安徽省滁州市英華2025屆高二數學第一學期期末調研模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若a，b，c為實數，且，則以下不等式成立的是（）A. B.C. D.2．年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正負抵消，實現二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個碳原子和兩個氧原子構成的，其結構式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有（）A.種 B.種C.種 D.種3．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A B.C. D.64．已知函數，其中e是自然數對數的底數，若，則實數a的取值范圍是A. B.C. D.5．已知橢圓的焦點分別為，，橢圓上一點P與焦點的距離等于6，則的面積為（）A.24 B.36C.48 D.606．《九章算數》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積為3升，下面3節的容積共4升，則第五節的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升7．如圖，在空間四邊形中，（）A. B.C. D.8．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.9．《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節氣，其日影長依次成等差數列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺10．若函數在定義域上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.11．函數，若實數是函數的零點，且，則（）A. B.C. D.無法確定12．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關于曲線，給出下列三個結論：①曲線關于原點對稱，但不關于軸、軸對稱；②曲線恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；③曲線上任意一點到原點的距離都不大于.其中，正確結論的序號是________.14．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標準方程為________15．設，分別是橢圓C：的左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________16．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直線l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，則5a+b＝__三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前項和，且（1）證明：數列為等差數列；（2）設，記數列的前項和為，若，對任意恒成立，求實數的取值范圍18．（12分）如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F分別是AB，AC，BC的中點，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.19．（12分）如圖，正方體的棱長為，分別是的中點，點在棱上，（）.（Ⅰ）三棱錐的體積分別為，當為何值時，最大？最大值為多少？（Ⅱ）若平面，證明：平面平面.20．（12分）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優惠政策，不超過12站的地鐵票價如下表：乘坐站數票價（元）246現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.（1）若甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？（2）若甲、乙兩人共付費8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？21．（12分）已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業占有，其中甲廠產品的市場占有率為40％，乙廠產品的市場占有率為36％，丙廠產品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產品的合格率分別為，，（1）現從三家企業的產品中各取一件抽檢，求這三件產品中恰有兩件合格的概率；（2）現從市場中隨機購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？22．（10分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長為的正方形，點在棱上.（1）求證：；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作已知，使得平面，并給出證明.條件①：為的中點；條件②：平面；條件③：.（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用不等式的性質直接推導和取值驗證相結合可解.【詳解】取可排除ABD；由不等式的性質易得C正確.故選：C2、C【解析】分兩種情況討論：兩個氧原子相同、兩個氧原子不同，分別計算出兩種情況下二氧化碳分子的個數，利用分類加法計數原理可得結果.【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個氧原子相同，此時二氧化碳分子共有種；若兩個氧原子不同，此時二氧化碳分子共有種.由分類加法計數原理可知，由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有種.故選：C.3、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.4、B【解析】利用函數的奇偶性將函數轉化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調性脫去對應法則f，轉化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數f（x）為奇函數故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數f（x）單調遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點睛】本題考查了函數的奇偶性和單調性的判定及應用，考查了不等式的解法，屬于中檔題5、A【解析】由題意可得出與、、的值，在根據橢圓定義得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面積.【詳解】由題意知，.根據橢圓定義可知，是直角三角形，.故選：A.6、B【解析】設出竹子自上而下各節的容積且為等差數列，根據上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升列出關于首項和公差的方程，聯立即可求出首項和公差，根據求出的首項和公差，利用等差數列的通項公式即可求出第5節的容積【詳解】解：設竹子自上而下各節的容積分別為：，，，，且為等差數列，根據題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點睛】本題考查學生掌握等差數列的性質，靈活運用等差數列的通項公式化簡求值，屬于中檔題7、A【解析】利用空間向量加減法法則直接運算即可.【詳解】根據向量的加法、減法法則得.故選：A.8、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因為，所以所以，所以，所以.故選：D9、B【解析】設影長依次成等差數列，公差為，根據題意結合等差數列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設影長依次成等差數列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.10、D【解析】函數在定義域上單調遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范圍即可.【詳解】函數的定義域為，，在定義域上單調遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分離參數得，所以，即.【點睛】方法點睛：已知函數的單調性求參數的取值范圍的通解：若在區間上單調遞增，則在區間上恒成立；若在區間上單調遞減，則在區間上恒成立；然后再利用分離參數求得參數的取值范圍即可.11、A【解析】利用函數在遞減求解.【詳解】因為函數在遞減，又實數是函數的零點，即，又因為，所以，故選：A12、D【解析】由空間向量的坐標運算和空間向量平行的坐標表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③【解析】設為曲線上任意一點，判斷、、是否滿足曲線方程即可判斷①；求出曲線過的整點即可判斷②；由條件利用即可得，即可判斷③；即可得解.【詳解】設為曲線上任意一點，則，設點關于原點、軸、軸的對稱點分別為、、，因為；；；所以點在曲線上，點、點不在曲線上，所以曲線關于原點對稱，但不關于軸、軸對稱，故①正確；當時，；當，.此外，當時，；當時，.故曲線過整點，，，，，，故②錯誤；又，所以恒成立，由可得，當且僅當時等號成立，所以，所以曲線上任一點到原點的距離，故③正確.故答案為：①③.【點睛】本題考查了與曲線方程有關的命題真假判斷，屬于中檔題.14、【解析】根據題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設因為與軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標準方程為故答案為：【點睛】判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數法．兩圓相切注意討論內切外切兩種情況.15、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：16、36【解析】根據方向向量和平面法向量的定義即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，進而求出5a+b的值【詳解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案為：36三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用可得答案；（2）利用錯位相減可得，轉化為對任意，恒成立，求出的最大值可得答案小問1詳解】當時，由，得或（舍去），由，得，①當時，，②由①－②，得，整理得，因為，所以所以是首項為1，公差為1的等差數列【小問2詳解】由（1）可得，所以，③，④由③－④，得，即，由得，所以，即，該式對任意恒成立，因此，所以的取值范圍是18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)由結合線面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點M，連接，FM，證明平面平面，再建立空間直角坐標系，借助空間向量推理、計算作答.【小問1詳解】在中，因為E，F分別是AC，BC的中點，所以，則圖2中，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點M，連接，FM，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，則平面，又平面，從而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，過點N作，則兩兩垂直，以點N為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，顯然有，即，所以平面與平面的夾角為.【點睛】方法點睛：利用向量法求二面角：(1)找法向量，分別求出兩個半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結合圖形得到二面角的大小；(2)找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個半平面內找到與交線垂直且以垂足為起點的直線的方向向量，則這兩個向量的夾角就是二面角的平面角19、（Ⅰ）,.（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由題可知，，由和，結合基本不等式可求最值；（Ⅱ）連接交于點，則為的中點，可得為中點，易證得，得平面，所以，進而可證得，，所以平面EFM,因為平面，從而得證.【詳解】（Ⅰ）由題可知，，.所以（當且僅當，即時等號成立）所以當時，最大，最大值為.（Ⅱ）連接交于點，則為的中點，因為平面，平面平面，所以，所以為中點.連接，因為為中點，所以，因為，所以.因為平面，平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以.同理，因為，所以平面EFM,因為平面，所以平面平面B1D1M.20、（1）24（種）（2）21（種）【解析】（1）先根據共付費6元得一人付費2元一人付費4元，再確定人與乘坐站數，即可得結果；（2）先根據共付費8元得一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元，再求甲比乙先下地鐵的方案數.【小問1詳解】由已知可得：甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙一人付費2元一人付費4元，又付費2元的乘坐站數有1，2，3三種選擇，付費4元的乘坐站數有4，5，6，7四種選，所以甲、乙下地鐵的方案共有（3×4）×2=24（種）.【小問2詳解】甲、乙兩人共付費8元，則甲、乙一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元；當甲付費2元，乙付費6元時，甲乘坐站數有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數有8，9，10，11，12五種選擇，此時，共有35=15（種）方案；當兩人都付費4元時，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有（種）.21、（1）（2）【解析】（1）由相互獨立事件的概率可得；（2）根據各產品的市場占有率和合格率，由條件概率公式計算可得.【小問1詳解】記隨機抽取甲乙丙三家企業的一件產品，產品合格分別為事件，，，則三個事件相互獨立，恰有兩件產品合格為