專題5.28相交線與平行線常見幾何模型（知識梳理與考點分類講解）【模型一】豬蹄型已知：如圖，AB//CD，求證：∠B+∠D=∠E.證明：如圖，過點E作MN//AB.∵MN//AB（作輔助線）.∴∠B=∠1（兩直線平行，內錯角相等）.∵MN//AB（輔助線），AB//CD（已知）∴MN//CD（平行于同一直線的兩直線互相平行）∴∠2=∠D（兩直線平行，內錯角相等）∵∠1+∠2=∠BED（等式性質）∴∠B+∠D=∠BED（等量代換）拓展與延伸：延伸與拓展：朝左的角之和=朝右的角之和【模型二】鉛筆型解：（1）∵AB∥CD（已知）∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補）（2）過點E作一條直線EF平行于AB，∵AB∥EF，AB∥CD（已知）∴CD∥EF（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性質）∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代換）（3）過點E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD（已知）∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性質）∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代換）延伸與拓展：根據上述規律，顯然作（n2）條輔助線，運用（n1）次兩條直線平行，同旁內角互補．即可得到n組同旁內角，n個角的和是180（n1）°．【模型三】前揚角型∠B=∠E+∠C過點E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（兩直線平行，內錯角相等）.∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性質）∴∠B=∠BEC+∠C（等量代換）【模型四】后翻角型結論：∠C=∠E+∠B證明：過點E作GF//AB∵AB∥CD（已知）∴GF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（兩直線平行，內錯角相等）.∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性質）∴∠C=∠B+∠CEB（等量代換）【模型五】潛望鏡模型如下圖：【模型六】綜合型∠B+∠E∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC綜上所述：幾個幾何模型共同點：都是通過作輔導線達到角度大小轉化目的。【考點1】豬蹄型模型；【考點2】鉛筆型模型；【考點3】前揚角型模型；【考點4】后翻角型模型；【考點5】潛望鏡模型；【考點6】樓梯模型.【考點一】豬蹄型模型【例1】（2024上·甘肅白銀·八年級統考期末）【問題背景】同學們，觀察小豬的豬蹄，你會發現熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系．【問題探究】（1）如圖1，，為、之間一點，連接、．可以得到與、之間有怎樣的數量關系，并說明理由．【靈活應用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數．【答案】（1），理由見分析；（2）【分析】本題考查平行線的性質及應用，三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握平行線的性質定理和判定定理，并能熟練應用．（1）過點作，利用平行線的性質即可解答；（2）先利用三角形的內角和定理可得，從而利用對頂角相等可得，然后利用“豬蹄模型”可得，最后進行計算即可解答．解：（1），理由：如圖，過點作，，，，，，；（2），，，，，由（1）可得：，，．【舉一反三】【變式1】（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級統考期末）如圖，已知直線，將一個含角的直角三角板如圖放置，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，過點A作，利用平行線的性質可以推出∠1+∠2=90°，由此即可得到答案．解：如圖所示，過點A作，∵，∴，∴∠1=∠BAD，∠2=∠CAD，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=30°，∴∠2=90°∠1=60°，故選B．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，三角板中角度的計算，正確作出輔助線是解題的關鍵．【變式2】（2023上·四川眉山·七年級期末）如圖，一副三角板的一邊重合，得到四邊形ABCD，過點A作直線AE∥BC，∠1的度數為．【答案】15°/15度【分析】延長、相交于點，根據和是一副三角板求出的度數，再根據即可求出的度數．解：延長、相交于點，如圖所示∵和是一副三角板∴，，∴∴∵∴故答案為：．【點撥】本題考查了一副三角板的度數、平行線的性質等知識點，解答本題的關鍵是牢記三角板各個角的度數，正確作出輔助線，利用平行線的性質求解．【考點二】鉛筆型模型【例2】（2020下·江西南昌·七年級階段練習）閱讀第（1）題解答過程填理由，并解答第（2）題．（1）已知：如圖1，，為之間一點，求的大小．解：過點作，（已知），______________，，，，．（2）我們生活中經常接觸小刀，小刀刀柄外形是一個直角梯形（挖去一個小半圈）如圖2，刀片上、下是平行的，轉動刀片時會形成和，那么的大小是否會隨刀片的轉動而改變？說明理由．

【答案】（1）平行于同一條直線的兩直線平行；（2）不改變，理由見分析【分析】（1）根據平行線的判定定理即可得出結論；（2）如解圖所示，過點P作PM∥AB，根據平行線的判定定理可得，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠1=∠APM，∠2=∠CPM，再根據∠APM＋∠CPM=∠APC=90°，即可得出結論．解：（1）過點作，（已知），（平行于同一條直線的兩直線平行），，，，．故答案為：平行于同一條直線的兩直線平行．（2）不改變，理由如下如圖所示，過點P作PM∥AB，由題意可得（已知），∠APC=90°（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠1=∠APM，∠2=∠CPM，∵∠APM＋∠CPM=∠APC=90°，∴∠1＋∠2=∠APM＋∠CPM=90°．∴的大小不會隨刀片的轉動而改變.【點撥】此題考查的是平行線的判定及性質，掌握構造平行線的方法、平行線的判定及性質是解決此題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2023下·七年級課時練習）軒軒準備參加馬拉松比賽，得知一段跑道示意圖（如圖），其中AB∥DE，測得∠EDC=110°，∠ABC=130°，則∠BCD的度數為（）A．120° B．100° C．240° D．90°【答案】A【分析】過點C作CF∥AB，由平行線性質可得∠ABC，∠EDC，∠BCF，∠DCF的關系，進而求得∠BCD．解：如圖所示：過點C作CF∥AB．∵AB∥DE，∴DE∥CF，∴∠BCF=180°∠ABC=50°，∠DCF=180°∠EDC=70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=120°．故選：A．【點撥】本題考查了平行線的性質和平行線公理．主要應用到兩直線平行，同旁內角互補．能正確作出輔助線是解決此題的關鍵【變式2】（2023上·甘肅·八年級校考階段練習）如圖，有三條兩兩相交的公路、、，從地測得公路的走向是北偏東50°，從地測得公路的走向是北偏西40°．若、、的長分別為千米，千米、千米，點是公路上任意一點，則線段的最小值為千米．（用含、、的式子表示）

【答案】【分析】過C作于P，依據，可得在中，得出，代入數值求解即可．解：如圖，過C作于P，

由題可得，，∴，∴∴中，，∴，即線段的最小值為，故答案為．【點撥】此題是一道方向角問題，結合生活中的實際問題，將解三角形的相關知識有機結合，體現了數學應用于實際生活的思想．【考點三】前揚角型模型【例3】（2023上·吉林長春·七年級統考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點在上，點在上．求證：．【類比遷移】（2）如圖②，、、的數量關系為．（不需要證明）【結論應用】（3）如圖③，已知，，，則°．【答案】（1）見分析；（2）；（3）20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質，作輔助線是解題的關鍵．（1）過點作，根據平行線的性質可求解；（2）如圖②，過作，根據平行線的性質即可得到結論；（3）如圖③，過作，根據平行線的性質即可得到結論．解：（1）證明：如圖①，過點作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過作，，∵，∴，，，故答案為：20．【舉一反三】【變式1】（2023下·重慶九龍坡·七年級重慶市楊家坪中學校考期中）如圖，ABCD，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點E作，則，根據平行線的性質可得∠FEC=∠C，∠FEA=∠A，然后代入數值計算即可．解：過點E作，又，∴，∴∠FEC=∠C，又∠C=70°，∴∠FEC=70°，又∠AEC=28°，∴∠FEA=∠FEC∠AEC=42°，又，∴∠A=∠FEA=42°．故選：C．【點撥】本題考查了平行線的性質、平行公理的推論等知識，添加輔助線是解題的關鍵．【變式2】（2022下·西藏那曲·七年級統考期末）如圖，，則，，的關系是.

【答案】【分析】過作，利用兩直線平行同旁內角互補可得，，的關系．解：過作，

，，，，，，，．故答案為：．【點撥】本題考查的是平行線的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．【考點四】后翻角型模型【例4】（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級校聯考期中）已知：，點為平面內一點，點在上，點在上，連接、，平分交于．（1）如圖1，，，則______；（2）如圖2，延長交于點，若，，求；（3）當點在下方，若，，請將圖形補充完整，并求出的度數，交于點．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）過點作，由平行線的性質可得出因為平分,可以得出，再由平行線的性質推出；（2）過點作，使，設，則，由平行線的性質可得出，，由是角平分線可以求得，最后根據平角的定義求出;（3）本題分兩種情況討論：當在左側時,過點作,設，則,根據平分線定義，推出，再有平行線性質得出，求出，最后得出；當在右側時，過點作，設，則,由平行線的性質得出，因為平分，所以，由得出,再由平行線的性質得出，.（1）解：過點作，使

，，，，，，，平分，，，，，，，，（2）解：過點作，使，

，，，，設，則，，，，，，平分，，，，，，，，.（3）解：①當在左側時，過點作，使，

，，，，，，，，設，則，，平分，，，，，，，②當在右側時，過點作，使，

，，，，設，則，，，，，，，平分，，，，，，，，或答：的度數為【點撥】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，角度的計算，關鍵要理解并且會應用平行線的性質求角度，還要注意分類討論的思想.【舉一反三】【變式1】（2024下·全國·七年級假期作業）如圖，，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】略【變式2】（2023下·江蘇蘇州·七年級統考期末）如圖，有一塊含有角的直角三角板的兩個頂點放在矩形的對邊上．如果，那么的度數是．

【答案】【分析】根據直角三角形的兩個銳角互余，兩直線平行，內錯角相等計算即可．解：如圖：

∵在中，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案是：．【點撥】本題考查了直角三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．【考點五】潛望鏡模型【例5】（2023上·甘肅天水·七年級校考期末）如圖所示的是一個潛望鏡模型示意圖，，代表鏡子擺放的位置，并且與平行，光線經過鏡子反射時，滿足，．證明離開潛望鏡的光線平行于進入潛望鏡的光線．請補全下述證明過程：∵，∴______．∵，，∴．∵，______，∴______．∴______．【答案】；；；（內錯角相等，兩直線平行）【分析】根據平行線性質得出，求出，根據平行線判定推出即可．解：∵，∴．∵，，∴．∵，，∴．∴（內錯角相等，兩直線平行）．故答案為：；；；（內錯角相等，兩直線平行）．【點撥】本題主要考查了平行線性質和判定的應用，解題的關鍵是根據平行線的判定和性質解答．【舉一反三】【變式1】（2024上·廣東深圳·八年級統考期末）如圖，小穎繪制一個潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面與平行，入射光線與出射光線平行．若入射光線與鏡面的夾角，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行性的性質．熟練掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．由題意知，，，由，可得，進而可求．解：由題意知，入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，即，，∵，∴，∴，故選：B．【變式2】（2023下·浙江嘉興·七年級校聯考階段練習）如圖是一塊長方形的場地，長米，寬米，從、兩處入口的小路寬都為1米，兩小路匯合處的路寬是2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為．【答案】【分析】可以將草坪拼成一塊完整的長方形，分別表示出它的長和寬即可求出面積．解：可以將草坪拼成一塊完整的長方形，這個長方形的長是：米，寬是：米，∴草坪的面積是：（平方米）．故答案是：．【點撥】本題考查多項式的乘法和圖形的平移，解題的關鍵是通過平移的方法將不規則的圖形拼成規則圖形進行求解．【考點六】樓梯模型【例6】（2022下·甘肅隴南·七年級校考期末）星期天早晨，小剛和爸爸正在商量往樓梯上鋪地毯的事，如圖所示，爸爸：“小剛，你幫我算一下，從一層鋪到二層需要地毯幾米？”小剛：“我早已用盒尺量好了，每階高，寬為

…”爸爸：（打斷小剛的話）“不量每階的高度和寬度，你想想有沒有辦法？”小剛：（思索）“有了，只需要量出樓梯