PAGE5.2平行關系的性質考綱定位重難突破1.理解直線與平面平行和平面與平面平行的性質定理的含義．2.能用文字語言、符號語言、圖形語言精確地描述兩個平行關系的性質定理．3.能運用兩個平行關系的性質定理證明一些空間線面平行、面面平行關系的簡潔問題.重點：直線與平面平行和平面與平面平行性質定理的應用．難點：利用直線與平面平行的性質定理時，“協助平面”的作法，以及利用面面平行性質定理時，“第三個平面”的選擇．疑點：解題時易把異面直線當成同一平面內的直線而出錯.授課提示：對應學生用書第16頁[自主梳理]一、直線與平面平行的性質文字語言圖形表示符號語言假如一條直線與一個平面平行，那么過該直線的隨意一個平面與已知平面的交線與該直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,aβ,α∩β＝b,))?a∥b二、平面與平面平行的性質文字語言圖形表示符號語言假如兩個平行平面同時與第三個平面相交那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b))?a∥b[雙基自測]1．已知直線a，b和平面α，β，則下列結論正確的是()A．若a∥β，α∥β，則a∥αB．若α∥β，aα，則a∥βC．若α∥β，aα，bβ，則a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，則a∥b解析：選項A中a可能在α內；選項C中a，b可能異面；選項D中，a，b也可能異面或相交；選項B中，α∥β，aα，則a與β無公共點，所以a∥β.答案：B2．兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得四條直線的位置關系是()A．兩兩相互平行B．兩兩相交于同一點C．兩兩相交但不肯定交于同一點D．兩兩相互平行或交于同一點解析：依據面面平行的性質，知四條交線兩兩相互平行，故選A.答案：A3．如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，若過A、C、B1三點的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與解析：因為AC∥平面A1B1C1D1，由線面平行的性質定理知l∥AC.答案：平行4.如圖，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點B1，D1與棱AB的中點P的平面與底面ABCD所在平面的交線記為l，則l與B1D1的位置關系為________．解析：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.答案：l∥B1D15.如圖，異面直線AB，CD被三個平行平面α，β，γ所截．A，D∈α，B，C∈γ，AC，AB，DB，DC分別交β于點E，F，G，H，試推斷四邊形EFGH的形態，并說明理由．解析：四邊形EFGH是平行四邊形．理由如下：∵β∥γ，平面ABC∩β＝EF，平面ABC∩γ＝BC，∴EF∥BC.同理GH∥BC.∴EF∥HG.同理可證EH∥FG.∴四邊形EFGH是平行四邊形．授課提示：對應學生用書第17頁探究一線面平行性質定理的應用[典例1]如圖，已知ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.[證明]如圖，連接AC交BD于點O，連接MO，∵ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點．又M是PC的中點，∴AP∥OM.依據直線和平面平行的判定定理，知PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，依據直線和平面平行的性質定理，得PA∥GH.利用線面平行的性質定理解題的步驟1.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，當BD∥平面EFGH時，下面結論正確的是()A．E，F，G，H肯定是所在邊的中點B．G，H肯定分別是CD，DA的中點C．EB∶AE＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC，故選D.答案：D探究二面面平行性質定理的應用[典例2]已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求當S在α，β之間時SC的長．[解析]如圖所示．∵AB與CD相交于S，∴AB，CD可確定平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，∴eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)，∵eq\f(SA,SA＋SB)＝eq\f(SC,CD)，即eq\f(SC,34)＝eq\f(8,17)，解得SC＝16.利用面面平行的性質定理證明線線平行的基本步驟(1)先找兩個平面，使這兩個平面分別經過這兩條直線中的一條；(2)判定這兩個平面平行；(3)再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面內；(4)由定理得出結論．2．如圖，已知α∥β，點P是平面α，β外的一點(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)若PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長．解析：(1)證明：∵PB∩PD＝P，∴直線PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又∵α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD).∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，∴CD＝eq\f(15,4)(cm)．∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm)．探究三平行關系的綜合應用[典例3]如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．[解析](1)證明：因為AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．證明如下：設Q是CD的中點，連接NQ，MQ，因為M、N分別是AB、PC的中點，所以MQ∥AD，NQ∥PD.因為MQ平面PAD，NQ平面PAD，AD平面PAD，PD平面PAD，且MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.因為MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD.證明面面平行，轉化為證明線面平行，而要證線面平行，轉化為證明線線平行．在立體幾何中，通過線線、線面、面面間的位置關系相互轉化，使問題順當得到解決．嫻熟駕馭這種轉化的思想方法，就能找到解題的突破口．這是高考重點考查的證明平行的方法，應引起重視．3.如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1(1)當eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解析：(1)如圖所示，連接A1B交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點O為A1B的中點．∵BC1平面A1BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，BC1∥平面AB1D1，∴BC1∥OD1.又在△A1BC1中，點O為A1B的中點，∴D1為A1C1的中點．故當eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)∵平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，同理可得AD1∥DC1，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，∴eq\f(A1O,OB)＝eq\f(DC,AD)，又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.函數思想在線面平行中的應用[典例]如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時其截面面積最大．[解析]因為AB∥平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH.所以AB∥FG，AB∥EH，所以FG∥EH.同理可得EF∥GH，所以截面EFGH是平行四邊形．設AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補角)．又設FG＝x，GH＝y，則由平面幾何學問可得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，兩式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，所以S?EFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x)＝eq\f(b,a)sinαeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋\f(a2,4)))(0<x<a)．所以當x＝eq\f(a,2)時，S?EFGH最大＝eq\f(absinα,4)，即當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時，截面面積最大．[感悟提高](1)對于立體幾何中的有關最值問題，當利用幾何性質不能斷定時，常轉化為考慮函數方法求解．(2)利用函數思想解立體幾何問題時，首先應把立體幾何問題轉化為平面問題，再利用函數的有關學問解決相應問題．[隨堂訓練]對應學生用書第18頁1．下列說法中正確的是()①一條直線假如和一個平面平行，它就和這個平面內的多數條直線平行；②一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內的任何直線無公共點；③過直線外一點有且僅有一個平面和已知直線平行；④假如直線l和平面α平行，那么過平面α內一點和直線l平行的直線在α內．A．①②③④ B．①②③C．②④ D．①②④解析：由線面平行的性質定理知①④正確；由直線與平面平行的定義知②正確；經過直線外一點可作一條直線與已知直線平行，而經過這條直線可作多數個平面，故③錯．選D.答案：D2．與兩個相交平面的交線平行的直線和這兩個平面的位置關系是()A．都平行 B．都相交C．在兩個平面內 D．至少和其中一個平行解析：它可以在一個平面內與另一個平面平行，也可以和兩個平面都平行．答案：D3.如圖是長方體被一個平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形態為________．解析：由于原來的幾何體是長方體，所以平面ABFE∥平面DCGH，從而可得EF∥HG，同理可得HE∥GF，故EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形4.如圖，在四棱錐O-ABCD