上海市交通大學附屬中學2025屆數學高一上期末聯考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知為銳角，為鈍角，，則（）A. B.C. D.2．(南昌高三文科數學(模擬一)第9題)我國古代數學名著《九章算術》中有如下問題：今有甲乙丙三人持錢，甲語乙丙：各將公等所持錢，半以益我，錢成九十（意思是把你們兩個手上的錢各分我一半，我手上就有錢）；乙復語甲丙,各將公等所持錢，半以益我，錢成七十；丙復語甲乙：各將公等所持錢，半以益我，錢成五十六，則乙手上有錢．A. B.C. D.3．已知函數函數有四個不同的零點，，，，且，則（）A.1 B.2C.-1 D.4．已知，，則（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°6．若函數是定義在上的偶函數，在上單調遞減，且，則使得的的取值范圍是（）A. B.C. D.7．若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.8．已知集合，，若，則A. B.C. D.9．不等式的解集為（）A.{x|1＜x＜4} B.{x|﹣1＜x＜4}C.{x|﹣4＜x＜1} D.{x|﹣1＜x＜3}10．已知函數f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值為8，則實數a的取值屬于以下哪個范圍()A.(5，6) B.(7，8)C.(8，9) D.(9，10)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設當時，函數取得最大值，則__________.12．已知圓柱的底面半徑為，高為2，若該圓柱的兩個底面的圓周都在一個球面上，則這個球的表面積為______13．函數的最小值為______.14．函數y=1-sin2x-2sinx的值域是______15．函數的定義域為________.16．若，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．我們知道，指數函數（，且）與對數函數（，且）互為反函數.已知函數，其反函數為.（1）求函數，的最小值；（2）對于函數，若定義域內存在實數，滿足，則稱為“L函數”.已知函數為其定義域上的“L函數”，求實數的取值范圍.18．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為k），這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為，三月底測得鳳眼的覆蓋面積為，鳳眼蓮的覆蓋面積y（單位：）與月份x（單位：月）的關系有兩個函數模型與可供選擇（1）試判斷哪個函數模型更合適并說明理由，求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份．（參考數據：）19．已知二次函數滿足，且的最小值是求的解析式；若關于x的方程在區間上有唯一實數根，求實數m的取值范圍；函數，對任意，都有恒成立，求實數t的取值范圍20．如圖，在平面直角坐標系中，點為單位圓與軸正半軸的交點，點為單位圓上的一點，且，點沿單位圓按逆時針方向旋轉角后到點.（1）當時，求的值；（2）設，求的取值范圍.21．定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界，已知函數（Ⅰ）若是奇函數，求的值（Ⅱ）當時，求函數在上的值域，判斷函數在上是否為有界函數，并說明理由（Ⅲ）若函數在上是以為上界的函數，求實數的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】利用平方關系和兩角和的余弦展開式計算可得答案.【詳解】因為為銳角，為鈍角，，所以，，則.故選：C.2、B【解析】詳解】設甲乙丙各有錢，則有解得，選B.3、D【解析】將問題轉化為兩個函數圖象的交點問題，然后結合圖象即可解答.【詳解】有四個不同的零點，，，，即方程有四個不同的解的圖象如圖所示，由二次函數的對稱性，可得．因為，所以，故故選：D4、C【解析】詳解】分析：求解出集合，得到，即可得到答案詳解：由題意集合，，則，所以，故選C點睛：本題考查了集合的混合運算，其中正確求解集合是解答的關鍵，著重考查了學生的推理與運算能力5、C【解析】設直線的傾斜角為，得到，即可求解，得到答案.【詳解】設直線的傾斜角為，又由直線，可得直線的斜率為，所以，又由，解得，即直線的傾斜角為，故選：C【點睛】本題主要考查了直線的斜率與傾斜角的關系，以及直線方程的應用，其中解答中熟記直線的斜率和直線的傾斜角的關系是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、C【解析】先求解出時的解集，再根據偶函數圖像關于軸對稱，寫出時的解集，即得整個函數的解集.【詳解】由于函數是偶函數，所以，由題意，當時，，則；又因為函數是偶函數，圖象關于軸對稱，所以當時，，則，所以的解集為.故選：C.7、A【解析】根據指數函數和對數函數的單調性進行判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，，，∴.故選：A8、A【解析】利用兩個集合的交集所包含的元素，求得的值，進而求得.【詳解】由于，故，所以，故，故選A.【點睛】本小題主要考查兩個集合交集元素的特征，考查兩個集合的并集的概念，屬于基礎題.9、B【解析】把不等式化為，求出解集即可【詳解】解：不等式可化為，即，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集為{x|﹣1＜x＜4}故選：B【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，是基礎題10、A【解析】根復合函數的單調性，得到函數f(x)的單調性，求解函數的最小值f(x)min＝8，構造新函數g(a)＝a＋log2a－8，利用零點的存在定理，即可求解.【詳解】由題意，根復合函數的單調性，可得函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數，在(－∞，0)上遞減，所以函數f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8，令g(a)＝a＋log2a－8，a>0，則g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函數，所以實數a所在的區間為(5，6)【點睛】本題主要考查了函數的單調性的應用，以及零點的存在定理的應用，其中解答中根據復合函數的單調性，求得函數的最小值，構造新函數，利用零點的存在定理求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用輔助角公式化簡函數解析式，再根據最值情況可得解.【詳解】由輔助角公式可知，，，，當，時取最大值，即，，故答案為.12、【解析】直接利用圓柱的底面直徑，高、球體的直徑構成直角三角形其中為斜邊，利用勾股定理求出的值，然后利用球體的表面積公式可得出答案【詳解】設球的半徑為，由圓柱的性質可得，圓柱的底面直徑，高、球體的直徑構成直角三角形其中為斜邊，因為圓柱的底面半徑為，高為2，所以，，因此，這個球的表面積為，故答案為【點睛】本題主要圓柱的幾何性質，考查球體表面積的計算，意在考查空間想象能力以及對基礎知識的理解與應用，屬于中等題13、【解析】先根據二倍角余弦公式將函數轉化為二次函數，再根據二次函數性質求最值.【詳解】所以令，則因此當時，取最小值，故答案為：【點睛】本題考查二倍角余弦公式以及二次函數最值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、[-2，2]【解析】利用正弦函數的值域，二次函數的性質，求得函數f（x）的值域，屬于基礎題【詳解】∵sinx∈[-1，1]，∴函數y=1-sin2x-2sinx=-（sinx+1）2+2，故當sinx=1時，函數f（x）取得最小值為-4+2=-2，當sinx=-1時，函數f（x）取得最大值為2，故函數的值域為[-2，2]，故答案為[-2，2]【點睛】本題主要考查正弦函數的值域，二次函數的性質，屬于基礎題15、【解析】根據開偶次方被開方數非負數，結合對數函數的定義域得到不等式組，解出即可.【詳解】函數定義域滿足：解得所以函數的定義域為故答案為：【點睛】本題考查了求函數的定義域問題，考查對數函數的性質，屬于基礎題．16、【解析】根據指對互化，指數冪的運算性質，以及指數函數的單調性即可解出【詳解】由得，即，解得故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【解析】（1）利用換元法令，可得所求為關于p的二次函數，根據二次函數的性質，分析討論，即可得答案.（2）根據題意，分別討論在、和上存在實數，滿足題意，根據所給方程，代入計算，結合函數單調性，分析即可得答案.【小問1詳解】由題意得所以，，令，設則為開口向上，對稱軸為的拋物線，當時，在上為單調遞增函數，所以的最小值為；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為；當時，在上為單調遞減函數，所以的最小值為；綜上，當時，的最小值為，當時，的最小值為，當時，的最小值為【小問2詳解】①設在上存在，滿足，則，令，則，當且僅當時取等號，又，所以，即，所以，所以所以②設存在，滿足，則，即有解，因為在上單調遞減，所以，同理當在存在，滿足時，解得，所以實數的取值范圍【點睛】解題的關鍵是理解新定義，并根據所給定義，代入計算，結合函數單調性及函數存在性思想，進行求解，屬難題18、（1）理由見解析，函數模型為；（2）六月份.【解析】（1）由鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故選符合要求，根據數據時，時代入即可得解；（2）首先求時，可得元旦放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，解不等式即可得解.【詳解】（1）兩個函數與在上都是增函數，隨著的增加，指數型函數的值增加速度越來越快，而函數的值增加越來越慢，由鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故選符合要求；由時，由時，可得，解得，故該函數模型的解析式為；（2）當時，，元放入鳳眼蓮的覆蓋面積是，由，得所以，由，所以.所以鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是六月份.19、（1）(2)（3）【解析】（1）因，故對稱軸為，故可設，再由得.（2）有唯一實數根可以轉化為與有唯一的交點去考慮.（3），任意都有不等式成立等價于，分、、和四種情形討論即可.解析：（1）因，對稱軸為，設，由得，所以.（2）由方程得，即直線與函數的圖象有且只有一個交點，作出函數在的圖象.易得當或時函數圖象與直線只有一個交點，所以的取值范圍是.（3）由題意知.假設存在實數滿足條件，對任意都有成立，即，故有，由.當時，在上為增函數，，所以；當時，，.即，解得，所以.當時，即解得.所以.當時，，即，所以，綜上所述，，所以當時，使得對任意都有成立.點睛：（1）求二次函數的解析式，一般用待定系數法，有時也需要根據題設的特點合理假設二次函數的形式（如雙根式、頂點式、一般式）；（2）不等式對任意的恒成立可以等價轉化為恒成立.20、（1）（2）【解析】（1）根據三角函數的定義結合二倍角的正弦公式、誘導公式化簡可得的值；（2）利用輔助角公式可得，結合角的取值范圍可求得的取值范圍.【小問1詳解】解：由