第十五章分式壓軸訓練0101壓軸總結目錄TOC\o"1-3"\h\u壓軸題型一求使分式為正(負)數時未知數的取值范圍 1壓軸題型二求使分式值為整數時未知數的整數值 4壓軸題型三與分式有關的規律性問題 9壓軸題型四與分式方程有關的規律性問題 18壓軸題型五與分式及分式運算有關的新定義型問題 24002壓軸題型壓軸題型一求使分式為正(負)數時未知數的取值范圍例題：（23-24八年級下·廣東揭陽·階段練習）已知分式的值是非負數，那么x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且鞏固訓練1．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習）若分式的值為正，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．且2．（23-24八年級上·山東菏澤·期中）若分式的值為負數，則的取值范圍是．3．（23-24八年級上·全國·課后作業）若分式的值為正數，則x的取值范圍是．4．（23-24八年級上·山東威海·階段練習）若分式的值為正，則的取值范圍為．5．（23-24八年級下·全國·假期作業）當的取值范圍是多少時：(1)分式的值為負數？(2)分式的值為正數？(3)分式的值為負數？壓軸題型二求使分式值為整數時未知數的整數值例題：（2024七年級下·浙江·專題練習）對于非負整數，使得是一個正整數，則可取的個數有（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（23-24八年級上·全國·課堂例題）若分式的值是正整數，則可取的整數有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．8個2．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）若及都是正整數，則所有滿足條件的的值的和是．3．（23-24七年級下·浙江杭州·階段練習）若分式的值為整數，則整數x的值為．4．（23-24八年級上·北京海淀·階段練習）若代數式的值為正整數，則整數x的值為．5．（23-24八年級上·全國·課后作業）若x取整數，則使分式的值為整數的x的值有個．6．（2024八年級下·全國·專題練習）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可以化為帶分數，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．如，，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如．解決下列問題：(1)分式是（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)先化簡，并求x取什么整數時，該式的值為整數．壓軸題型三與分式有關的規律性問題例題：（2024九年級下·安徽·專題練習）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；；按照以上規律，解決下列問題(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并驗證其正確性．鞏固訓練1．（2024·安徽六安·模擬預測）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……根據以上規律，解決下列問題．(1)直接寫出第5個等式：________________；(2)寫出你猜想的第n個等式：________________（用含n的等式表示），并證明．2．（24-25九年級上·安徽宣城·開學考試）；；；…(1)根據上面個等式存在的規律寫出第個等式；(2)用含的代數式表示出第個等式，并證明．3．（24-25八年級上·全國·課后作業）觀察下面一列分式：，，，，…（其中）．(1)根據上述分式的規律寫出第6個分式；(2)根據你發現的規律，試寫出第n（n為正整數）個分式，并簡單說明理由．4．（22-23八年級下·山東青島·階段練習）觀察下列各式：，，，(1)由此推測________(2)請你用含字母m的等式表示一般規律（m表示整數）(3)請直接用（2）的規律計算的值．5．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：___________________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．6．（23-24八年級下·安徽滁州·期末）有下列等式：①，②，③，④，……按照以上規律，解決下面問題：(1)寫出第⑤個等式：____________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含正整數n的等式表示），并說明猜想的正確性．7．（23-24九年級下·安徽合肥·階段練習）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……按照以上規律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：___________________________；(2)寫出你猜想的第n個等式：______________________________（用含n的等式表示），并證明．壓軸題型四與分式方程有關的規律性問題例題：（2024八年級下·全國·專題練習）解方程：①的解．②的解．③的解．④的解．……(1)根據你發現的規律直接寫出⑤，⑥個方程及它們的解；(2)請你用一個含正整數n的式子表示上述規律，并求出它的解．鞏固訓練1．（22-23八年級下·江蘇常州·期中）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)根據上面的規律，猜想關于x的方程的兩個解是．(2)解方程：，可以變形轉化為的形式，寫出你的變形求解過程，運用（1）的結論求解．(3)方程的解為．2．（23-24八年級下·甘肅天水·階段練習）解方程：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；(1)請完成上面的填空；(2)根據你發現的規律直接寫出第⑤個方程和它的解；(3)請你用一個含正整數的式子表述上述規律，并寫出它的解?3．（21-22八年級下·江蘇鹽城·階段練習）閱讀理解：下列一組方程：①，②，③，…小明通過觀察，發現了其中蘊含的規律，并順利地求出了前三個方程的解，他的解過程如下：由①得或；由②得或；由③得或，(1)問題解決：請寫出第四個方程______________；(2)規律探究：若n為正整數，則第n個方程是____________其解為_____________；(3)變式拓展：若n為正整數，關于x的方程的一個解是，求n的值．4．（21-22八年級上·云南昭通·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)觀察上述方程的解，猜想關于x的方程的解是；(2)根據上面的規律，猜想關于x的方程的解是；(3)由（2）可知，在解方程時，可以變形轉化為的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．(4)利用（2）的結論解方程：．壓軸題型五與分式及分式運算有關的新定義型問題例題：（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”如，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是：______（填序號）；①；②；③；④．(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形為：______．(3)當x取什么整數時，“和諧分式”的值為整數．鞏固訓練1．（23-24八年級下·陜西咸陽·階段練習）定義一種新運算：，例：．根據這種運算法則，完成下列各題：(1)計算：；(2)計算：；(3)計算：．2．（22-23九年級上·江蘇南通·階段練習）定義：若兩個分式的差為2，則稱這兩個分式屬于“友好分式組”．(1)下列3組分式：①與；②與；③與．其中屬于“友好分式組”的有____________（只填序號）；(2)若正實數互為倒數，求證與屬于“友好分式組”；(3)若均為非零實數，且分式與屬于“友好分式組”，求分式的值．3．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習）定義：形如的式子，若，則稱為“勤業式”；若，則稱為“求真式”；若的值為整數，則稱為“至善式”．(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序號）；①

②

③(2)若，，請判斷為“勤業式”還是“求真式”，并說明理由；(3)若，，且x為整數，當為“至善式”時，求x的值．4．（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如若，則和都是“和諧分式”．(1)下列式子中，屬于“和諧分式”的是________（填序號）：①；②；③；④；⑤(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式為．(3)應用先化簡，并求x取什么整數時，該式的值為整數．5．（23-24八年級下·全國·期中）閱讀理解:定義：若分式和分式滿足（為正整數），則稱是的“差分式”．例如：我們稱是的“差分式”，解答下列問題：(1)分式是分式的“差分式”．(2)分式是分式的“差分式”．①（含的代數式表示）；②若的值為正整數，為正整數，求的值．(3)已知，分式是的“差分式”（其中為正數），求的值．6．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）定義：如果兩個分式A與B的差為常數，且這個常數為正數，則稱A是B的“差常分式”，這個常數稱為A關于B的“差常值”．如分式，，，則A是B的“差常分式”，A關于B的“差常值”為2．(1)已知分式，，判斷C是否是D的“差常分式”，若不是，請說明理由，若是，請證明并求出C關于D的“差常值”．(2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E關于F的“差常值”為2，求的值；(3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M關于N的“差常值”為1．若x為整數，且M的值也為整數，求滿足條件的x的值．

第十五章分式壓軸訓練0101壓軸總結目錄TOC\o"1-3"\h\u壓軸題型一求使分式為正(負)數時未知數的取值范圍 1壓軸題型二求使分式值為整數時未知數的整數值 4壓軸題型三與分式有關的規律性問題 9壓軸題型四與分式方程有關的規律性問題 18壓軸題型五與分式及分式運算有關的新定義型問題 24002壓軸題型壓軸題型一求使分式為正(負)數時未知數的取值范圍例題：（23-24八年級下·廣東揭陽·階段練習）已知分式的值是非負數，那么x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且【答案】D【知識點】求分式值為正（負）數時未知數的取值范圍、求不等式組的解集【分析】本題考查分式值的正負性問題，也考查了解一元一次不等式．根據的值是非負數得到且，進而能求出x的取值范圍．【詳解】解：∵，∴且，∴且．故選：D．鞏固訓練1．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習）若分式的值為正，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．且【答案】D【知識點】求分式值為正（負）數時未知數的取值范圍【分析】本題考查不等式的解法和分式值的正負條件．解不等式時當未知數的系數是負數時，兩邊同除以未知數的系數需改變不等號的方向，當未知數的系數是正數時，兩邊同除以未知數的系數不需改變不等號的方向．根據題意，因為任何實數的平方都是非負數，分母不能為0，所以分母是正數，主要分子的值是正數則可，從而列出不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，且，∵分式的值為正，∴，∴，∴且．故選：D．2．（23-24八年級上·山東菏澤·期中）若分式的值為負數，則的取值范圍是．【答案】且【知識點】分式有意義的條件、求分式值為正（負）數時未知數的取值范圍【分析】本題主要考查了分式有意義的條件、分式值為負數時未知數的取值范圍；根據分式的分母不能為0得出，再根據分式的值為負數得出，進行計算即可得到答案．【詳解】解：根據題意得：，，分式的值為負數，，，，的取值范圍是且，故答案為：且．【點睛】3．（23-24八年級上·全國·課后作業）若分式的值為正數，則x的取值范圍是．【答案】【知識點】求分式值為正（負）數時未知數的取值范圍【分析】根據平方的非負性、分式的值為正數可得，，由此即可得．【詳解】∵分式的值為正數，，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的值為正數，正確列出不等式是解題關鍵．4．（23-24八年級上·山東威海·階段練習）若分式的值為正，則的取值范圍為．【答案】且【知識點】求分式值為正（負）數時未知數的取值范圍【分析】本題考查的是分式性質，根據分式為正數的條件列出不等式，解不等式得到答案．【詳解】解：分式的值為正，，，解得，且故答案為：且．5．（23-24八年級下·全國·假期作業）當的取值范圍是多少時：(1)分式的值為負數？(2)分式的值為正數？(3)分式的值為負數？【答案】(1)(2)(3)或【知識點】求分式值為正（負）數時未知數的取值范圍、求一元一次不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查的是分式的值為正數或負數時，字母的取值范圍，一元一次不等式組的應用，理解題意是關鍵；（1）由分式的值為負數可得，再解不等式即可；（2）由分式的值為正數可得或，再解不等式組即可；（3）結合（2）的結論可得分式的值為負數時的范圍．【詳解】（1）解：，，，，時，分式值為負數．（2）∵分式的值為正數，∴或，當時，解得：，當時，不等式組無解，綜上：當時；分式的值為正數，（3）∵由（2）得：當時；分式的值為正數，∴分式的值為負數時，則或；壓軸題型二求使分式值為整數時未知數的整數值例題：（2024七年級下·浙江·專題練習）對于非負整數，使得是一個正整數，則可取的個數有（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求使分式值為整數時未知數的整數值【分析】本題主要考查了分式的化簡變形，解題時要能熟練掌握并理解．依據題意，由，再結合為正整數，為非負整數，進而可以得解．【詳解】解：由題意，，且為正整數，為非負整數，必為正整數．為的正因數，可能為，，，，為非負整數，可能為，，．又為正整數，或或均符合題意，共種可能．故選：A．鞏固訓練1．（23-24八年級上·全國·課堂例題）若分式的值是正整數，則可取的整數有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．8個【答案】A【知識點】求使分式值為整數時未知數的整數值【分析】本題主要考查了分式的值，利用已知條件得到關于m的不等式，再利用有理數的整除的性質解答即可．【詳解】解：若分式的值是正整數，且為整數，則是6的約數，．∴或或或，即的值為8或5或4或3，共4個．2．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）若及都是正整數，則所有滿足條件的的值的和是．【答案】【知識點】求一元一次不等式的解集、求使分式值為整數時未知數的整數值【分析】本題考查了使分式值為整數時未知數的整數值，一元一次不等式的應用，根據題意建立不等式并求解是解題關鍵．根據為整數，且的值也為正整數，列出不等式，求出的取值范圍，再枚舉求出符合題意的的值，即可求解．【詳解】解：∵及都是正整數，∴，即，解得：，故當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，故所有滿足條件的的值有：、、，∴所有滿足條件的的值的和是．故答案為：．3．（23-24七年級下·浙江杭州·階段練習）若分式的值為整數，則整數x的值為．【答案】或或或【知識點】求使分式值為整數時未知數的整數值【分析】本題考查了求使分式值為整數時未知數的整數值問題，將分式化為，分別代值計算，即可求解；掌握這類典型問題的解法是解題的關鍵．【詳解】解：，分式的值為整數，且x是整數，或或或，解得：或或或，故答案：或或或．4．（23-24八年級上·北京海淀·階段練習）若代數式的值為正整數，則整數x的值為．【答案】3或7/7或3【知識點】求使分式值為整數時未知數的整數值【分析】分子為正整數5，若分式值為正整數，且x為整數，則等于1或5，從而問題可解．【詳解】解：的值為正整數，或，或，故答案為：3或7．【點睛】本題考查了分式求值，根據題意得出等于1或5是解題的關鍵．5．（23-24八年級上·全國·課后作業）若x取整數，則使分式的值為整數的x的值有個．【答案】4【知識點】求使分式值為整數時未知數的整數值【分析】先將假分式分離可得出，根據題意只需是6的整數約數即可．【詳解】解：由題意可知，是6的整數約數，∴解得：，其中x的值為整數有：共4個．故答案為：4．【點睛】本題考查的知識點是分式的值是整數的條件，分離假分式是解此題的關鍵，通過分離假分式得到，從而使問題簡單6．（2024八年級下·全國·專題練習）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可以化為帶分數，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．如，，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如．解決下列問題：(1)分式是（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)先化簡，并求x取什么整數時，該式的值為整數．【答案】(1)真分式(2)(3)化簡得；【知識點】分式的判斷、求使分式值為整數時未知數的整數值、分式加減乘除混合運算、分式加減混合運算【分析】本題考查分式的化簡及分式的分離整數法，理解材料并掌握分式的運算是解題關鍵．（1）根據真分式的定義判斷即可；（2）根據材料給出的方法運算即可；（3）先化簡，再將分式化為帶分式，最后再求解，注意分式有意義的條件．【詳解】（1）解：因為分式的分子次數0小于分母次數1，所以分式是真分式，故答案為：真分式；（2）；（3），∵，∵是整數，∴或，解得：，，或，∵，，或時，原分式無意義，∴，即當時，該式的值為整數．壓軸題型三與分式有關的規律性問題例題：（2024九年級下·安徽·專題練習）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；；按照以上規律，解決下列問題(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并驗證其正確性．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】此題考查了數字類規律探究，分式的加減運算；（1）根據前5個等式規律寫出第6個等式；（2）根據前5個等式猜想出第個等式并驗證．【詳解】（1）解：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：，可得第6個等式為：，故答案為：；（2）由題意可猜想得，第個等式為：，證明：，第個等式為：．鞏固訓練1．（2024·安徽六安·模擬預測）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……根據以上規律，解決下列問題．(1)直接寫出第5個等式：________________；(2)寫出你猜想的第n個等式：________________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【知識點】分式乘方、異分母分式加減法【分析】此題考查的是歸納總結能力，分式的運算法則等知識，抓住題目中的相似點找到其中的規律是解題的關鍵．（1）觀察前幾個式子，然后進行仿寫，即可得到答案；（2）對題目中給的等式進行比較、歸納，可以發現規律為，再利用分式的減法和乘方運算進行計算，得到左邊等于右邊，即可得到驗證．【詳解】（1）解：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；則第5個等式為故答案為：（2），證明如下：∵左邊，右邊，∴左邊=右邊．故原等式成立．2．（24-25九年級上·安徽宣城·開學考試）；；；…(1)根據上面個等式存在的規律寫出第個等式；(2)用含的代數式表示出第個等式，并證明．【答案】(1)；(2)，證明見解析．【知識點】異分母分式加減法、數字類規律探索【分析】（）根據前個等式特點寫出第個等式；（）根據第（）結論歸納出第個等式的規律；此題考查了數字的變化規律，分式的運算，找出數字之間的運算規律，得出規律，利用規律，解決問題是解題的關鍵．【詳解】（1）解：；；；∴第個等式；（2）解：；；；；第個等式；證明：左邊右邊．3．（24-25八年級上·全國·課后作業）觀察下面一列分式：，，，，…（其中）．(1)根據上述分式的規律寫出第6個分式；(2)根據你發現的規律，試寫出第n（n為正整數）個分式，并簡單說明理由．【答案】(1)(2)，見解析【知識點】分式的規律性問題【分析】此題主要考查了分式的規律性問題以及數字規律的探索問題，得出分子與分母的變化規律即可解題．（1）根據已知分式的分子與分母的次數與系數關系進而得出答案；（2）利用（1）中數據變化規律，進而得出答案．【詳解】（1）解：觀察各分式的規律可得第6個分式為．（2）解：根據題意得：第n（n為正整數）個分式為．理由：∵分母的底數為y，次數是連續的正整數，分子的底數是x，次數是連續的奇數，且第偶數個分式的系數為負，∴第n（n為正整數）個分式為．4．（22-23八年級下·山東青島·階段練習）觀察下列各式：，，，(1)由此推測________(2)請你用含字母m的等式表示一般規律（m表示整數）(3)請直接用（2）的規律計算的值．【答案】(1)(2)(3)0【知識點】分式加減乘除混合運算【分析】本題考查數字的變化類以及分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，發現數字的變化規律，求出所求式子的值．（1）根據題目中的例子的計算方法可以解答本題；（2）根據（1）中的例子可以寫出含m的等式；（3）根據（2）中的規律進行分式的混合運算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：由（）可得；（3）解：．5．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：___________________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析．【知識點】分式的規律性問題、分式加減乘除混合運算【分析】此題考查的是歸納總結能力，抓住題目中的相似點找到其中的規律是解題的關鍵．（1）觀察前幾個式子，然后進行仿寫，即可得到答案；（2）對題目中給的等式進行比較、歸納，可以發現規律為，第n個等式，左邊第一項的分母為，分子是，第二項是，等式右邊為．代入再進行驗證正確性即可．【詳解】（1）解：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，則第5個等式為：；故答案為：；（2）解：根據題意，則：第n個等式為：；證明：等式左邊，等式右邊，∴左邊右邊．6．（23-24八年級下·安徽滁州·期末）有下列等式：①，②，③，④，……按照以上規律，解決下面問題：(1)寫出第⑤個等式：____________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含正整數n的等式表示），并說明猜想的正確性．【答案】(1)(2)第n個等式為：（n為正整數），證明見解析．【知識點】分式加減乘除混合運算、數字類規律探索【分析】本題主要考查了運算規律的探究、分式的混合運算等知識點，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關鍵．（1）根據題干前4個運算式的提示，直接寫出第⑤個即可；（2）根據題干前4個運算式的提示，歸納出第n個等式，然后通過計算即可證明結論．【詳解】（1）解：①，②，③，④，所以⑤為：故答案為（2）解：由（1）歸納可得：第n個等式為：（n為正整數），證明如下：．7．（23-24九年級下·安徽合肥·階段練習）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……按照以上規律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：___________________________；(2)寫出你猜想的第n個等式：______________________________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【知識點】數字類規律探索、分式加減乘除混合運算【分析】本題考查的是運算規律的探究，掌握探究的方法是解本題的關鍵；（1）根據題干信息提示可得第5個等式；（2）根據前面5個等式發現并歸納變與不變的地方，再根據變化的規律總結歸納即可．【詳解】（1）解：第5個等式：；（2）第n個等式：；

證明如下：等式左邊，等式右邊，左邊右邊，等式成立．壓軸題型四與分式方程有關的規律性問題例題：（2024八年級下·全國·專題練習）解方程：①的解．②的解．③的解．④的解．……(1)根據你發現的規律直接寫出⑤，⑥個方程及它們的解；(2)請你用一個含正整數n的式子表示上述規律，并求出它的解．【答案】(1)第⑤個方程：解為第⑥個方程：解為(2)第個方程：解為．【分析】本題主要考查了解分式方程：（1）等號左邊的分母都是，第一個式子的分子是1，第二個式子的分子是2，那么第5個式子的分子是5，第6個式子的分子是6．等號右邊被減數的分母是，分子的等號左邊的分子的2倍，減數是1，第一個式子的解是，第二個式子的解是，那么第5個式子的解是第6個式子的解是．（2）由（1）得第個式子的等號左邊的分母是，分子是，等號右邊的被減數的分母是，分子是，減數是1，結果是【詳解】（1）解：①的解．②的解．③的解．④的解……①，②，③，④（1）第⑤個方程：的解為第⑥個方程：的解為（2）解：第個方程：的解為方程兩邊都乘得解得檢驗：當時，，∴原方程的解為．鞏固訓練1．（22-23八年級下·江蘇常州·期中）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)根據上面的規律，猜想關于x的方程的兩個解是．(2)解方程：，可以變形轉化為的形式，寫出你的變形求解過程，運用（1）的結論求解．(3)方程的解為．【答案】(1)，(2)，，過程見解析(3)，【知識點】數字類規律探索、解分式方程【分析】（1）從數字找規律，即可解答；（2）先將原方程進行變形可得：，然后利用（1）的結論進行計算，即可解答；（3）利用換元法將原方程化為：，然后利用（1）的結論進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：根據上面的規律，猜想關于的方程的兩個解是，，故答案為：，；（2）解：，，，或，，，經檢驗：，是原方程的根；（3）解：令，則原方程可化為：，，，，或，解得：，，經檢驗：，是原方程的根，故答案為：，．【點睛】本題考查了解分式方程，分式方程的解，規律型：數字的變化類，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．2．（23-24八年級下·甘肅天水·階段練習）解方程：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；(1)請完成上面的填空；(2)根據你發現的規律直接寫出第⑤個方程和它的解；(3)請你用一個含正整數的式子表述上述規律，并寫出它的解?【答案】(1)(2)的解是；(3)的解是．【知識點】分式的規律性問題、解分式方程【分析】本題考查分式方程的解以及規律的探索，熟練掌握分式方程的解的求法并觀察出方程的解與分子的關系是解題的關鍵．（1）由題意把方程兩邊都乘以把分式方程化為整式方程，然后求解即可；（2）由題意先觀察①②③④中的方程及其解，根據前四個方程的規律可得第⑤個方程及其解；（3）根據題干中各個方程的規律，可寫出含正整數n的方程，求解即可．【詳解】（1）解：，，，，經檢驗，為方程的解，故答案為：．（2）解：由題意得：⑤的解是；故答案為：的解是；（3）解：由題意得：第個式子及其解為：的解是．3．（21-22八年級下·江蘇鹽城·階段練習）閱讀理解：下列一組方程：①，②，③，…小明通過觀察，發現了其中蘊含的規律，并順利地求出了前三個方程的解，他的解過程如下：由①得或；由②得或；由③得或，(1)問題解決：請寫出第四個方程______________；(2)規律探究：若n為正整數，則第n個方程是____________其解為_____________；(3)變式拓展：若n為正整數，關于x的方程的一個解是，求n的值．【答案】(1)(2)，x=n或x=n+1(3)n=12或11【知識點】解分式方程【分析】（1）根據已知分式方程的變化規律進而得出第四個方程；（2）利用發現的規律得出分子與后面常數的關系求出即可；（3）利用已知解題方法得出方程的解．【詳解】（1）第四個方程為：，即．故答案為：；（2）可得第n個方程為：，解得：x=n或x=n+1；故答案為：，x=n或x=n+1；（3）將原方程變形，，∴x+2=n或x+2=n+1，∴方程的解是x=n-2，或x=n-1，當n-2=10時，n=12，當n-1=10時，n=11，∴n=12或11．【點睛】此題主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解與其形式的規律是解題關鍵．4．（21-22八年級上·云南昭通·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)觀察上述方程的解，猜想關于x的方程的解是；(2)根據上面的規律，猜想關于x的方程的解是；(3)由（2）可知，在解方程時，可以變形轉化為的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．(4)利用（2）的結論解方程：．【答案】(1)，(2)，(3)見解析(4)，【知識點】解分式方程【分析】（1）根據已知材料即可得出答案；（2）根據已知材料即可得出答案；（3）把方程轉化成，由材料得出，，求出方程的解即可；（4）利用換元法，轉化為材料中的規律解答．【詳解】（1）解：關于x的方程的解是：，，故答案為：，；（2）關于x的方程的解是：，，故答案為：，；（3），，，即，，解得：，；（4）令，則方程可化為，由（2）規律可得，，；即或，解得，．【點睛】此題考查了解分式方程，讀懂題意并靈活變形是解題的關鍵．壓軸題型五與分式及分式運算有關的新定義型問題例題：（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”如，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是：______（填序號）；①；②；③；④．(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形為：______．(3)當x取什么整數時，“和諧分式”的值為整數．【答案】(1)①③④(2)(3)或或或或或【分析】此題考查分式的變形計算，同分母分式加法逆運算，（1）根據同分母分式加法將各分式變形，即可判斷；（2）根據同分母分式加法將各分式變形；（3）根據（2）所求可得當x為整數時，的值為整數，據此討論求解即可．【詳解】（1）解：①，②；③，④，∴①③④的分式是“和諧分式”，故答案為：①③④；（2）解：，故答案為：；（3）解：∵的值為整數，∴當x為整數時，的值為整數當或或時，分式的值為整數，∴或或或或或．鞏固訓練1．（23-24八年級下·陜西咸陽·階段練習）定義一種新運算：，例：．根據這種運算法則，完成下列各題：(1)計算：；(2)計算：；(3)計算：．【答案】(1)(2)(3)【知識點】異分母分式加減法【分析】本題考查的是新定義運算的含義，分式的加減混合運算，掌握分式的加減混合運算的運算順序是解本題的關鍵；（1）根據新定義列式再通分計算即可；（2）根據新定義列式再通分計算即可；（3）根據新定義列式再通分計算即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．2．（22-23九年級上·江蘇南通·階段練習）定義：若兩個分式的差為2，則稱這兩個分式屬于“友好分式組”．(1)下列3組分式：①與；②與；③與．其中屬于“友好分式組”的有____________（只填序號）；(2)若正實數互為倒數，求證與屬于“友好分式組”；(3)若均為非零實數，且分式與屬于“友好分式組”，求分式的值．【答案】(1)②③(2)見解析(3)或【知識點】異分母分式加減法、同分母分式加減法、分式的求值【分析】本題考查了分式的加減運算，求解分式的值，熟練掌握分式加減法的法則，對新定義的理解是解題關鍵．（1）根據給出的“友好分式組”定義把每一組的分式相減看結果來判斷；（2）根據a，b互為倒數，得ab=1，把代入計算出結果即可；（3）根據分式與屬于“友好分式組”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分別把①②代入分式求出結果即可．【詳解】（1）解：①②；③則∴屬于“友好分式組”的有②③．故答案為：②③（2）∵a，b互為倒數，∴，，∴∴與屬于“友好分式組”（3）∵a，b均為非零實數，且分式與屬于“友好分式組”，或把①代入把②代入∴的值為或3．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習）定義：形如的式子，若，則稱為“勤業式”；若，則稱為“求真式”；若的值為整數，則稱為“至善式”．(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序號）；①

②

③(2)若，，請判斷為“勤業式”還是“求真式”，并說明理由；(3)若，，且x為整數，當為“至善式”時，求x的值．【答案】(1)①③；(2)為“勤業式”，理由見解析；(3)x的值為0或1或．【知識點】整式的加減運算、分式加減乘除混合運算、分式化簡求值、分式方程的實際應用【分析】（1）先比較A、B的大小，再根據定義進行判斷即可得解；（2）先比較A、B的大小，再根據定義進行判斷即可得解；（3）先求得，由為“至善式”，得為整數，從而有或或或，求解符合條件的x的值即可．【詳解】（1）解：∵∴，∴為“求真式”，故①符合題意，∵∴為“勤業式”，故②不符合題意，∵，∴即，∴為“求真式”，故③不符合題意．故答案為：①③；（2）解：為“勤業式”，理由如下：∵，∴，∴為“勤業式”；（3）解：∵，，且x為整數，∴∵為“至善式”，∴的值為整數，即為整數，∴為整數，∴或或或，解得或（舍去）或或，∴x的值為0或1或．【點睛】本題考查的是新定義情境下的分式的運算，分式的化簡，分式的值，分式方程等知識，掌握以上知識是解題的關鍵．4