安徽省太湖中學2022級高二第一次段考數學學科試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.若復數滿足，則的虛部是（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由復數的除法求得，設，利用共軛復數的定義及復數相等求的虛部即可.【詳解】由題設，，令，則，∴，得，故的虛部是1．故選：A.2.若向量在空間的的一組基底下的坐標是，則在基底下的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設的坐標為，得到，求得的值，即可求解.【詳解】因為在基底下的坐標是，所以，設在基底下的坐標為，則，因此，所以，即，即向量在基底下的坐標為．故選：C．3.設，向量，，且，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據空間向量平行與垂直的坐標表示，求得的值，結合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，解得，所以，，則，所以.故選：C.4.已知點，．若直線l：與線段相交，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直線l過定點，且與線段相交，利用數形結合法，求出的斜率，從而得出l的斜率的取值范圍，即可得解.【詳解】設直線過定點，則直線可寫成，令，解得.直線必過定點．，．直線與線段相交，

由圖象知，或，解得或，則實數的取值范圍是．故選：A.5.已知矩形為平面外一點，平面，點滿足，．若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，由平面向量基本定理結合平面向量的線性運算，即可得到結果.【詳解】因，，所以，因為，所以，，，所以.故選：C6.當直線過點，當取得最小值時，直線的方程為：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，根據基本不等式“”的代換可得的最小值，即取最小值時與的值，進而得解.【詳解】由直線過點，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以直線方程為，即.故選：C.7.已知空間直角坐標系中，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量表示出點Q坐標，再求出，的坐標，借助數量積建立函數關系即可求解.【詳解】因點Q在直線上運動，則，設，于是有，因為，，所以，，因此，，于是得，則當時，，此時點Q，所以當取得最小值時，點Q的坐標為.故選：C8.如圖，已知四棱臺的底面是直角梯形，，，，平面，是側棱所在直線上的動點，與所成角的余弦值的最大值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.【詳解】以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A垂直平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，設，，設與所成角為，則，設，則有，由存在，則，解得，即的最大值為，所以與所成角的余弦值的最大值為.故選：C二．多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線，則該直線（）A.過點 B.斜率為C.傾斜角為 D.在x軸上的截距為【答案】AB【解析】【分析】驗證法判斷選項A；求得直線的斜率判斷選項B；求得直線的傾斜角判斷選項C；求得直線在x軸上的截距判斷選項D.【詳解】對于A，當時，，∴，∴直線過點，故A正確；對于B，由題意得，，∴該直線的斜率為，故B正確；對于C，∵直線的斜率為，∴直線的傾斜角為，故C錯誤；對于D，當時，，∴該直線在x軸上的截距為2，故D錯誤．故選：AB．10.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C.過點且在軸，軸截距相等的直線方程為D.經過平面內任意相異兩點的直線都可以用方程表示．【答案】AD【解析】【分析】對于A：根據可求傾斜角的取值范圍；對于B：根據兩直線垂直的條件求出的值即可判斷；對于C：分截距是否為0兩種情況求解可判斷；對于D：對斜率為0、斜率不存在特殊情況討論可以確定所求直線均可用表示.【詳解】對于A：直線的傾斜角為，則，因為，所以，故A正確.對于B：當時，直線與直線斜率分別為，斜率之積為，故兩直線相互垂直，所以充分性成立，若“直線與直線互相垂直”，則，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B錯誤.對于C：截距為0時，設直線方程為，又直線過點，所以可得，所以直線方程為，當截距不為0時，調直線方程為，又直線過點，所以可得，所以直線方程為，所以過點且在軸，軸截距相等的直線方程為或，故C錯誤；.對于D：經過平面內任意相異兩點直線：當斜率等于0時，，方程為，能用方程表示；當斜率不存在時，，方程為，能用方程表示；當斜率不為0且斜率存在時，直線方程為，也能用方程表示，故D正確.故選：AD.11.已知定義域為R的奇函數，當時，下列說法中正確的是（）A.當時，恒有B.若當時，的最小值為，則m的取值范圍為C.不存在實數k，使函數有5個不相等的零點D.若關于x的方程所有實數根之和為0，則【答案】BC【解析】【分析】根據函數的奇偶性及時的解析式作出函數的圖象，結合圖象可判斷AB選項，聯立與可判斷相切時切點橫坐標為1，當，時最多一個交點，可判斷C，根據函數奇偶性與對稱性判斷D．【詳解】當時，且為R上的奇函數，作函數f（x）的圖象如圖：對于A，當時，函數f（x）不是單調遞減函數，則f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正確；對于B，令，解得，由圖象可知，當時，的最小值為，則，故B正確；對于C，聯立，得，△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此時,可知最多有3個不同的交點，∴不存在實數k，使關于x的方程f（x）＝kx有5個不相等的實數根，故C正確；對于D，由可得或，∵函數f（x）是奇函數，若關于x的兩個方程與所有根的和為0，∴函數的根與根關于原點對稱，則，但x＞0時，方程有2個根，分別為，兩根之和為，若關于x的兩個方程與所有根的和為0，若的根為，此時，此時僅有一解，符合題意，故D錯誤.故選：BC【點睛】關鍵點點睛：利用奇函數的對稱性得出函數的圖象是解決本題的關鍵所在，結合函數的單調性，函數值的變換，函數圖象的交點，利用數形結合解決問題，屬于難題.12.如圖，在四棱錐中，已知底面，底面為等腰梯形，，，記四棱錐的外接球為球，平面與平面的交線為的中點為，則（）A.B.C.平面平面D.被球截得的弦長為1【答案】ABD【解析】【分析】由，可得平面，再根據線面平行的性質即可證得，即可判斷A；對于B，連接，證明，，即可得平面，再根據線面垂直的性質即可證得，即可判斷B；對于C，如圖以為原點建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，判斷法向量是否垂直，即可判斷C；對于D，易得四棱錐的外接球的球心在過點且垂直于面的直線上，求出半徑，再利用向量法求出點到直線的距離，最后利用圓的弦長公式求出被球截得的弦長，即可判斷D.【詳解】解：對于A，因為，平面，平面，所以平面，又因平面與平面的交線為，所以，故A正確；對于B，連接，在等腰梯形中，因為，，的中點為，所以四邊形都是菱形，所以，所以，因為底面，面，所以，又，所以平面，又因平面，所以，故B正確；對于C，如圖以原點建立空間直角坐標系，則，則，設平面的法向量，平面的法向量，則，可取，同理可取，因為，所以與不垂直，所以平面與平面不垂直，故C錯誤；對于D，由B選項可知，，則點即為四邊形外接圓的圓心，故四棱錐的外接球的球心在過點且垂直于面的直線上，設外接球的半徑為，則，則，所以，設與所成的角為，點到直線的距離為，，因為，直線的方向向量可取，，則，所以，所以，所以被球截得的弦長為，故D正確.故選：ABD.三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線，直線．若，則實數的值為______．【答案】或【解析】【分析】由題意利用兩條直線垂直的性質，求得的值．【詳解】因為直線，直線，且，所以，解得或.故答案為：或.14.已知，，．若、、三向量共面，則實數______．【答案】【解析】【分析】由題意可得，存在實數x，y，使，列出方程組，即可求得答案.【詳解】因為不平行，且、、三向量共面，所以存在實數x，y，使，所以，解得，故答案為：15.算盤是中國傳統計算工具，其形長方，周為木框，內貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數五，梁下五珠，每珠作數一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠，個位檔撥上四顆下珠，則表示數字，若分別在個、十、百、千位檔中各隨機撥上一顆下珠或撥下一顆上珠，記事件所表示的數能被整數，事件所表示的數能被整除，則______．【答案】##【解析】【分析】分析可知共可以組成個數，計算出、、的值，即可計算得出的值.【詳解】分別在個、十、百、千位檔中各隨機撥上一顆下珠或撥下一顆上珠，共可以組成個不同的數，若組成的數能被整除，則四個數位上有個，個，故能被整除的數有個，則．若組成的數能被整除，則個位數為，故能被整除的數有個，則．既能被整除又能被整除的數，則個位數字為，其余三個數上有個，個，有個，則．故．故答案為：.16.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD，，，點Q是側棱PD的中點，點M，N分別在邊AB，BC上，當空間四邊形PMND的周長最小時，點Q到平面PMN的距離為______．【答案】##【解析】【分析】平面PAB沿AB展開到與平面ABCD共面，當點P，M，N和共線時周長最小，計算得到，，，建立空間直角坐標系，計算平面的法向量為，根據距離公式計算得到答案.【詳解】要使得空間四邊形PMND周長最小，只需將平面PAB沿AB展開到與平面ABCD共面，延長DC至，使得，于是點N在線段的垂直平分線上，所以，因為PD為定值，故當點P，M，N和共線時，空間四邊形PMND的周長最小，易得，即得，即，所以，，，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，由題意可得，，，則，，設是平面PMN的一個法向量，則.即得，令，得，，，，所以點Q到平面PMN的距離．故答案為：．四．解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知平行六面體，底面是正方形，，，設．（1）試用表示；（2）求的長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量線性運算的幾何意義，結合幾何體確定與的線性關系；（2）由（1），結合空間向量數量積的運算律及已知條件求的長度.【小問1詳解】.【小問2詳解】，，所以.18.已知點，求下列直線的方程：（1）求經過點，且在軸上的截距是軸上截距的2倍的直線的方程；（2）光線自點射到軸的點后被軸反射，求反射光線所在直線的方程．【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）根據題意，分直線過原點與不過原點討論，結合直線的截距式代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，求得點關于軸的對稱點的坐標為，再由直線的點斜式代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】當直線過原點時，滿足在軸上的截距是軸上截距的2倍，此時直線方程為，將代入，可得，化簡可得；當直線不過原點時，設直線方程為，且，即，將代入，可得，解得，則直線方程為，化簡可得；綜上，直線方程為或.【小問2詳解】點關于軸的對稱點的坐標為，由題意可知，反射光線所在的直線經過點與，所以反射光線所在的直線斜率為，則反射光線所在的直線方程為，化簡可得.19.某校舉行了一次高一年級數學競賽，筆試成績在分以上（包括分，滿分分）共有人，分成、、、、五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）根據頻率分布直方圖估計這次數學競賽成績的平均數和中位數（中位數精確到）；（2）為進一步了解學困生的學習情況，從數學成績低于分的學生中，通過分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中任取人，求此人分數都在的概率．【答案】（1）平均數為，中位數約為（2）【解析】【分析】（1）根據所有直方圖的面積之和為可求得的值，將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，再將所得結果全加可得樣本的平均數，根據中位數的定義可求得樣本的中位數；（2）計算出分層抽樣抽取的人中，數學成績位于的有人，記為、，數學成績位于的有人，記為、、、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】由，解得，這次數學競賽成績的平均數為，前組的頻率和為，前組的頻率和為，所以中位數為．【小問2詳解】分層抽樣抽取的人中，數學成績位于的有人，記為、．數學成績位于的有人，記為、、、，從人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中人分數都在的有、、、，共種，所以從人中任取人，分數都在的概率為.20.圖①是直角梯形，四邊形是邊長為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達的位置，且．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值：若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明過程見解析（2）存在，直線與平面所成角的正弦值為.【解析】【分析】（1）作出輔助線，取的中點，連接，由勾股定理逆定理得：，從而平面,所以平面平面；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解出點的坐標，從而得到線面角.【小問1詳解】取的中點，連接，因為四邊形是邊長為2的菱形，并且，所以均為等邊三角形，故且，因為，所以，由勾股定理逆定理得：，又因為是平面內兩條相交直線，所以平面，即平面,因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，設，故，解得：，故，設平面的法向量為，則，故，令，則，故，其中則，解得：,則，設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.21.在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，邊上的中線，且，求．【答案】（1）（2）【解