第三章導數的應用

因為導數是函數隨自變量變化的瞬時變

所以可借助導數來研究函數.

但每一點的導數僅僅是與局部有關的一點的變化性態,要用導數來研究函數的全部性態,還需架起新的“橋梁”.化率,1羅爾定理拉格朗日中值定理小結思考題柯西中值定理第一節微分中值定理第三章微分中值定理與導數的應用2

本節的幾個定理都來源于下面的明顯的在一條光滑的平面曲線段AB上,⌒至少有與連接此曲線兩端點的弦平行.幾何事實:微分中值定理一點處的切線

連續的曲線弧、除端點外處處有不垂直于x軸的切線.有水平的切線3羅爾定理(1)(2)(3)羅爾Rolle,(法)1652-1719使得如,微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理4(1)定理條件不全具備,注微分中值定理結論不一定成立.羅爾定理(1)(2)(3)使得(2)

定理條件只是充分的.5幾何意義如果連續曲線除端點外處處有不垂直于x軸的切線.且兩端點的縱坐標相等,則這曲線上至少存在點C,使得曲線在C點處的切線水平.由圖形可知,在曲線的最高點或最低點處切線水平.有水平的切線微分中值定理6例1證明:內只有一個根.例2不用求函數的導數,說明方程有幾個實根.微分中值定理7注意:證明方程的根的存在性方法:(1)利用閉區間上零點的存在性定理;(2)歸結為考慮函數利用Rolle定理來證明.關鍵是找輔助函數微分中值定理8例3設證明:微分中值定理提示:9證明幾種特殊方程有根時,考慮的輔助函數:微分中值定理10例4試證方程微分中值定理提示:11證設且

羅爾定理即試證方程微分中值定理12注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813

拉格朗日中值定理(1)(2)使得微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理13幾何解釋:分析定理的結論就轉化為函數化為羅爾定理.微分中值定理在該點處的切線平行于弦利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數.14證作輔助函數由此得拉格朗日中值公式且易知微分中值定理微分中值定理15注意:1.特別即Lagrange定理是Rolle定理的推廣.時,Lagrange中值公式為2.作輔助函數的方法不是唯一的.思考:Lagrange中值定理證明中還可以如何作輔助函數?3.定理中的條件只是充分條件,而非必要條件.微分中值定理16例5驗證Lagrange中值定理對于函數上的正確性.微分中值定理17Lagrange公式可以寫成下面的各種形式:

它表達了函數增量和某點的注但是增量、這是十分方便的.由(3)式看出,導數之間的直接關系.微分中值定理導數是個等式關系.拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.有限增量定理.18它表明了函數在兩點處的函數值的單調性及某些等式與不等式的證明.在微分學中占有極重要的地位.與導數間的關系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數微分中值定理19例6證

如果f(x)在某區間上可導,要分析函數在該區間上任意兩點的函數值有何關系,通常就想到微分中值定理.記利用微分中值定理,得微分中值定理20例7證明下列不等式微分中值定理21推論1證有由條件,即在區間I中任意兩點的函數值都相等,所以,微分中值定理(1)(2)22推論2(1)(2)注意:將推論1,推論2中的區間換成其它各種區間(但不能是區間的并),結論仍成立.微分中值定理23例8證明:微分中值定理24例9設證明:微分中值定理提示:25柯西Cauchy(法)1789-1859柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理廣義微分中值定理26這兩個錯!柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理柯西定理的下述證法對嗎?討論不一定相同27

前面對拉格朗日中值定理的證明,構造了

現在對兩個給定的函數

f(x)、F(x),構造即可證明柯西定理.輔助函數輔助函數微分中值定理

分析上式寫成

用類比法28柯西定理的幾何意義注意弦的斜率柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理切線斜率29例10證分析結論可變形為即微分中值定理滿足柯西中值定理條件,301證明:練習微分中值定理31羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之間的關系:推廣推廣

這三個定理的條件都是充分條件,換句話說,滿足條件,不滿足條件,定理可能成立,不是必要條件.而成立;不成立.微分中值定理定理也可能32應用三個中值定理常解決下列問題(1)驗證定理的正確性;(2)證明方程根的存在性;(3)引入輔助函數證明等式;(4)證明不等式;(5)綜合運用中值定理(幾次運用).微分中值定理

關鍵逆向思維,找輔助函數33四、小結微分中值定理

常利用逆向思維,構造輔助函數注意利用拉格朗日中值定理證明不等式的步驟.三個微分中值定理成立的條件;各微分中值定理的關系;

證明存在某點,使得函數在該點的導數滿足一個方程.運用羅爾定理.

拉格朗日中值定理的各種形式,其關系;341.

設且在內可導,證明至少存在一點