試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁不動點與數列一、什么是不動點取兩根長短不一，有著同樣刻度（但長度單位不同）的尺子（比如：一根長，一根長5寸），我們將其中較短的一根無論放在較長尺子的什么地方，只要短尺全部落在長尺內（圖1-1），則兩根尺子總有某刻度，它們的數值是相同的（如圖中的“A”這一刻度），這個數值相同的刻度，就是這種移動變換下的一個不動點.一根橡皮繩子上打著許多結，當你均勻拉伸后，對稱地放在原來的位置下面，再把繩子相應的結用線連接起來，其中必有一條與橡皮繩垂直（圖中A），則這條垂線的結點，便是橡皮繩在拉伸變換下的不動點.“不動點”是一個重要的又十分有趣的數學概念，斯丕諾（Sperner）定理可以說是不動點在數學上有趣的應用：把任意分割成許多小三角形（如圖所示），然后把的頂點分別涂上三種不同的顏色，再把這些小三角形的頂點也涂上這三色之一.規則是：若小三角形的頂點落在某條邊上，則這個頂點，只能涂該邊兩端之一的顏色，若小三角形頂點落在內，則可以任意涂三色之一.無論如何分割，最后必有一個三角形（確切些，有奇數個小三角形）使它的三個頂點恰好涂有三種顏色.從不動點觀念看，這個小三角形就是在“分割”、“著色”變換下的不動點.歷史上證明了Sperner定理后，導出了布勞韋爾（Brouwer）不動點定理：“任意一個把n維球體變為自身的連續變換，至少有一個不動點”.定理的嚴格證明是艱深的.由于篇幅所限，不可能給出這個證明了，但是，我們可以看看布勞韋爾不動點定理最簡單而又特殊的情況：定理：設是連續函數，其定義域為，值域，則必有不動點（即存在一點使）.預備知識：定義1對函數，若存在實數，滿足，則稱為的不動點.對此定義有兩方面的理解：（1）代數意義：若方程有實數根，則有不動點.（2）幾何意義：若函數與有交點，則為的不動點.利用遞推數列的不動點，可以將某些由遞推關系所確定的數列轉化為較易求通項的數列（如等差數列或等比數列），這種方法稱為不動點法.下面舉例說明兩種常見的遞推數列如何用不動點法求其通項公式.定義2若數列滿足，則稱為數列的特征函數.定義3方程稱為函數的不動點方程（特征方程），其根稱為函數的不動點.具體應用：若數列的遞推公式為，把此式中的、均換成，得方程，我們把方程的實數根稱為數列的不動點.利用數列的非零不動點，可以轉化求等比、等差數列，繼而可求出數列的通項公式.命題1若，是的不動點，滿足遞推關系，則，即是公比為的等比數列.證明因為是的不動點，所以，所以.由得.所以是公比為的等比數列.命題2設，且只有兩個相同的不動點，如果滿足遞推關系，初值條件，則.（這里）證明由得，整理得.所以，，所以.所以.令，則.命題3設，滿足遞推關系，初值條件，若有兩個相異的不動點，，則.（這里）證明因為，是不動點，所以，所以.令，則.命題2、命題3的另一種證明方法：（1）推理當數列遞歸方程滿足，若令，，根據不動點定義，即，可列出方程，整理得.①當判別式時，該數列具有一個不動點；當判別式時，該數列具有兩個不動點，.兩種情況均滿足數列特征方程.②（2）驗證將遞歸方程變形為，對比②式系數得.消去未知量，，推出等式，即特征方程①，證畢.命題4設函數有兩個不同的不動點，，且由確定數列，那么當且僅當，時，.此時.知識延伸：利用函數不動點構造橋函數求數列的通項公式.定義2已知函數，記，，，則稱為函數的次迭代.定義3已知函數和，若存在可逆函數（存在反函數），滿足，則函數和互為相似函數，其中稱為橋函數.說明（1）若，則且.（2）若的不動點為，則為函數的不動點.對于數列：已知首項，及遞推公式，，則數列的通項公式即為.若能求出，則數列的通項公式即可很容易求出.而求關鍵是需要找到合適的橋函數，使得與相似的函數能比較簡單（常為一次函數或反比例函數），從而求，再由求.而由說明（2）又啟發我們可以利用函數的不動點去構造橋函數.橋函數的使用：已知數列滿足：，，，求數列的通項公式.解令，則的不動點為，，構造橋函數，則，令,又，則,所以數列的通項公式為,說明（，，，為常數），則，其中是的不動點.最后我們來研究關于數列的周期性問題：對于方程；（1）若，則數列無周期.（2）若，則數列有周期的充要條件是，且周期.（3）若，則數列有周期的充要條件是（其中，為方程的兩根.，），且周期.證明：（1）當時，方程的兩根.因為，.對于，，顯然,所以，故數列無周期.（2）若，則兩根，因為，，所以數列有周期的充要條件是，，即.所以，但，所以，，注意到方程，，故.反之，若，則，（其中）所以，即①，自然也有②，②得，，于是，說明數列的奇數項、偶數項分別相同，故數列有周期.（3）若，則.由于，故可設.則為1的一個次方根，.反之，若是周期為的周期數列，則必有.于是.【強化訓練1】1．已知數列的遞推公式，且首項，求數列的通項公式.【強化訓練2】2．已知數列的遞推公式，且首項，求數列的通項公式.【強化訓練3】3．設，數列滿足，，求數列的通項公式．【強化訓練4】4．已知首項為的數列，滿足（a為常數）.當a確定后，數列由其首項確定，當時，通過對數列的探究，寫出“是有窮數列”的一個真命題.【強化訓練5】5．已知，，求的通項公式.【強化訓練6】6．已知，，求的通項公式.【強化訓練7】7．已知，求的通項公式.【強化訓練8】8．已知函數，設曲線在點處的切線與x軸的交點為，已知.用表示，并求數列的通項公式.【強化訓練9】9．已知數列滿足：，，求數列的通項公式.【強化訓練10】10．已知數列中，，求的通項.【強化訓練11】11．在數列中，，且，求其通項公式.【強化訓練12】12．已知數列滿足，首項，求其通項公式.【強化訓練13】13．已知數列滿足，求數列的通項公式.【強化訓練14】14．已知數列滿足，判斷數列的周期性.【強化訓練15】15．數列滿足，判斷數列的周期性.【強化訓練16】16．數列滿足，試研究數列的周期性.【強化訓練17】17．已知，且，求的解折式.【強化訓練18】18．求數列：的周期.【強化訓練19】19．已知函數，求證：為周期函數.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【分析】令，求出數列的不動點，據此變形遞推關系式，可構造等差數列，即可求出數列通項公式.【詳解】令.先求出數列的不動點，解得.將不動點代入遞推公式，得，整理得，，∴.令，∴，.∴數列是以為首項，以1為公差的等差數列.∴的通項公式為.將代入，得.∴.2．【分析】在或時，直接可計算得出；在且且時，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得.綜合可得結果.【詳解】解：當時，，，，以此類推可知；當時，，，，以此類推可知；當且且時，特征方程為，即，解得或，因為且且，且且，可知對任意的，且.構造數列，則，所以，數列為等比數列，且該數列的首項為，公比為，所以，，解得.綜上所述，.3．【分析】將遞推得到兩邊取倒數得到，令，則，當時是等差數列，求出通項公式進而求出的通項公式；當時利用構造法求出通項公式進而求出的通項公式.【詳解】解：，兩邊取倒數得到令，則，當時，，數列是首項為，公差為的等差數列．．當時，，則，數列是以為首項，為公比的等比數列．，，4．答案見解析【分析】根據題意中的遞推公式，利用取倒數法可得，數列為等比數列，根據等比數列的通項公式可得，進而求出；令可得，結合充要條件的概念即可得出結論.【詳解】由，由得.兩邊同時取倒數，得，有，所以是首項為，公比為的等比數列，所以所以，.令，則，即第項為-1，有窮數列在第項停止.綜上：寫出的真命題為：數列是有窮數列的充要條件是：存在使得某項，所以，即，且有窮數列的項數為m.5．【分析】根據不動點法求出不動點為3，進而可得數列{}是以為首項、為公差的等差數列，利用等差數列的通項公式即可求出.【詳解】設，即，解得，即不動點為，，可變形為，即數列是以為首項，為公差的等差數列，其通項公式，得.6．.【分析】先將條件進行變形，化簡為，進而變形為，然后通過等比數列的概念求得答案.【詳解】由題意，，所以，則，而，故是以為首項，3為公比的等比數列.于是.【點睛】是的一種變形，首先，進而可以將它變形為等比數列，然后求得答案.因此我們可以將原式作如下處理：，并且要求，現將x=2代入或4（x=4亦可，無根的情況和分母為0的情況均不在此考慮之列），，進而轉化為等比數列解得答案.7．.【分析】將已知式子變形為，進而根據等比數列的定義求得答案.【詳解】根據題意變形為，則，而，所以是以2為首項，2為公比的等比數列.于是.8．，【分析】求導,在處的切線方程，令求解.【詳解】因為，則，所以在處的切線方程為，令，得，（易知），所以,所以，從而，所以.9．【分析】由題設中的遞推關系可得數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求得數列的通項公式.【詳解】因為，故且，故，而，故，故，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，解得.10．【分析】利用不動點法求出不動點為1和2，進而可得數列是公比為的等比數列，利用等比數列的通項公式求出即可.【詳解】因為的特征函數為，則特征方程為，即，解得，則，①.②則①÷②得，∴數列是公比為的等比數列，∴.∵，∴，即.11．【分析】根據特征方程解出，令，得到，利用取倒數法求出，即可求出的通項公式.【詳解】因為，所以特征方程為，解得.令，代入原遞推式得.因為，所以，故.因此，，從而.又因為，所以.12．【分析】先由，求得不動點為,進而得到求解.【詳解】特征方程為，得，則，故是函數的兩個不動點.則，①.②則①÷②得，所以由迭代法得，則.13．.【分析】先將式子變形為，進而根據等比數列的定義求得答案.【詳解】根據題意，，則，又因為，所以是以2為首項，為公比的等比數列.于是.【點睛】是的一種變形，首先，進而可以將它變形為等比數列，然后求得答案.因此我們可以將原式作如下處理：，并且要求或x=3，現將x=3代入（x=2亦可，無根的情況和分母為0的情況均不在此考慮之列），，進而轉化為等比數列解得答案.14．不是周期數列.【分析】根據題意，先求出數列的通項公式，然后再假設數列的最小正周期為T，進而根據判斷問題.【詳解】由題意，，所以，進一步化簡為：，而，所以是以為首項，為公比的等比數列，于是.假設該數列的最小正周期為T，則，所以，顯然T不為定值，即該數列不是周期數列.【點睛】本題求解數列的通項公式是難點.是的一種變形，首先，進而可以將它變形為等比數列，然后求得答案.因此我們可以將原式作如下處理：，并且要求或，現將代入（亦可，無根的情況和分母為0的情況均不在此考慮之列），，進而轉化為等比數列求出該數列的通項公式.15．周期為2.【分析】通過遞推公式列舉出數列的項，進而發現周期，然后再進行證明即可.【詳解】因為，所以，，則猜想該數列的周期為2.下面進行證明：根據題意，.于是數列的周期為2.16．周期為4