南省昆明市2021屆高三上學期”三診一模“摸底診斷測試數學（理）試題【答案】A【解析】由題意知：有四個不同的零點，∴，則有四個不同的解，當時，，其零點情況如下：1）當或時，有；2）當或時，或；當時，，則有如下情況：1）當時，即單調遞增，不可能出現兩個零點，不合題意；2）當時，在上，單調遞增，在上，單調遞減，而有，有，所以只需，得時，必有兩個零點.∴綜