專題3.1函數的概念及其表示【基本知識梳理】知識點1：函數的概念概念一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數三要素對應關系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍A值域與x的值相對應的y值的集合{f(x)|x∈A}注意點：(1)A，B是非空的實數集．(2)定義域是非空的實數集A，但函數的值域不一定是非空實數集B，而是集合B的子集．(3)函數定義中強調“三性”：任意性、存在性、唯一性．(4)函數符號“y＝f(x)”是數學符號之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖象或表格，或其他的對應關系．(5)除f(x)外，有時還用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符號表示函數．知識點2：函數的三要素函數的三要素：定義域、值域、對應關系(1)函數的定義域即集合A，在坐標系中是橫坐標x的取值范圍．(2)函數的值域并不是集合B，是函數值的集合{f(x)|x∈A}，在坐標系中是縱坐標的取值范圍．(3)函數的對應關系f反映了自變量x的運算、對應方法，通過這種運算，對應得到唯一的函數值y.知識點3：區間的概念設a，b∈R，且a<b，規定如下：定義名稱區間數軸表示{x|a≤x≤b}閉區間[a，b]{x|a<x<b}開區間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區間(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)特別地：實數集R可以用區間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．注意點：(1)區間只能表示連續的數集，開閉不能混淆．(2)用數軸表示區間時，要特別注意實心點與空心點的區別．(3)區間是實數集的一種表示形式，集合的運算仍然成立．(4)“∞”是一個符號，而不是一個數．知識點4：函數的定義域與值(1)求函數的定義域應關注三點①要明確使各函數表達式有意義的條件是什么，函數有意義的準則一般有：(ⅰ)分式的分母不為0；(ⅱ)偶次根式的被開方數非負；(ⅲ)y＝x0要求x≠0.②不對解析式化簡變形，以免定義域變化．③當一個函數由兩個或兩個以上代數式的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合．(2)函數求值的方法①已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值．②已知f(x)與g(x)，求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則．知識點5：判斷兩個函數為同一個函數應注意的三點(1)定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一個函數，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個函數．(2)函數是兩個數集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．(3)在化簡解析式時，必須是等價變形．知識點6：抽象函數的定義域(1)已知f(x)的定義域為[a，b]，求f(g(x))的定義域時，不等式a≤g(x)≤b的解集即定義域．(2)已知f(g(x))的定義域為[c，d]，求f(x)的定義域時，求出g(x)在[c，d]上的范圍(值域)即定義域．知識點7：函數的表示方法(1)列表法、圖象法、解析法均是函數的表示法，無論是哪種方式表示函數，都必須滿足函數的概念．(2)列表法更直觀形象，圖象法從形的角度描述函數，解析法從數的角度描述函數．(3)函數的三種表示法互相兼容或補充，許多函數是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主．知識點8：作函數y＝f(x)圖象的方法(1)若y＝f(x)是已學過的函數，則描出圖象上的幾個關鍵點，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據定義域進行取舍．(2)若y＝f(x)不是所學過的函數之一，則要按：①列表；②描點；③連線三個基本步驟作出y＝f(x)的圖象．(3)函數圖象的平移變換①左加右減：函數y＝f(x)的圖象沿x軸方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度得到函數y＝f(x＋a)的圖象．②上加下減：函數y＝f(x)的圖象沿y軸方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到函數y＝f(x)＋b的圖象．（4）分段函數圖象的畫法①作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．②對含有絕對值的函數，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數轉化為分段函數，然后分段作出函數圖象．知識點9：求函數值域的方法(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函數類”值域的基本方法，即把函數通過配方轉化為能直接看出其值域的方法．(3)圖象法：利用已知一次函數、二次函數或反比例函數的圖象寫出函數的值域．(4)分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域．(5)換元法：對于一些無理函數(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通過換元把它們轉化為有理函數，然后利用有理函數求值域的方法，間接地求解原函數的值域．知識點10：求函數解析式的四種常用方法(1)換元法：設t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．注意換元時t的取值范圍．(2)配湊法：對f(g(x))的解析式進行配湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可．(3)待定系數法：若已知f(x)的解析式的類型，設出它的一般形式，根據特殊值確定相關的系數即可．(4)方程組法(或消元法)：當同一個對應關系中的兩個之間有互為相反數或互為倒數關系時，可構造方程組求解．知識點11：分段函數求值(1)分段函數求值的方法①先確定要求值的自變量屬于哪一段區間．②然后代入該段的解析式求值．當出現f(f(x0))的形式時，應從內到外依次求值．(2)已知分段函數的函數值求對應的自變量的值，可分段利用函數解析式求得自變量的值，但(3)若分段函數的自變量含參數，要考慮自變量整體的取值屬于哪個范圍，從而根據對應的解析式整體代入，轉化為方程或不等式問題．【題型1對函數概念的理解】【例1】（20232024?高一上?山東青島?期中）中國清朝數學家李善蘭在1859年翻譯《代數學》中首次將“function”譯做：“函數”，沿用至今，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”.已知集合M=1,2,3，N=1,2,3A.B．C． D．【變式11】（20232024?高一上?山東濱州?期中）（A．函數值域中的每一個數在定義域中都有數與之對應B．函數的定義域和值域一定是無限集合C．對于任何一個函數，如果x不同，那么y的值也不同D．fa表示當x=a時，函數f【變式12】（20232024?高一上?山東泰安?階段測試）若函數y=fx的定義域M={x|?2≤x≤2}，值域N={y|0≤y≤2}，則函數y=fA．

B．

C．

D．

【變式13】（20232024?高一上?山東濰坊?期中）存在函數fA．fx=1C．fx=2x【題型2求函數的定義域】【例2】（20232024?高一上?山東臨沂?期中）A. B.C. D.【變式21】（20232024?高一上?山東普高聯考?期中）【變式22】（20232024?高一上?山東德州?期中）已知集合A={x∣?1≤x?1<2}，集合B=A．{x∣0≤x<1} B．x∣0≤x≤1 C．{x∣1<x<3} D．{x∣1≤x<3}【變式23】（20232024?高一上?山東濰坊高密?月考）已知集合A是函數y=120?8x?x2的定義域，集合B是不等式x2?2x+1?(1)求集合A，集合B；(2)若?p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.【題型3求函數值或由函數值求參】【例3】（20232024?高一上?山東臨沂?期中）已知【變式31】（20232024?高一上?山東青島?期中）已知函數fA．?1 B．?3 C．3 D．1【變式32】（20232024?高三下?山東菏澤?月考）已知fx對于任意x,y∈R，都有fx+yA．4 B．8 C．64 D．256【變式33】（20232024?高一上?山東濟寧?（1）求f3，f（2）若fa=?4，求【題型4求函數的值域】【例4】（20232024?高一上?山東泰安?期中）（多選）A．y=x B．y=x?2 C．y=【變式41】（20222023?高一上?山東淄博?期中A．{x|x?0} B．xx≥0且C．{x|x≠1} D．{x|x>【變式42】（20222023?高一上?山東日照?月考）已知函數y=1?x+x+3的最大值為【變式43】（20232024?高一上?山東煙臺?月考）（多選）A．y=4xx≥12C．y=x4+1【題型5由函數的定義域或值域求參數】【例5】（20232024?高一上?山東德州?月考）若函數fx=x2A．2 B．3 C．4 D．5【變式51】（20232024?高一上?山東臨沂?月考）若函數y=A．(0,+∞) B．?∞,0 C．【變式52】（20232024?高一上?山東濟南?期中）已知函數的定義域與值域均為，則實數的取值為（A.4 B.2 C.1 D.1【變式53】（20232024?高一上?山東棗莊?(1)若fx的定義域為[－2,1]，求實數a(2)若fx的定義域為R，求實數a【題型6判斷兩個函數是否是同一個函數】【例6】（20232024?高一上?山東棗莊?月考）（A．y=x與y=x2x B．C．y=x2與y=x D．【變式61】（20232024?高一上?山東青島?A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【變式62】（20232024?高一上?山東青島?期中）（A．f(x)=x2B．f(x)=x2C．f(x)=xxD．f(x)=x+1?【變式63】（20232024?高一上?山東泰安?期中）（A．f(x)=?2x3與C．fx=x0與g(【題型7函數的表示法】【例7】（20232024?高一上?山東濱州?期中）已知函數的對應關系如表所示，函數的圖象是如圖所示，則的值為（123431A.1 B.0 C.3 D.4【變式71】（20232024?高一上?山東煙臺?月考）若函數y=fx的定義域為A． B．C． D．【變式72】（20232024?高一上?山東臨沂?（1）我騎著車離開家后一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；（2）我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是返回家里找到了作業本再上學；（3）我從家出發后，心情輕松，一路緩緩加速行進.A.B.C.D.【變式73】（20232024?高一上?山東德州?階段測試）在函數y=x,x∈?1,1的圖象上有一點Pt,t，此函數與xA．B．C．D．【題型8函數解析式的求解】【例8】（20232024?高一上?山東淄博?期中）已知函數fx?1A．0 B．1 C．2 D．3【變式81】（20232024?高一上?山東青島?月考）（多選）已知一次函數滿足，則A． B．C． D．【變式82】（20232024?高一上?山東濰坊?期中）定義在R上的函數f(x)滿足f(x?1)=2f(x)，當0<x≤1時，f(x)=x(x+1)，則當1<x≤2A．x(x?1) B．x(1?x) C．x(x?1)2