第頁第01講變量與函數【題型1：變量與常量】【題型2：函數定義】【題型3：函數的關系式】【題型4：函數自變量取值范圍】【題型5：函數值】【題型6：函數的圖像】【題型7：動點問題的函數圖像】知識點1：變量與常量定義：在一個變化過程中，我們稱數值發生改變的量為變量，數值始終不變的量為常量．一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數．如果當x=a時，y=b，b那么a叫做當自變量x的值為a時的函數值．【題型1：變量與常量】【典例1】（2022秋?武義縣期末）筆記本每本a元，買3本筆記本共支出y元，下列選項判斷正確的有（）A．a是常量時，y是變量 B．a是變量時，y是常量 C．a是變量時，y也是變量 D．無論a是常量還是變量，y都是變量【變式1-1】（2023?南海區校級模擬）球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量和常量分別是（）A．變量是V，R；常量是，π B．變量是R，π；常量是 C．變量是V，R，π；常量是 D．變量是V，R3；常量是π【變式1-2】（2023?惠來縣模擬）某人要在規定的時間內加工100個零件，如果用n表示工作效率，用t表示規定的時間，下列說法正確的是（）A．數100和n，t都是常量 B．數100和n都是變量 C．n和t都是變量 D．數100和t都是變量【變式1-3】（2022春?清鎮市校級期中）樹的高度h隨時間t的變化而變化，下列說法正確的是（）A．h，t都是常量 B．t是自變量，h是因變量 C．h，t都是自變量 D．h是自變量，t是因變量知識點3：函數定義像這樣，用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法，這種式子叫做函數的解析式【題型2：函數定義】【典例2】（2023春?淮陽區月考）下列曲線中不能表示y是x的函數的是（）A． B． C． D．【變式2-1】（2023春?原陽縣月考）下列等式中，y不是x的函數的是（）A．3x﹣2y＝0 B．x2﹣y2＝1 C． D．y＝|x|【變式2-2】（2023春?偃師市校級月考）下列圖形中，表示y是x的函數的是（）A．B．C．D．【變式2-3】（2022秋?余姚市校級期末）如圖圖象中，表示y是x的函數的個數有（）A．1 B．2個 C．3個 D．4個【題型3：函數的關系式】【典例3】（2022秋?晉中期末）如圖是一支溫度計的示意圖，圖中左邊是用攝氏溫度表示的溫度值，右邊是用華氏溫度表示的溫度值，下表是這兩個溫度值之間的部分對應關系：攝氏溫度值x/℃01020304050華氏溫度值y/℉32506886104122根據以上信息，可以得到y與x之間的關系式為（）A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D．【變式3-1】（2022秋?肇源縣期末）一個長方形的周長為30cm，長為xcm，寬為ycm，則用x表示y的關系式為（）A．y＝30﹣x B．y＝ C．x＝15﹣y D．y＝15﹣x【變式3-2】（2022秋?沈河區期末）小明一家自駕車到離家500km的某景點旅游，出發前將油箱加滿油．下表記錄了行駛路程x（km）與油箱余油量y（L）之間的部分數據：行駛路程x（km）050100150200…油箱余油量y（L）4541373329…下列說法不正確的是（）A．該車的油箱容量為45L B．該車每行駛100km耗油8L C．油箱余油量y（L）與行駛路程x（km）之間的關系式為y＝45﹣8x D．當小明一家到達景點時，油箱中剩余5L油知識點3：自變量取值范圍和函數值初中階段，在一般的函數關系中自變量的取值范圍主要考慮以下四種情況：函數關系式為整式形式：自變量取值范圍為任意實數；函數關系式為分式形式：分母0函數關系式含算術平方根：被開方數0；（4）函數關系式含0指數：底數0。【題型4：函數自變量取值范圍】【典例4】（2023春?鹿城區校級月考）在函數中，自變量x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞0【變式4-1】（2022秋?桂平市期末）函數y＝，自變量x的取值范圍是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x取任意實數 D．x≠0的一切實數【變式4-2】（2023?惠山區校級模擬）函數中，自變量x的取值范圍是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2【變式4-3】（2022秋?貴池區期末）函數中，自變量x的取值范圍是（）A． B．x≠﹣3 C．且x≠﹣3 D．且x≠﹣3【題型5：函數值】【典例5】（2022秋?沙坪壩區校級期末）根據如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入x的值為1，則輸出y的值為2；若輸入x的值為﹣2，則輸出y的值為（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8【變式5-1】（2023?奉賢區一模）已知，那么f（﹣1）的值是．【變式5-2】（2022秋?隆回縣期末）如圖，若輸入x的值為﹣5，則輸出的結果為（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【變式5-3】（2023?灞橋區校級自主招生）f（x）＝，求f（﹣1）＝．知識點4：函數的圖像對于在某一變化過程中的兩個變量，把自變量x與因變量y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內描出這些點，這些點所組成的圖形就是它們的圖象（這個圖象就叫做平面直角坐標系）。它是我們所表示兩個變量之間關系的另一種方法，它的顯著特點是非常直觀。不足之處是所畫的圖象是近似的、局部的，通過觀察或由圖象所確定的因變量的值往往是不準確的。理解圖像：a.認真理解圖象的含義，注意選擇一個能反映題意的圖象；b.從橫軸和縱軸的實際意義理解圖象上特殊點的含義（坐標），特別是圖像的起點、拐點、交點【題型6：函數的圖像】【典例6】（2022秋?海淀區校級期末）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上．小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家．小明離家的距離與時間之間的對應關系如圖所示．根據如圖回答下列問題：（1）食堂離小明家多遠？小明從家到食堂用了多少時間？（2）小明吃早餐用了多少時間？在圖書館停留了多少時間？（3）圖書館離小明家多遠？小明從圖書館回家的平均速度是多少？【變式6-1】（2023春?沙坪壩區校級月考）周末，小陳出去購物；如圖是他離家的距離y（千米）與時間x（分鐘）的關系圖象，根據圖示信息：下列說法正確的是（）A．小陳去時的速度為6千米/小時 B．小陳在超市停留了15分鐘 C．小陳去時花的時間少于回家所花的時間 D．小陳去時走下坡路，回家時走上坡路【變式6-2】（2022秋?肇源縣期末）某天小明騎自行車上學，途中因自行車發生故障，修車耽誤了一段時間后繼續騎行，按時趕到了學校．如圖所示是小明從家到學校這一過程中所走的路程s（米）與時間t（分）之間的關系．（1）小明從家到學校的路程共米，從家出發到學校，小明共用了分鐘；（2）小明修車用了多長時間？（3）小明修車以前和修車后的平均速度分別是多少？【變式6-3】（2022春?織金縣期中）如圖是某汽車從A地去B地（行駛過程中，速度相同），再返回行駛過程中路程與時間的關系，回答下列問題：（1）A地與B地之間的距離是千米；汽車中途共休息了小時；（2）在前3小時汽車的行駛速度是多少？汽車在返回時的平均速度是多少？【題型7：動點問題的函數圖像】【典例7】（2022春?牡丹區校級期中）如圖，在長方形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC，CD，DA運動到點A停止，設點P運動路程為x，△ABP的面積為y，如果y關于x的函數圖象如圖所示，則長方形ABCD的周長是（）A．24 B．18 C．20 D．40【變式7-1】（2022春?朝陽區校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊上一動點，運動路線是A→D→C→B→A，設P點經過的路程為x，以點A、P、D為頂點的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數關系的是（）A． B． C． D．【變式7-2】（2022春?東營區校級月考）如圖1，點P從△ABC的頂點A出發，沿A→B→C勻速運動到點C，圖2是點P運動時線段CP的長度y隨時間x變化的關系圖象，其中點Q為曲線部分的最低點，則△ABC的面積為（）A．50 B．60 C．65 D．70【變式7-3】（2022秋?渦陽縣校級月考）如圖1，在長方形ABCD中，動點P從點B出發，沿B→C→D→A方向勻速運動至點A停止．已知點P的運動速度為1cm/s，設點P的運動時間為x（s），△PAB的面積為y（cm2），若y關于x的函數圖象如圖2所示，則長方形ABCD面積為（）cm2A．20 B．28 C．48 D．24一．選擇題（共8小題）1．（2023秋?濰坊期末）小亮爸爸到加油站加油，如圖是所用的加油機上的數據顯示牌，金額隨著數量的變化而變化．則下列判斷正確的是（）A．金額是自變量 B．單價是自變量 C．7.76和31是常量 D．金額是數量的函數2．（2023秋?溧陽市期末）蘋果熟了，從樹上落下來．下面可以大致刻畫出蘋果下落過程中（即落地前）的速度變化情況的圖象是（）A． B． C． D．3．（2022秋?萊陽市期末）下列圖象中，表示y是x的函數的是（）A． B． C． D．4．（2023?成武縣校級一模）函數中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠25．（2023?蕉城區校級開學）一只兔子和一條小狗同時從同一地點向相同方向出發，它們的運動距離與時間關系圖象如圖所示，則關于該圖象下列說法正確的是（）A．小狗的速度始終比兔子快 B．在前5秒內，小狗比兔子快 C．圖中BC段表明小狗的速度是4m/s D．整個過程中小狗和兔子的平均速度相同6．（2022秋?港北區校級期末）如圖①，在矩形MMPQ中，動點R從點N出發，沿著N→P→Q→M方向運動至點M處停止．設點R運動的路程為x，△MNR的面積為y，如果y關于x的函數圖象如圖②所示，那么下列說法不正確的是（）A．當x＝6時，y＝10 B．當y＝5時，x＝2 C．y的最大值是10 D．矩形MNPQ的周長是187．（2023?五華區校級開學）學校教學樓有4層，小青第一節課在四樓上數學課，第二節到二樓上藝術課，第三節到三樓上科學課，中午到一樓食堂吃飯．下面能較準確地描述這件事的是圖（）A． B． C． D．8．（2023秋?明光市期中）星期天，小馬同學騎自行車到圖書館看書，在圖書館看了一會兒書后突然有急事回家，他按原路快速騎自行車回家，下列圖象能大致表示出小馬同學離家的距離y（km）與時間x（h）之間的關系的是（）A． B． C． D．二．填空題（共5小題）9．（2023秋?無錫期末）已知一根彈簧秤不掛物體時彈簧的長度為7cm，在彈性限度內，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，則掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）之間的函數表達式是．10．（2023秋?萊蕪區期末）“元旦”期間，小明一家人開車到滑雪場滑雪，出發前，汽車油箱內儲油45升，當行駛40千米時，發現油箱余油量為35升（假設行駛過程中汽車的耗油量是均勻的）．寫出余油量Q（升）與行駛路程x（千米）之間的關系式為．11．（2023春?錦江區校級期中）如圖1，已知長方形ABCD，動點P沿長方形ABCD的邊以B→C→D的路徑運動，記△ABP的面積為y，動點P運動的路程為x，y與x的關系如圖2所示，則圖2中的m的值為．12．（2023秋?百色期中）一個長方形的面積為12，一邊長為x，另一邊長為y，則y與x的函數關系式是．13．（2023春?周村區期末）如圖1，在直角梯形ABCD中，動點P從點B出發，沿B→C→D→A勻速運動，設點P運動的路程為x，三角形ABP的面積為y，圖象如圖2所示，則梯形ABCD的面積是．三．解答題（共3小題）14．（2023秋?閔行區校級期末）小杰與爸爸騎車從家到公園先上坡后下坡，在這段路上小杰騎車的路程S（千米）與騎車的時間t（分鐘）之間的函數關系如圖所示，請根據圖中信息填空：（1）小杰去公園時下坡路長千米；（2）小杰下坡的速度為千米/分鐘；（3）如果小杰回家時按原路返回，且上坡與下坡的速度不變，那么從公園騎車到家用的時間是