9.2.3

總體集中趨勢的估計

9.2.4

總體離散程度的估計一二三四一、眾數、中位數、平均數1.思考某次數學考試,婷婷得到78分.全班共30人,其他同學的成績為1個100分,4個90分,22個80分,以及1個2分和1個10分.(1)這30個分數的眾數是多少?(2)這30個分數的中位數是多少?(3)婷婷計算出平均分為77,她對媽媽說這次成績處在“中上水平”,你覺得婷婷說的對嗎?提示(1)80

(2)80(3)婷婷的說法不確切,由于受兩個極端分數影響導致平均數明顯下降,而婷婷的成績實際是倒數第三名.一二三四2.填空(1)眾數①定義:一組數據中出現次數最多的數據(即頻率分布最大值所對應的樣本數據)稱為這組數據的眾數.②特征:一組數據中的眾數可能不止一個,也可能沒有,反映了該組數據的集中趨勢.(2)中位數①定義:一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個數據(當數據個數是奇數時)或最中間兩個數據的平均數(當數據個數是偶數時)稱為這組數據的中位數.②特征:一組數據中的中位數是唯一的,反映了該組數據的集中趨勢.在頻率分布直方圖中,中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等.一二三四(3)平均數①定義:一組數據的和與這組數據的個數的商.數據x1,x2,…,xn的②特征:平均數對數據有“取齊”的作用,代表該組數據的平均水平,任何一個數據的改變都會引起平均數的變化,這是眾數和中位數都不具有的性質.所以與眾數、中位數比較起來,平均數可以反映出更多的關于樣本數據全體的信息,但平均數受數據中極端值的影響較大,使平均數在估計總體時的可靠性降低.一二三四名師歸納

三種數字特征的優缺點

一二三四3.做一做(1)10名工人某天生產同一零件,生產的件數是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設其平均數為a,中位數為b,眾數為c,則有(

)A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a答案:D解析:將數據從小到大排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,則平均數a=×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7,中位數b=15,眾數c=17,顯然a<b<c,選D.一二三四(2)有一組數據,其中10,12,13,15,16出現的頻率分別是0.15,0.2,0.3,0.2,0.15,則該組數據的平均數為

.

答案:13.2解析:該組數據的平均數為10×0.15+12×0.2+13×0.3+15×0.2+16×0.15=13.2.(3)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.①一組數據的眾數可以是1個或幾個,也可以沒有.(

)②一組數據的中位數可能不存在.(

)③樣本量越小,樣本平均數越接近總體平均數.(

)答案:①√

②×

③×一二三四二、探索圖表中的中位數與平均數數值規律1.思考(1)如何在樣本數據的頻率分布直方圖中估計出平均數的值?提示平均數是頻率分布直方圖的“重心”,是直方圖的平衡點,因此,每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標的乘積之和即為平均數的估計值.一二三四(2)如何在樣本數據的頻率分布直方圖中,估計出中位數的值?你能利用在上一節中調查的100位居民的月均用水量的頻率分布直方圖加以說明嗎?提示根據中位數的意義,在樣本中,有50%的個體小于或等于中位數,也有50%的個體大于或等于中位數.因此,在頻率分布直方圖中,中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552.因此中位數落在區間[4.2,7.2)內.設中位數為x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5,得到x≈6.71.因此,中位數約為6.71,如圖所示.這個結果與根據原始數據求得的中位數6.6相差不大.一二三四一二三四2.填空平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢,它們的大小關系和數據分布的形態有關.在下圖的三種分布形態中,平均數和中位數的大小存在什么關系?一般來說,對一個單峰的頻率分布直方圖來說,如果直方圖的形狀是對稱的(圖1),那么平均數和中位數應該大體上差不多;如果直方圖在右邊“拖尾”(圖2),那么平均數大于中位數;如果直方圖在左邊“拖尾”(圖3),那么平均數小于中位數.也就是說,和中位數相比,平均數總是在“長尾巴”那邊.一二三四3.做一做AQI是表示空氣質量的指數,AQI指數值越小,表明空氣質量越好,當AQI指數值不大于100時稱空氣質量為“優良”.如圖是某地4月1日到12日AQI指數值的統計數據,圖中點A表示4月1日的AQI指數值為201,則下列敘述不正確的是(

)A.這12天中有6天空氣質量為“優良”B.這12天中空氣質量最好的是4月9日C.這12天的AQI指數值的中位數是90D.從4日到9日,空氣質量越來越好一二三四答案:C解析:這12天中,空氣質量為“優良”的有95,85,77,67,72,92,共6天,故A正確;這12天中空氣質量最好的是4月9日,AQI指數值為67,故B正確;這12天的AQI指數值的中位數是

=99.5,故C不正確;從4日到9日,AQI指數值越來越小,表示空氣質量越來越好,故D正確.故選C.一二三四三、方差、標準差1.思考(1)平均數向我們提供了樣本數據的重要信息,但是,平均數有時也會使我們作出對總體的片面判斷,因為這個平均數掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數還難以概括樣本數據的實際狀態.如:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環數如下:甲:7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙:9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?一二三四如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環?他們的平均成績一樣嗎?一二三四②難道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:(甲)(乙)從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對集中.一二三四(2)現實中的總體所包含的個體數往往是很多的,總體的平均數與標準差是不知道的.如何求得總體的平均數和標準差呢?提示通常的做法是用樣本的平均數和標準差去估計總體的平均數與標準差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.一二三四一二三四一二三四歸納提升

對標準差和方差的理解(1)樣本標準差反映了各樣本數據聚集于樣本平均數周圍的程度,標準差越小,表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中;反之,標準差越大,表明各樣本數據在樣本平均數的周圍越分散.(2)若樣本數據都相等,則s=0.(3)當樣本的平均數相等或相差無幾時,就要用樣本數據的離散程度來估計總體的數字特征,而樣本數據的離散程度,就由標準差來衡量.(4)數據的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述.極差反映了一組數據變化的最大幅度,它對一組數據中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數據圍繞平均數波動的大小.為了得到以樣本數據的單位表示的波動幅度,通常用標準差——樣本方差的算術平方根來描述.一二三四(5)標準差的大小不會越過極差.(6)方差、標準差、極差的取值范圍為[0,+∞).當標準差、方差為0時,樣本各數據全相等,表明數據沒有波動幅度,數據沒有離散性.(7)因為方差與原始數據的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標準差在刻畫樣本數據的分散程度上是一樣的,但在解決實際問題時,一般采用標準差.(8)在實際問題中,總體平均數和總體標準差都是未知的.就像用樣本平均數估計總體平均數一樣,通常我們也用樣本標準差去估計總體標準差.在隨機抽樣中,樣本標準差依賴于樣本的選取,具有隨機性.一二三四3.做一做(1)對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:甲:27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根據以上數據,試判斷他們誰更優秀.一二三四一二三四(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.①標準差、方差越大,數據的離散程度越大;標準差、方差越小,數據的離散程度越小.(

)②若兩組數據的方差一樣大,則說明這兩組數據都是相同的.(

)答案:①√

②×一二三四四、有關平均數、方差的重要結論1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示由方差的定義知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均數是,則mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數是

.(2)數據x1,x2,…,xn與數據x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.一二三四3.做一做已知樣本數據x1,x2,…,xn的平均數

=5,s2=2,則樣本數據2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數為

,方差為

.

答案:11

8解析:因為樣本數據x1,x2,…,xn的平均數

=5,所以樣本數據2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數為2+1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=8.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練眾數、中位數、平均數的應用例1某公司的33名人員的月工資如下:(1)求該公司人員月工資的平均數、中位數、眾數(精確到元);(2)假設副董事長的工資從20000元提升到30000元;董事長的工資從30000元提升到50000元,那么新的平均數、中位數、眾數又是什么?(精確到元)(3)你認為哪個統計量更能反映這個公司人員的工資水平?結合此問題談一談你的看法.分析平均數定義→計算平均數→將數據從小到大排列→得中位數、眾數→結論探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)平均數是

=(30

000+20

000+15

000×2+10

000+8

000×5+6

000×3+4

500×20)÷33≈7

212(元),中位數是4

500元,眾數是4

500元.(2)平均數是

'=(50

000+30

000+15

000×2+10

000+8

000×5+6

000×3+4

500×20)÷33≈8

121(元),中位數是4

500元,眾數是4

500元.(3)在這個問題中,中位數和眾數均能反映該公司人員的工資水平.因為公司中少數人的工資額與大多數人的工資額差別較大,這樣導致平均數偏差較大,所以平均數不能反映這個公司人員的工資水平.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

1.深刻理解和把握平均數、中位數、眾數在反映樣本數據上的特點,并結合實際情況,靈活應用.2.如果樣本平均數大于樣本中位數,說明數據中存在許多較大的極端值;反之,說明數據中存在許多較小的極端值.在實際應用中,如果同時知道樣本中位數和樣本平均數,可以使我們了解樣本數據中極端數據的信息,幫助我們作出決策.3.平均數對極端值敏感,而中位數對極端值不敏感.因此兩者結合,可較好地分析總體的情況.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練1從某中學高三年級甲、乙兩個班各選出7名學生參加數學競賽,他們取得的成績(滿足100分)如下:甲:79

78

80

x

85

92

96乙:72

81

81

y

91

91

96其中甲班學生成績的平均分和乙班學生成績的中位數都是85,則x+y的值為(

)A.152 B.168 C.190 D.170答案:D解析:由數據知,乙班成績的中位數是y=85.又甲班學生成績的平均分為85,即79+78+80+x+85+92+96=85×7,解得x=85,∴x+y=170.故選D.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練平均數與方差的性質與應用(2)甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件,為檢驗質量,各從中抽取6件測量,數據為:甲:99

100

98

100

100

103乙:99

100

102

99

100

100①分別計算兩組數據的平均數及方差;②根據計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩定.分析求平均數→求方差s2探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練

反思感悟

在實際問題中,僅靠平均數不能完全反映問題,還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標準差):方差大說明取值分散性大,數值不穩定;方差小說明取值分散性小,數值集中、穩定.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練2一組數據的平均數是2.8,標準差是3.6,若將這組數據中的每一個數據都加上60,得到一組新數據,則所得新數據的平均數和標準差分別為(

)A.57.2

3.6 B.57.2

56.4C.62.8

63.6 D.62.8

3.6答案:D解析:一組數據中的每一個數據都加上60后,新數據的平均數也增加60,即為2.8+60=62.8,而標準差保持不變,仍為3.6.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練頻率分布直方圖(頻率分布折線圖)中的“隱藏”的數據信息例3如圖為學生身高頻率分布直方圖.(1)如何在樣本數據的頻率分布直方圖中估計出眾數的值?(2)如何在樣本數據的頻率分布直方圖中估計出中位數的值?(3)如何在樣本數據的頻率分布直方圖中估計出平均數的值?(4)從樣本數據可知,該樣本的眾數是166cm,172cm,中位數是171cm,平均數是170.1cm,這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結論有偏差,你能解釋一下原因嗎?探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:(1)眾數大致的值就是樣本數據的頻率分布直方圖中最高小長方形的中點的橫坐標.由直方圖可估計學生身高眾數應為174.5

cm.(2)在樣本中,有50%的個體小于或等于中位數,也有50%的個體大于或等于中位數,因此,在頻率分布直方圖中,中位數使得在它左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計中位數的值,如圖,由于0.08+0.22=0.3,0.08+0.22+0.22=0.52,所以中位數落在區間[167,172)內.設中位數是x,由0.08+0.22+(x-167)×=0.5,解得x≈171.55.所以學生身高的中位數約為171.55

cm.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”,是頻率分布直方圖的平衡點,因此,每個小長方形的面積與小長方形底邊中點的橫坐標的乘積之和為平均數.由159.5×0.08+164.5×0.22+169.5×0.22+174.5×0.36+179.5×0.12=170.6,得學生身高的平均數為170.6

cm.(4)因為樣本數據頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的形狀,從直方圖本身得不出原始的數據內容,也就是說頻率分布直方圖損失了一些樣本數據的信息,得到的是一個估計值,且所得估計值與數據分組有關,所以估計的值有一定的偏差.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟

1.利用直方圖或折線圖求得的眾數、中位數、平均數均為近似值,往往與實際數據得出的不一致.但它們能粗略估計其眾數、中位數和平均數.2.利用頻率分布直方圖求數字特征:(1)眾數是最高小長方形的底邊中點的橫坐標;(2)中位數使得在它左、右兩側直方圖的面積相等;(3)平均數等于每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練3甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次,每次射靶的成績情況如圖所示.請從下列四個不同的角度對這次測試結果進行分析.(1)從平均數和方差相結合看(分析誰的成績好些);(2)從平均數和中位數相結合看(分析誰的成績好些);(3)從平均數和命中9環及9環以上的次數相結合看(分析誰的成績好些);(4)從折線圖上兩人射擊命中環數的走勢看(分析誰更有潛力).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:根據各問情況作如下統計表.∴甲的成績比乙好.(2)∵平均數相同,甲的中位數<乙的中位數,∴乙的成績比甲好.(3)∵平均數相同,且乙命中9環及9環以上次數比甲多,∴乙的成績比甲好.(4)∵甲的成績在平均線上下波動;而乙處于上升趨勢,從第四次以后就沒有比甲少的情況發生,∴乙更有潛力.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.找齊法在計算平均數時,如果這些數字都在某個數字左右擺動,就選取一個數字作為標準進行找齊.典例1計算數據87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的平均數和方差.分析這組數據都在85左右擺動,把每個數字都減去85后進行計算.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練典例2計算數據54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根據簡化公式進行計算,也可以把每個數據減去一個數,用找齊法計算.歸納提升方差反映的是數據組偏離平均值的程度,因此把數據組中的每一個數據都加上或者都減去一個相同的數不影響方差的大小,當我們計算的數據較大時,這個方法能有效地簡化運算.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.一組樣本數據按從小到大的順序排列為13,14,19,x,23,27,28,31,其中位數為22,則x等于(

)A.21 B.22 C.20 D.23答案:A解析:根據題意知,中位數22=