第一章豐富的圖形世界B卷壓軸題考點訓練1．如圖，5個棱長為1cm的正方體擺在桌子上，則露在外面的部分(不包括底面)的面積為______cm2．【答案】16【詳解】解：從左右和前后看，這四個方向各有三個小正方體的面裸露，從上面看有四個面裸露，所以共有3×4+4=16個面裸露，則裸露的面積為1×1×16=16cm2．故答案為16cm2．2．如果一個物體的頂點數與面數相同，并且有八條棱，那么這個物體是_____________．【答案】四棱錐【詳解】試題分析：點數和面數相同則肯定是棱錐，且棱數是底面邊數的2倍，因為總棱數=側棱數+底棱數，側棱數=底棱數，底棱數也就是底面邊數．所以此物體是四棱錐．3．有一個幾何體，有9個面，16條棱，那么它有______個頂點．【答案】9【詳解】由幾何體有9個面，16條棱得該幾何體是八棱錐，因此有9個頂點.故答案為9.4．將一個長方體的一個角切去，所得的立體圖形的棱的數量為______．【答案】15條或14條或12條或13條【詳解】①（條）；②（條）；③（條）；④（條）；答：所得立體圖形的棱的條數為15條或14條或12條或13條故答案為：15條或14條或12條或13條5．如圖①是一個小正方體的側面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是__________．【答案】路【詳解】解：由圖1可知：“國”和“興”是對面，“夢”和“中”是對面，“復”和“路”是對面，再由圖2可知，1、2、3、4、5分別對應的面是“興”、“夢”、“中”、“興”、“復”，所以第5格朝上的字是“路”．所以答案是路．6．由一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周形成的幾何體，叫做旋轉體．如果有一個幾何體，圍成它的各個面都是多邊形，那么這個幾何體叫做________．在你所熟悉的立體圖形中，旋轉體有________，多面體有________．（要求各舉兩個例子）【答案】

多面體

圓柱、圓錐

六棱柱、三棱錐【詳解】由一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周形成的幾何體，叫做旋轉體．如果有一個幾何體，圍成它的各個面都是多邊形，那么這個幾何體叫做多面體；在你所熟悉的立體圖形中，旋轉體有圓柱、圓錐；多面體有六棱柱、三棱錐（所有的棱柱，棱錐）.7．一個由許多規格相同的小正方體堆積而成的幾何體，其主視圖、左視圖如圖所示一模一樣，若要擺成這樣的圖形，至少需用m塊小正方體，至多需用n塊小正方體，則mn=________________．【答案】65【詳解】擺出如圖所示的圖形，至少要3+2=5個小正方體，最多需要9+4=13個小正方體，所以mn=65.

8．十八世紀偉大的數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（v），面數（f），棱數（e）之間存在一個有趣的數量關系：v+f﹣e＝2，這就是著名的歐拉定理．而正多面體，是指多面體的各個面都是形狀大小完全相同的的正多邊形，雖然多面體的家族很龐大，可是正多面體的成員卻僅有五種，它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，那今天就讓我們來了解下這幾個立體圖形中的“天之驕子”：（1）如圖1，正四面體共有______個頂點，_______條棱．（2）如圖2，正六面體共有______個頂點，_______條棱．（3）如圖3是某個方向看到的正八面體的部分形狀（虛線被隱藏），正八面體每個面都是正三角形，每個頂點處有四條棱，那么它共有_______個頂點，_______條棱．（4）當我們沒有正12面體的圖形時，我們可以根據計算了解它的形狀：我們設正12面體每個面都是正n（n≥3）邊形，每個頂點處有m（m≥3）條棱，則共有12n÷2＝6n條梭，有12n÷m＝個頂點．歐拉定理得到方程：+12﹣6n＝2，且m，n均為正整數，去掉分母后：12n+12m﹣6nm＝2m，將n看作常數移項：12m﹣6nm﹣2m＝﹣12n，合并同類項：（10﹣6n）m＝﹣12n，化系數為1：m＝，變形：＝＝＝＝．分析：m（m≥3），n（n≥3）均為正整數，所以是正整數，所以n＝5，m＝3，即6n＝30，．因此正12面體每個面都是正五邊形，共有30條棱，20個頂點．請依據上面的方法或者根據自己的思考得出：正20面體共有_____條棱；_______個頂點．【答案】（1）4；6；（2）8；12；（3）6；12；（4）30；12．【詳解】解：（1）如圖1，正四面體又四個面，每個面有三條邊，每個頂點處有三條棱，共有4×3÷3=4個頂點，共有4個頂點，每個頂點處有3條棱，每兩點重復一條，正四面體共有4×3÷2=6條棱．故答案為4；6；（2）如圖2，正六面體有六個面，每個面四條棱，每個頂點處有三條棱，共有6×4÷3=8個頂點，正六面體共8個頂點，每個頂點處有3條棱，每兩點重復一條，正六面體共有8×3÷2=12條棱．故答案為：8；12；（3）如圖3正八面體每個面都是正三角形，每個頂點處有四條棱，有八個面，每個面有三棱，每個頂點處有四條棱，共有8×3÷4=6個頂點，它共有6個頂點，每個頂點處有四條棱，6×4÷2=12條棱．故答案為：6；12；（4）正20面體每個面都是正n（n≥3）邊形，每個頂點處有m（m≥3）條棱，則共有20n÷2＝10n條棱，有20n÷m＝個頂點．歐拉定理得到方程：+20﹣10n＝2，且m，n均為正整數，去掉分母后：20n+20m﹣10nm＝2m，將n看作常數移項：20m﹣10nm﹣2m＝﹣20n，合并同類項：（18﹣10n）m＝﹣20n，化系數為1：m＝，變形：＝＝＝＝．分析：m（m≥3），n（n≥3）均為正整數，所以是正整數，所以n＝3，m＝5，即10n＝30，．正20面體共有30條棱；12個頂點．故答案為：30；12．9．（1）如圖，一個正方體紙盒的棱長為厘米，將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的周長.（2）如圖，一個長方體紙盒的長、寬、高分別是厘米、厘米、厘米（）將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的最大周長，畫出周長最大的平面圖形.【答案】(1)56cm；（2）【詳解】試題分析：（1）根據正方體展開圖形有14條邊，再求其周長；（2）根據，為使展開圖面積最大，則應剪開，再求周長；試題解析：（1）正方體的展開圖共有種，無論哪一種，其邊都有條.故cm（2），為使展開圖面積最大，則應剪開.周長所以，最大周長是.剪開圖如下圖所示：10．仔細觀察下面的正四面體、正六面體、正八面體，解決下列問題：⑴填空：①正四面體的頂點數V＝，面數F＝，棱數E＝.②正六面體的頂點數V＝，面數F＝，棱數E＝.③正八面體的頂點數V＝，面數F＝，棱數E＝.⑵若將多面體的頂點數用V表示，面數用F表示，棱數用E表示，則V、F、E之間的數量關系可用一個公式來表示，這就是著名的歐拉公式，請寫出歐拉公式：⑶如果一個多面體的棱數為30，頂點數為20，那么它有多少個面？【答案】⑴①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；⑵V+FE=2;⑶它有12個面.【詳解】試題分析:(1)觀察圖形,結合多面體的頂點,面,棱的定義進行填空即可,(2)根據(1)中,多面體的頂點數,面數,棱數,總結規律可得V,F,E之間的數量關系,(3)根據(2)中,頂點數,面數,和棱數之間的關系式代入求解即可.解：⑴①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；⑵V+FE=2⑶解：設面數為F，則20+F30=2解得F=12

，答：它有12個面.11．如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖．(1)當組成這個幾何體的小正方體的個數為8個時，幾何體有多種形狀．請畫出其中兩種幾何體的左視圖；(2)若組成這個幾何體的小正方體的個數為n，請寫出n的最小值和最大值；(3)主視圖和俯視圖為下面兩圖的幾何體有若干個，請你畫出其中一個幾何體．【答案】(1)畫圖見解析；(2)n最小為8，最大為11；(3)畫圖見解析．【詳解】(1)如圖所示；下圖中的任意兩個即可．（2）∵俯視圖有5個正方形，∴最底層有5個正方體，由主視圖可得第2層最少有2個正方體，第3層最少有1個正方體；由主視圖可得第2層最多有4個正方體，第3層最多有2個正方體；∴該組合幾何體最少有5+2+1=8個正方體，最多有5+4+2=11個正方體，∴n的最小值為8，最大值為11．(3)如圖所示．12．用平面截幾何體可得到平面圖形，在表示幾何體的字母后填上它可截出的平面圖形的號碼.A（

）；B（

）；C（

）；D（

）；E（

）.【答案】A（1、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）.【詳解】試題分析：分別分析五種圖形的所有的截面情況，即可寫出答案．試題解析：A圓錐，截面有可能是三角形，圓，橢圓（不完全），B三棱錐，截面有可能是三角形，正方形，梯形，C正方體，截面有可能是三角形，四邊形（矩形，正方形，梯形），五邊形，六邊形，D球體，截面只可能是圓，E圓柱體，截面有可能是橢圓（不完全），圓，矩形，因此答案為：A（1、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）.13．如圖所示，圖1為一個棱長為8的正方體，圖2為圖1的表面展開圖（數字和字母寫在外表面上，字母也可以表示數），請根據要求回答問題：（1）如果正方體相對面上的兩個數字之和相等，則______，______．（2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，則上面是______（填“x”或“y”或“2”）（3）圖1中，點M為所在棱的中點，在圖2中找點M的位置，直接寫出圖2中△ABM的面積．【答案】（1）12；8（2）2；（3）16或80【詳解】解：（1）∵正方體相對面上的兩個數字之和相等∴，，∴，，故答案為：12；8（2）若面“10”是左面，面“6”在前面，則上面是“2”（3）因為點M所在的棱為兩個面共用，所以它的位置有兩種情況，第一種情況如下圖：設點M左邊的頂點為點D，則第二種情況如下圖：，綜上所述，的面積為：16或8014．下面圖形是由小正方體木塊搭成的幾何體的三視圖示意圖,則該幾何體的實物圖形是什么模樣的?它由多少個小正方體木塊搭成.請用小木塊實地操作一下吧!正視圖

左視圖

俯視圖【答案】見解析【詳解】試題分析：結合俯視圖和左視圖，可以知道B處應該是3個小正方體，從正視圖可以看出A、D均為1個小正方體，從左視圖可以分析B處為3個，C處有2個．所以總共有7個小正方體搭成，如圖為搭好的幾何體．解：由俯視圖可得最底層有4個小正方體，由左視圖和主視圖可得第二層有2個小正方體，第三層有1個正方體，共有7個小正方體組成．15．某班數學活動小組的同學用紙板制作長方體包裝盒,其平面展開圖和相關尺寸如下,其中陰影部分為內部粘貼角料(單位:毫米).(1)此長方體包裝盒的體積為______立方毫米(用含x,y的式子表示).

(2)若內部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的,則當x=40,y=70時,制作這樣一個長方體共需要紙板多少平方毫米?【答案】(1)65xy;(2)23880mm2.【詳解】試題分析：（1）由長方體包裝盒的平面展開圖，可知該長方體的長為y毫米，寬為x毫米，高為65毫米，根據長方體的體積=長×寬×高即可求解；（2）由于長方體的表面積=2（長×寬+長×高+寬×高），又內部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的，所以制作這樣一個長方體共需要紙板的面積=（1+）×長方體的表面積．試題解析：(1)由題意，知該長方體的長為y毫米，寬為x毫米，高為65毫米，則長方體包裝盒的體積為：65xy立方毫米，故答案為65xy；(2)因為長方體的長為y毫米，寬為65毫米，高為x毫米，所以長方體的表面積=2(xy+65y+65x)平方毫米，又∵內部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的，∴制作這樣一個長方體共需要紙板的面積=（1+）×2（xy+65y+65x）=（xy+65y+65x）=xy+156y+156x（平方毫米），∵x=40，y=70，∴制作這樣一個長方體共需要紙板×40×70+156×70+156×40=23880平方毫米．16．某種產品形狀是長方形，長為8cm，它的展開圖如圖：（1）求長方體的體積；（2）請為廠家設計一種包裝紙箱，使每箱能裝10件這種產品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少（紙箱的表面積盡可能小）【答案】（1）長方形的體積為144cm3；（2）紙箱的表面積為792cm2【詳解】（1）解：設長方體的高為xcm，則長方形的寬為（12﹣2x）cm，根據題意可得：12﹣2x+8+x+8=25，解得：x=3，所以長方體的高為3cm，寬為6cm，長為8cm，長方形的體積為：8×6×3=144cm3；（2）解：由要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少（紙箱的表面積盡可能小），可知紙箱的裝法有兩種，即每層一個共10層或每層兩個共5層，①每層一個共10層：（ⅰ）當3×6的面疊加在一起時，表面積為2（3×6+3×80+6×80）=1476cm2,（ⅱ）當3×8的面疊加在一起時，表面積