6年中考解答題27題壓軸題滿分練（一）

（滿分60分時間：80分鐘）班級姓名得分

一、解答題：（本題共6小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

1.（2020年南京市中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊/上建一個燃氣站，向/同側

的A、B兩個城鎮分別鋪設管道輸送燃氣.試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最

短.

（1）如圖②，作出點A關于/的對稱點A,線段AB與直線/的交點C的位置即為所求，

即在點C處建燃氣站，所得路線ACB是最短的.

為了證明點C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點C',連接4C'、BC',證明

AC+CB<AC'+C'B.請完成這個證明.

（2）如果在A、B兩個城鎮之間規劃一個生態保護區，燃氣管道不能穿過該區域.請分

別給出下列兩種情形的鋪設管道的方案（不需說明理由）.

①生態保護區是正方形區域，位置如圖③所示；

②生態保護區是圓形區域，位置如圖④所示.

【答案】證明：（1）如圖②，連接4'。',

???點A,點H關于/對稱，點C在/上，

CA=CA',

：.AC+BC=A'C+BCA'B,

1

同理可得AC'+C'B=A'C'+BC,

vA'B<A'C+C'B,

AC+BC<AC+CB；

在點C出建燃氣站，鋪設管道的最短路線是AC05,（其中點。是正方形的頂點）;

如圖④，

在點C出建燃氣站，鋪設管道的最短路線是4CD+介+EB，（其中C。，8E都與圓相切）

【解析】（1）由軸對稱的性質可得。4=CA',可得4c+BC=A'C+BC=A'B,AC'+C'B=

A'C+BC,由三角形的三邊關系可得48<4C'+C'B,可得結論；

（2）①由（1）的結論可求；

②由（1）的結論可求解.

本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，圓的有關知識，軸對稱的性質，三角形的三邊

關系，熟練運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

2.（2019年南京市中考真題）【概念認識】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按

直角拐彎的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy,對兩

點4（久1，y1）和8（如、2），用以下方式定義兩點間距離:d（A,B）=\xr-x2\+|yi-y2\-

2

【數學理解】

(1)①已知點4(一2,1),則以。,4)=.

②函數丫=一2%+4(03%式2)的圖象如圖(5)所示，8是圖象上一點，d(0,B)=3,則

點B的坐標是.

(2)函數y=：(x>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數的圖象上不存在點C,使

d(O,C)=3.

(3)函數y=x2-5x+7(x>0)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點，求d(O,D)的最小

值及對應的點。的坐標.

【問題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿方向到某

處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適當

的平面直角坐標系，畫出示意圖并簡要說明理由)

【答案】解：⑴①3;②(1,2):

(2)假設函數y=>0)的圖象上存在點C(x,y)使d(O,C)=3,

根據題意，得|x-0|+|—0|=3,

,?,%>0,

~>0>|x-0|4~|—-0|=x+

x4—X=3,

二X2+4=3%,

???/—3%+4=0,

???△=b2—4ac=-7<0,

3

.??方程/—3x+4=0沒有實數根，

.,?該函數的圖象上不存在點C,使d(O,C)=3.

(3)設。(x,y),

根據題意得,d(0,D)=\x-0|+l%?—Sx+7—0|=|%|4~|%2-5%+7|,

-5%+7=(%-1)2+：>0,

又%>0,

???d(O,D)=|%|+|%2—5%-I-7|=%4-%2-5x4-7=%2-4x4-7=(%—2)2+3,

.??當％=2時,d(。,。)有最小值3,此時點。的坐標是(2,1).

(4)如圖，以M為原點，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標系宜內，將函數y=一》的

圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止，

設交點為E,過點E作EHLMN,垂足為H,修建方案是：先沿MN方向修建到“處，再

理由：設過點E的直線人與x軸相交于點立在景觀湖邊界所在曲線上任取一點P,過點P作

直線，2〃，1，%與不軸相交于點G.

??,乙EFH=45°,

??.EH=HF,d(O,E)=0H+EH=OF,

同理d(O,P)=OG,

???OG>OF,

???d(O,P)Nd(O,E),

???卜.述方案修建的道路最短.

4

【解析】

解：(1)①由題意得：d(。,力)=|0+2|+|0—1|=2+1=3：

②設B(x,y),由定義兩點間的距離可得：|O-x|+|O-y|=3,

v0<x<2,

?,?％+y=3,

.儼+y=3

**ly=-2x+4'

解得:{J：2'

故答案為：①3;②(1,2)；

(2)見答案;

(3)見答案；

(4)見答案.

【分析】

(1)①根據定義可求出d(。,4)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②由兩點間距離：d(4,B)=|xx-x2\+\yi-yzl及點B是函數y=-2x+4的圖象上的一點,

可得出方程組，解方程組即可求出點B的坐標；

(2)由條件知%>0,根據題意得X+￡=3,整理得/一3%+4=0,由△<()可證得該函數

的圖象上.不存在點C,使d(O,C)=3.

(3)根據條件可得|x|+|X2-5X+7|,去絕對值后由二次函數的性質可求出最小值；

(4)以M為原點，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xOy,將函數y=-x的圖象沿

y軸正方向平移,直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止,設交點為E,過點E作EH1MN,

垂足為“，修建方案是：先沿方向修建到“處，再沿方向修建到E處，可由d(O,P)>

d(O,E)證明結論即可.

考查了二次函數的綜合題，涉及的知識點有新定義，解方程(組)，二次函數的性質等.

3.(2018年南京市中考真題)結果如此巧合！

下面是小穎對一道題目的解答.

題目：如圖，RtA/lBC的內切圓與斜邊A8相切于點￡>,AD=3,BD=4,求的

面積.

5

解：設△力BC的內切圓分別與AC、8c相切于點E、F,CE的長為x.

根據切線長定理，得2E=4D=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

根據勾股定理，得(x+3/+。+4)2=(3+4)2.

整理，得/+7x=12.

所以SMBC="C-BC

=|(x+3)(%+4)

=|(X2+7X+12)

=|x(12+12)

=12.

小穎發現12恰好就是3x4,即△4BC的面積等于4。與的積.這僅僅是巧合嗎？

請你幫她完成下面的探索.

已知：△ABC的內切圓與AB相切于點。，AD=m,BD=n.

可以一般化嗎？

(1)若Z/?=90。，求證：△4BC的面積等于

倒過來思考呢？

(2)若4C-BC=2nm,求證NC=90。.

改變一下條件...

(3)若/C=60。，用機、〃表示△ABC的面積.

【答案】解：設△ABC的內切圓分別與AC、8c相切于點E、F,CE的長為x,

根據切線長定理，得：AE=AD=m,BF=BD=n、CF=CE=x,

(1)如圖1.

6

A

D

圖1

在RtzMBC中，根據勾股定理，得：(x+m)2+(%+n)2=(m+n)2,

整理，得：x24-(?n4-n)x=mnf

所以，A8C="C-BC

=1(x+m)(x+n)

=j[x2+(m+n)x+mri]

=g(mn+mn)

=mn,

(2)由4c-BC=2mn,得：(%4-7n)(x4-n)=2mnf

整理，得：x2+(m+n)x=mrif

??.AC2+BC2=(%+m)2+(x+n)2

=2[%2+(m+n)x]+m2+n2

=2mn4-m24-n2

=(m4-n)2

=AB2,

根據勾股定理逆定理可得4C=90°；

(3)如圖2,過點A作4G1BC于點G,

7

A

在RtZk/CG中，AG=AC-sin60°=y(x+m),CG=71C-cos60°=|(x4-m),

???BG=BC—CG=(%4-n)—(x+m),

在Rt△ABG中，根據勾股定理可得：[號(x+m)]24-[(x4-n)—|(x+m)]2=(m+n)2,

整理，得：x24-(m+n)x=3mn,

?*,S^ABC=2BC,4G

=1x(x+n)-y(x+m)

=[x2+(m+n)x+mn]

百

=Yx(3mn+mn)

=V3mn.

【解析】(1)由切線長知力E=AD=m、BF=BD=九、CF=CE=%,根據勾股定理得。+

m)2+(%4-n)2=(m+n)2,即產4-(m4-n)x=mn,再利用三角形的面積公式計算可得；

(2)由由24c,BC=2nm得(％+?n)(%+n)=2nm,B|J%24-(m4-n)x=mn,再利用勾股定理

逆定理求證即可；

(3)作AG1BC,由三角函數得4G=AC-sin60°=y(x+m),CG=AC-cos60°=i(x+m),

BG=BC-CG=(x+n)-|(x+m),在RtAABG中，根據勾股定理可得/+(m+n)x=

3mn,最后利用三角形的面積公式計算可得.

本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握切線長定理的運用、三角函數的應用及勾股

定理及其逆定理等知識點.

4.（2017年南京市中考真題）折紙的思考.

【操作體驗】

8

用一張矩形紙片折等邊三角形.

第一步，對折矩形紙片力BCDQ4B>BC)(圖①)，使A8與。C重合，得到折痕所，把

紙片展平(圖②).

第二步，如圖③，再一次折疊紙片，使點C落在上的P處，并使折痕經過點B,得

到折痕3G,折出PB、PC,得到APBC.

(1)說明△PBC是等邊三角形.

【數學思考】

(2)如圖④，小明畫出了圖③的矩形ABC。和等邊三角形P8C.他發現，在矩形A8C。

中把^PBC經過圖形變化，可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形，請描述圖形變化的

過程.

(3)已知矩形一邊長為3cm,另一邊長為acm,對于每一個確定的〃的值，在矩形中都

能畫出最大的等邊三角形，請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應的a的取值范圍.

【問題解決】

(4)用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4a”和lew的直角三角形鐵片，所需正方

【答案】(1)證明：由折疊的性質得：E尸是BC的垂直平分線，8G是PC的垂直平分線，

???PB=PC,PB=CB,

：.PB=PC=CB,

:.△PBC是等邊三角形.

(2)解：以點B為中心，在矩形ABCD中把△PBC逆時針方向旋轉適當的角度,得到△P.BC^

再以點B為位似中心，將△PiBG放大，使點Q的對應點落在CO上，得到AP2BC2；

如圖⑤所示

9

D

(3)解：本題答案不唯一，舉例如圖6所示，

3cm

巴?-0

3cm_____

acm1/\“1

OK苧孚<a<2點a"石

圖6

，八16

(4)y.

【解析】(1)見答案；

(2)見答案；

(3)見答案:

(4)解；如圖7所示：

圖7

△CEF是直角三角形，4cEF=90°,CE=4,EF=1,

Z.AEF+Z.CED=90°,

???四邊形A8CO是正方形,

???乙4=乙。=90°,AD=CD,

???乙DCE+乙CED=90°,

???Z.AEF=Z.DCE?

10

???△AEF^h.DCE,

AEEFi

*t_______.

"DC~~CE~4’

設4E=%,則4。=CD=4x,

???DE=AD-AE=3x,

在Rt^CDE中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=42,

解得：x=l，

AD=4x-=-.

55

故答案為：器

(1)由折疊的性質和垂直平分線的性質得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可；

(2)由旋轉的性質和位似的性質即可得出答案；

(3)由等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理進行計算，畫出圖形即可；

(4)證明△AEFfDCE,得出差=熊=%設4E=X,則AD=CD=4x,DE=AD-AE=3x,

在RtACDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

本題是幾何變換綜合題目，考查了折疊的性質、等邊三角形的判定與性質、旋轉的性質、直

角三角形的性質、正方形的性質、相似三角形的判定與性質、位似的性質等知識；本題綜合

性強，難度較大.

5.(2016年南京市中考真題)如圖,把函數y=x的圖象上各點的縱坐標變為原來的2倍，

橫坐標不變，得到函數y=2x的圖象：也可以把函數y=x的圖象上各點的橫坐標變為

原來的：倍，縱坐標不變，得到函數y=2%的圖象.

類似地，我們可以認識其他函數.

11

(1)把函數y=：的圖象上各點的縱坐標變為原來的倍，橫坐標不變，得到函數

y的圖象；也可以把函數y=：的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標

不變，得到函數y=：的圖象.

(2)已知下列變化：①向下平移2個單位長度；②向右平移1個單位長度；③向右平移

1個單位長度；④縱坐標變為原來的4倍，橫坐標不變；⑤橫坐標變為原來的1倍，縱

坐標不變；⑥橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變.

(I)函數y=/的圖象上所有的點經過④-②一①，得到函數的圖象；

(11)為了得到函數丫=一；(％-1)2-2的圖象，可以把函數y=—/的圖象上所有的點

A.①7⑤T③B.①T⑥T③C.①T②T⑥D.①T③T⑥

(3)函數y=:的圖象可以經過怎樣的變化得到函數y=-急的圖象？(寫出一種即可)

【答案】(1)6,6；

(2)(I)y=40-1)2-2；(n)D;

/「、2x+l-2%-4+33t

()■'-2x+4-2x+4-2(x+2)'

.??函數y=(的圖象先將縱坐標變為原來的:倍，橫坐標不變，得到y=5；再向左平移2個單

位，向下平移1個單位即可得到函數y=-驊的圖象.

【解析】解：(1)把函數y=(的圖象上各點的縱坐標變為原來的6倍，橫坐標不變，

設V=6y,x'=x,將、=?,x=x'帶入xy=1可得y'=?,得到函數、=:的圖象；

也可以把函數y=：的圖象上各點的橫坐標變為原來的6倍，縱坐標不變，

設y'=y,x'=6%,將曠=y',x=￡代入xy=1可得y'=：,得到函數y=：的圖象；

故答案為：(1)6,6；

(2)(I)函數y="的圖象上所有的點經過“縱坐標變為原來的4倍，橫坐標不變”的變化

后，得到y=4x2的圖象；y=4"的圖象經過“向右平移1個單位長度”的變化后，得到y=

4(%-1產的圖象；y=4(x—1)2的圖象經過“向下平移2個單位長度”的變化后，得到y=

4(4一1)2—2的圖象.

12

(口)為了得到函數y=-J(x-l)2-2的圖象，可以把函數y=-/的圖象上所有的點先向

下平移2個單位長度，得到y=-x2-2的圖象，再把y=-x2-2的圖象向右平移！個單位

長度，得到y=—(工一》2一2的圖象；最后把、=一(％-》2-2的圖象的橫坐標變為原來的

2倍，得到)/=一^x—今2-2的圖象，即y=-；(%-1)2-2的圖象.

故答案為：(2)(I)y=4(X-1)2-2；(n)￡);

2x+l—2x-4+33v

()，/―-2X+4-2X+4-2(X+2)-，

.??函數y=:的圖象先將縱坐標變為原來的|倍，橫坐標不變，得到y=~再向左平移2個單

位，向下平移1個單位即可得到函數y=-綁的圖象.

(1)根據閱讀材料中的規律即可求解；

(2)根據閱讀材料中的規律以及“左減右加，上加下減”的規律即可求解；

(3)首先把函數解析式變為y=-2=子等=高-1,然后根據(2)的規律即可求解.

本題考查圖形的平移變換和函數解析式之間的關系.在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖

形上某點的平移相同.平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下

移減.平移后解析式有這樣一個規律“左加右減，上加下減”.關鍵是要搞清楚平移前后的

解析式有什么關系.

6.(2015年南京市斗「考真題)某企業生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等，如

圖中的折線A8。、線段C。分別表示該產品每千克生產成本%(單位：元)、銷售價為(單

位：元)與產量式單位：kg)之間的函數關系.

(1)請解釋圖中點。的橫坐標、縱坐