第三講直線與圓錐曲線（推薦時間：50分鐘）一、選擇題1．由橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦點作傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點，設O為坐標原點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))等于 ()A．0 B．1C．－eq\f(1,3) D．－32．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為 ()A.eq\f(5,4) B．5C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)3．經過點(3,0)的直線l與拋物線y＝eq\f(x2,2)相交，兩個交點處的拋物線的切線相互垂直，則直線l的斜率k等于 ()A．－eq\f(1,6) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)4．若拋物線y2＝2x上有兩點A，B，且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線的焦點到直線AB的距離為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)5．若直線y＝x＋t與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點，當t變化時，|AB|的最大值是()A．2 B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5) D.eq\f(2\r(10),5)6．(n)已知點M(eq\r(3)，0)，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1與直線y＝k(x＋eq\r(3))交于點A、B，則△ABM的周長為 ()A．4 B．8C．12 D．167．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右焦點的直線交雙曲線所得的弦長為2a，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率為 ()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C．2 D.eq\r(5)8．已知點F、A分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點、右頂點，點B(0，b)滿足eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則雙曲線的離心率為 ()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(1＋\r(3),2) D.eq\f(1＋\r(5),2)二、填空題9．斜率為eq\r(3)的直線l過拋物線y2＝4x的焦點且與該拋物線交于A，B兩點，則|AB|＝________.10．橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)的位置關系是________．11．拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，l與x軸相交于點E，過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AB⊥l，垂足為B，則四邊形ABEF的面積為________．12．(·湖北)如圖，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F2.若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則(1)雙曲線的離心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值eq\f(S1,S2)＝________.三、解答題13．(·廣東)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\r(\f(2,3))，且橢圓C上的點到點Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程．(2)在橢圓C上，是否存在點M(m，n)，使得直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．14．(·上海)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1.(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積．(2)設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ.(3)設橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

答案1．C2．D3．A4．A5．C6．B7．B8．D9.eq\f(16,3)10．相交11．6eq\r(3)12．(1)eq\f(\r(5)＋1,2)(2)eq\f(\r(5)＋2,2)13．解(1)∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(2,3)，∴a2＝3b2，∴橢圓方程為eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即x2＋3y2＝3b2.設橢圓上的點到點Q(0,2)的距離為d，則d＝eq\r(x－02＋y－22)＝eq\r(x2＋y－22)＝eq\r(3b2－3y2＋y－22)＝eq\r(－2y＋12＋3b2＋6)，∴當y＝－1時，d取得最大值，dmax＝eq\r(3b2＋6)＝3，解得b2＝1，∴a2＝3.∴橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)假設存在點M(m，n)滿足題意，則eq\f(m2,3)＋n2＝1，即m2＝3－3n2.設圓心到直線l的距離為d′，則d′<1，d′＝eq\f(|m·0＋n·0－1|,\r(m2＋n2))＝eq\f(1,\r(m2＋n2)).∴|AB|＝2eq\r(12－d′2)＝2eq\r(1－\f(1,m2＋n2)).∴S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|d′＝eq\f(1,2)·2eq\r(1－\f(1,m2＋n2))·eq\f(1,\r(m2＋n2))＝eq\r(\f(1,m2＋n2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m2＋n2)))).∵d′<1，∴m2＋n2>1，∴0<eq\f(1,m2＋n2)<1，∴1－eq\f(1,m2＋n2)>0.∴S△OAB＝eq\r(\f(1,m2＋n2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m2＋n2))))≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,m2＋n2)＋1－\f(1,m2＋n2),2)))2)＝eq\f(1,2)，當且僅當eq\f(1,m2＋n2)＝1－eq\f(1,m2＋n2)，即m2＋n2＝2>1時，S△OAB取得最大值eq\f(1,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n2＝2，,m2＝3－3n2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝\f(3,2)，,n2＝\f(1,2)，))∴存在點M滿足題意，M點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，－\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，－\f(\r(2),2)))，此時△OAB的面積為eq\f(1,2).14．(1)解雙曲線C1：eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1，左頂點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，漸近線方程：y＝±eq\r(2)x.不妨取過點A與漸近線y＝eq\r(2)x平行的直線方程為y＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),2)))，即y＝eq\r(2)x＋1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)x，,y＝\r(2)x＋1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),4)，,y＝\f(1,2).))所以所求三角形的面積為S＝eq\f(1,2)|OA||y|＝eq\f(\r(2),8).(2)證明設直線PQ的方程是y＝x＋b.因為直線PQ與已知圓相切，故eq\f(|b|,\r(2))＝1，即b2＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,2x2－y2＝1))得x2－2bx－b2－1＝0.設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2b，,x1x2＝－1－b2.))又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)證明當直線ON垂直于x軸時，|ON|＝1，|OM|＝eq\f(\r(2),2)，則O到直線MN的距離為eq\f(\r(3),3).當直線ON不垂直于x軸時，設直線ON的方程為y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(顯然|k|>\f(\r(2),2)))，則直線OM的方程為y＝－eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,4x2＋y2＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al